(MEC-CAED - ADF).
Cecília é arquiteta e está projetando uma praça. Dentre os elementos dessa praça, está um canteiro com formato triangular. Observe, na figura abaixo, um esboço contendo algumas dimensões desse canteiro.
/img1_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
(Considere: [tex]sen\ 60° = 0,87[tex]; [tex]cos\ 60° = 0,5[tex]).
A cada metro que compõe todo o contorno desse canteiro, serão plantadas 6 mudas de flores para decorá-lo.
Nessas condições, quantas mudas de flores serão plantadas para decorar o contorno desse canteiro?
Primeiro encontrar o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º utilizando a Lei do Cossenos:
[tex] x^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos\ 60º [tex]
[tex] x^{2} = 25 + 64 - 80 \cdot 0,5 [tex]
[tex] x^{2} = 89 - 40 [tex]
[tex] x^{2} = 49 [tex]
[tex] x = \sqrt{49} [tex]
[tex] x = 7\ metros [tex]
Agora, encontrar o perímetro:
[tex] = 5 + 8 + 7 [tex]
[tex] = 20\ metros [tex]
Como serão plantadas 6 mudas por metro linear, logo:
[tex] = 6 \cdot 20\ metros [tex]
[tex] = 120\ mudas [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Leia o texto abaixo.
Um cavalo de potência significa mesmo a força de um cavalo de verdade?
Um equino tem força suficiente para chegar a até 15 cavalos de potência (CV) – humanos, em comparação, alcançam 1 CV [...]. A unidade de medida foi criada pelo matemático e engenheiro britânico James Watt, no século 18. Teria Watt cometido um erro grosseiro de cálculo? Não foi bem assim. Para convencer as pessoas a comprar sua invenção, uma versão aprimorada do motor a vapor, Watt comparou a potência da máquina a algo que todos conheciam: cavalos. Ele, então, calculou a quantidade de trabalho que o animal conseguia fazer ao longo de um dia [...]. Nesse período, o animal conseguia puxar 68 kg (150 libras) de um buraco com 67 metros (220 pés) de profundidade. Com essa informação em mãos, Watt determinou que o seu motor tinha 10 CV – a potência que 10 cavalos poderiam oferecer em um dia de trabalho [...].
Um cavalo de potência significa mesmo a força de um cavalo de verdade? Superinteressante, 2022. Disponível em: https://bityli.com/Vbzyj. Acesso em 18 jul. 2022. Fragmento.
De acordo com as informações apresentadas no texto, qual é a massa, em quilogramas, que o motor inventado por Watt seria capaz de puxar de um buraco com 67 metros de profundidade?
Como 1 CV é a quantidade de trabalho realizado por 1 cavalo (animal) durante 1 dia, o que equivale a puxar 68 kg de um buraco com 67 metros de profundidade. O motor criado por Watt tinha 10 CV. Então:
[tex]= 68 \cdot 10 [tex]
[tex]= 680\ kg [tex]
Logo, o motor inventado por Watt tinha a capacidade de puxar 680 kg de um buraco com 67 metros de profundidade.
Portanto, alternativa "D".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Um artista está projetando uma escultura na qual será utilizado um modelo específico de barra de aço para construir duas hastes que serão usadas em sua confecção. Observe, na figura abaixo, um esboço de parte dessa escultura, em que estão indicadas as hastes que serão construídas e algumas medidas.
/img2_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
(Considere: [tex]sen\ β = 0,3[tex]; [tex]cos\ β = 0,9[tex]).
O comprimento mínimo da barra de aço, em decímetros, que esse artista precisa para confeccionar as hastes inferior e superior dessa escultura é de aproximadamente
Observe a figura a seguir:
/img3_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
Primeiro, encontrar o comprimento [tex]\overline{BD}[tex] utilizando relações métricas no triânguloi retângulo:
[tex](\overline{AB})^{2} = \overline{BD} \cdot \overline{EB} [tex]
[tex](48)^{2} = \overline{BD} \cdot 44 [tex]
[tex]\frac{2\ 304}{44} = a [tex]
[tex] a \cong 52,36 [tex]
Agora, encontrar o comprimento da haste inferior utilizando razões trigonométricas no triângulo retângulo:
[tex]cos\ β = \frac{Cateto\ adjacente}{hipotenusa} [tex]
[tex]0,9 = \frac{Cateto\ adjacente}{52,36} [tex]
[tex]x = 52,36 \cdot 0,9 [tex]
[tex]x = 47,12 [tex]
Portanto, o comprimento aproximado de aço utilizado será de:
[tex]= 47,12 + 48 = 95,12\ decímetros[tex].
Portanto, alternativa "E".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Será construída uma ponte conectando os pontos P e Q que estão nas margens do rio que corta um terreno. Observe, na figura abaixo, um esboço dessa situação com algumas medidas indicadas.
/img4_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
Considere:
([tex]sen\ 30° = 0,5[tex]; [tex]cos\ 30° = 0,9[tex]; [tex]tg\ 30° = 0,6[tex]).
([tex]sen\ 45° = 0,7[tex]; [tex]cos\ 45° = 0,7[tex]; [tex]tg\ 45° = 1[tex]).
O custo de construção dessa ponte é R$ 5 000,00 por metro linear.
Nessas condições, o custo total de construção dessa ponte, em reais, é
Utilizando a Lei dos senos para encontrar o segmento [tex]\overline{PQ}[tex]:
[tex]\frac{\overline{PQ}}{sen\ 30°} = \frac{\overline{PR}}{sen\ 45°} [tex]
[tex]\frac{\overline{PQ}}{0,5} = \frac{42}{0,7} [tex]
[tex]0,7 \cdot \overline{PQ} = 0,5 \cdot 42 [tex]
[tex] \overline{PQ} = \frac{21}{0,7} [tex]
[tex] \overline{PQ} = 30\ metros [tex]
Como o custo de construção dessa ponte é estimado em R$ 5 000,00 por metro linear. Logo, o custo total aproximado de construção da ponte é estimado em:
[tex]= 30 \cdot 5\ 000 [tex]
[tex]= R \$\ 150\ 000,00 [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Carlos fabrica tampos de mesa de formato trapezoidal. Observe, na figura abaixo, a ilustração de um desses tampos, onde estão indicadas algumas de suas medidas.
/img5_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
Ele pretende construir um novo modelo de tampo, também de formato trapezoidal, que terá a área de sua superfície 100 cm² maior que a área do tampo ilustrado nessa figura. Para isso, Carlos irá aumentar apenas a medida da base maior desse modelo de tampo que ele já fabrica.
Para atender a esse objetivo, Carlos deverá aumentar a medida da base maior desse tampo em quantos centímetros?
Primeiro encontrar a área da mesa atual:
[tex] A = \frac{(B\ +\ b)\ \cdot\ h}{2} [tex]
[tex] A = \frac{(60\ +\ 40)\ \cdot\ 50}{2} [tex]
[tex] A = 100 \cdot 25 [tex]
[tex] A = 2\ 500\ cm^{2} [tex]
Como a nova mesa deve ter uma área 100 cm² maior do que atual. Dessa forma, temos:
[tex] A = 2\ 500\ + 100 = 2\ 600\ cm^{2} [tex]
Também, no novo projeto tem que sofrer aumento somente na base maior (B). Então:
[tex] A = \frac{(B\ +\ b)\ \cdot\ h}{2} [tex]
[tex] 2\ 600 = \frac{(B\ +\ 40)\ \cdot\ 50}{2} [tex]
[tex] 2\ 600 = (B\ +\ 40) \cdot 25 [tex]
[tex] \frac{2\ 600}{25} = B\ +\ 40 [tex]
[tex] 104 = B\ +\ 40 [tex]
[tex] 104 - 40 = B [tex]
[tex] B = 64\ cm [tex]
Portanto, a base maior deverá medir 64 cm, ou seja, terá medida 4 cm maior que a ilustrada na figura.
Portanto, alternativa "D".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe a figura apresentada no plano cartesiano abaixo, onde está destacado o ponto P.
/img6_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
Essa figura será transladada uma unidade no sentido negativo do eixo x, em seguida, rotacionada 90° no sentido anti-horário em relação ao ponto P e, por fim, refletida em relação ao eixo x.
Qual é o plano cartesiano que apresenta a figura resultante dessas transformações?
Primeiro, transladar uma unidade no sentido negativo do eixo x, depois, uma rotacão de 90° no sentido anti-horário em relação ao ponto P e, por fim, reflexão em relação ao eixo x é dada pela figura "A".
Portanto, alternativa "A".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Carlos é professor de artes e está projetando um molde de material acrílico com o formato de um prisma hexagonal regular reto, justaposto a uma pirâmide hexagonal regular reta, que será preenchido com argila para a fabricação de uma réplica de um lápis. Observe uma representação desse molde na figura abaixo.
/img12_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
(Consdiere: [tex]\sqrt{3} = 1,7 [tex])
Nessa réplica, a parte superior destacada na figura representa a ponta do lápis que será feita de carvão e terá 102 cm³ de volume. Todo o restante do corpo do molde será preenchido com argila e Carlos já possui 2 040 cm³ de argila para essa tarefa.
Nessas condições, qual é a quantidade de argila, em centímetros cúbicos, que falta para Carlos conseguir construir essa réplica?
A quantidade de argila para construir a réplica é de:
[tex]V_{(total)}= V_{(prisma)} + V_{(pirâmide)} [tex]
[tex]V_{(total)}= \frac{3L^{2} \sqrt{3}\ \cdot\ h}{2} + \frac{\frac{3L^{2} \sqrt{3}\ \cdot\ H}{2}}{3} [tex]
[tex]V_{(total)}= \frac{3\ \cdot\ 10^{2}\ \cdot\ 1,7\ \cdot\ \color{blue}{24}}{\color{blue}{2}} + \frac{\frac{\color{Red}{3}\ \cdot\ 10^{2}\ \cdot\ 1,7\ \cdot\ 23,8}{2}}{\color{Red}{3}} [tex]
[tex]V_{(total)}= 3 \cdot 100 \cdot 1,7 \cdot 12 + \frac{\color{blue}{100}\ \cdot\ 1,7\ \cdot\ 23,8}{\color{blue}{2}} [tex]
[tex]V_{(total)}= 6\ 120 + 50 \cdot 1,7 \cdot 23,8 [tex]
[tex]V_{(total)}= 6\ 120 + 2\ 023 [tex]
[tex]V_{(total)}= 8\ 143\ cm^{3}[tex]
Portanto, ao desconsiderar o volume da parte superior indicada na figura, o estudante obtém [tex]8\ 143\ –\ 102 = 8\ 041 cm^{3}[tex].
Assim, pelo fato de Carlos possuir apenas [tex]2\ 040\ cm^{3}[tex] de argila, segue que ele ainda precisa de [tex]8\ 041\ –\ 2\ 040 = 6\ 001\ cm^{3}[tex] de argila para conseguir construir essa réplica.
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Uma empresa oferece transporte de passageiros ligando as três ilhas de um arquipélago, conforme representado na figura abaixo.
/img13_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
A rota desse transporte sempre parte do ponto T em direção ao ponto R, em seguida, do ponto R em direção ao ponto S e, por fim, do ponto S em direção ao ponto T. Essa empresa de transporte marítimo cobra R$ 1,60 por quilômetro percorrido nessa rota. Um passageiro utilizou essa rota de transporte para se deslocar do ponto R com destino ao ponto T.
Qual o valor, em reais, pago por esse passageiro?
Primeiro encontrar o deslocamento [tex]\overline{TS}[tex] utilizando a Leis dos Cossenos:
[tex](\overline{TS})^{2} = (\overline{RT})^{2} + (\overline{RS})^{2}\ -\ 2 \cdot \overline{RT} \cdot \overline{RS} \cdot cos\ 30°[tex]
[tex](\overline{TS})^{2} = 30^{2} + 22^{2}\ -\ 2 \cdot 30 \cdot 22 \cdot 0,9[tex]
[tex](\overline{TS})^{2} = 900 + 484\ -\ 1\ 320 \cdot 0,9[tex]
[tex](\overline{TS})^{2} = 1\ 384\ -\ 1\ 188[tex]
[tex](\overline{TS})^{2} = 196[tex]
[tex]\overline{TS} = \sqrt{196}[tex]
[tex]\overline{TS} = 14\ km[tex]
Como a distância entre os pontos S e T é igual a 14 km. Assim, a distância entre os pontos R e T, indicados no mapa, é igual a:
[tex]= 22 + 14 = 36\ km[tex]
Como o preço do quilômetro percorrido nessa rota é igual a R$ 1,60, o valor pago por um passageiro que utilizou essa rota para se deslocar do ponto R com destino ao ponto T é igual a:
[tex]= 36 \cdot 1,6 [tex]
[tex]= R \$\ 57,60 [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Um ladrilhamento está sendo construído utilizando quadrados e triângulos equiláteros. Observe, no quadro abaixo, as três primeiras etapas de composição desse ladrilhamento.
/img14_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
Em cada etapa é adicionada uma nova camada desses polígonos, seguindo um padrão no qual os lados dos triângulos que fazem parte do contorno da figura da etapa anterior são justapostos a um quadrado e o restante da camada, nessa etapa, é composta por triângulos.
Na 4ª etapa de composição desse ladrilhamento, serão adicionados quantos quadrados?
Observe:
[tex]1ª\ etapa: 0\ quadrado [tex]
[tex]2ª\ etapa: 3\ quadrados [tex]
[tex]3ª\ etapa: 3 + 6 = 9\ quadrados [tex]
[tex]4ª\ etapa: 3 + 6 + \color{Red}{9} = 18\ quadrados [tex]
Logo, a 4ª etapa serão adicionados 9 quadrados.
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Gabriela é projetista de embalagens em uma empresa e recebeu uma demanda para projetar embalagens com formato de um cilindro reto que deve ter 24 cm de altura e volume total igual a 1 860 cm³. Gabriela sabe que o custo de produção de uma dessas embalagens é de R$ 1,00 a cada 200 cm² de área de sua superfície.
(Considere: [tex]π = 3,1[tex]).
Qual é o custo aproximado, em reais, para produzir uma dessas embalagens?
Observe a figura a seguir:
/img15_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
Primeiro encontrar o raio do cilindro:
[tex] V = πR^{2}h [tex]
[tex] 1\ 860 = 3,1 \cdot R^{2} \cdot 24 [tex]
[tex] \frac{1\ 860}{3,1\ \cdot\ 24} = R^{2} [tex]
[tex] \frac{1\ 860}{74,4} = R^{2} [tex]
[tex] R^{2} = 25 [tex]
[tex] R = \sqrt{25} = 5\ cm [tex]
Agora, calcular a área da superfície do cilindro:
[tex]A = 2 \cdot πR^{2} + 2πRh [tex]
[tex]A = 2 \cdot 3,1 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 3,1 \cdot 5 \cdot 24 [tex]
[tex]A = 6,2 \cdot 25 + 6,1 \cdot 5 \cdot 24 [tex]
[tex]A = 155 + 732 [tex]
[tex]A = 887\ cm^{2} [tex]
Como o custo de produção dessa embalagens é de R$ 1,00 a cada 200 cm² de área de sua superfície. Logo:
[tex] = \frac{887\ cm^{2}}{200\ cm^{2}} \cdot R \$\ 1,00 [tex]
[tex] = 4,43 \cdot R \$\ 1,00 [tex]
[tex] = R \$\ 4,43 [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Leia o texto abaixo.
O significativo aumento na área plantada com o feijão-comum preto nesta temporada e as melhores condições climáticas registradas durante o ciclo, se comparadas a 2020/21, condicionaram as ótimas estimativas para a produção final do grão. Ao todo, espera-se um volume de 406,5 mil toneladas colhidas, simbolizando acréscimo de 88,7% em relação ao ano passado. As operações de sega estão em fase final e devem ser concluídas nas próximas semanas.
Boletim da Safra de Grãos: 10º Levantamento - Safra 2021/22. Companhia Nacional de Abastecimento. 2022. Página 37. Disponível em: https://bityli.com/uBiUx. Acesso em 15 jul. 2022. Adaptado para fins didáticos. Fragmento.
De acordo com o texto, a produção esperada de feijão-comum preto nessa temporada, em quilogramas, é,
A produção esperada de feijão-comum preto nessa temporada, em quilogramas, é:
[tex]= 406,5\ mil\ toneladas [tex]
[tex]= 406,5\ \cdot\ 1\ 000\ \cdot 1\ 000\ kg [tex]
[tex]= 406\ 500\ 000\ kg [tex]
Portanto, alternativa "E".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Parte da estrutura de um telhado passou por reparos e, por isso, uma de suas vigas e um determinado pilar foram trocados. Para essa troca, foram construídos uma viga e um pilar, ambos de madeira. Observe, na figura abaixo, uma representação da estrutura desse telhado, onde [tex]h[tex] indica a medida do comprimento do pilar e [tex]n[tex] indica a medida do comprimento da viga, que foram produzidos para a troca.
/img16_quiz28_Mat_3serie_EM.png)
(Considere: [tex]sen\ α = 0,6[tex]; [tex]cos\ α = 0,8[tex]; [tex]tg\ α = 0,75[tex]).
Quantos centímetros de madeira, no mínimo, foram utilizados para construir essa viga e esse pilar?
Primeiro encontrar a altura h:
[tex]tg\ α = \frac{cateto\ oposto}{hipotenusa}[tex]
[tex]0,75 = \frac{h}{4}[tex]
[tex]h = 0,75 \cdot 4[tex]
[tex]h = 3\ metros[tex]
Para obter a medida da viga pode-se utilizar a relação métrica [tex] h^{2} = m \cdot n[tex], onde [tex]m[tex] indica a medida igual a 4 metros.
[tex] h^{2} = m \cdot n[tex]
[tex] 3^{2} = 4 \cdot n[tex]
[tex] \frac{9}{4} = n[tex]
[tex] n = 2,25[tex]
Logo:
[tex]= n + h = 3 + 2,25 = 5,25\ metros[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
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