(MEC-CAED - ADF).
O engenheiro responsável pela construção de uma linha férrea precisou determinar a medida do comprimento de um túnel dessa linha que atravessa uma montanha. Com essa medida, ele vai determinar a quantidade de barras de ferro necessária para a construção dessa linha, sabendo que a cada metro linear serão utilizadas 4 barras de ferro. Esse engenheiro utilizou um ponto referencial P e esboçou o esquema abaixo para determinar o comprimento QR da parte dessa linha que passará por esse túnel.
/img1_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Considere:
([tex]sen\ 20° = 0,34[tex]; [tex]cos\ 20° = 0,44[tex])
([tex]sen\ 120° = 0,87[tex]; [tex]cos\ 120° = -\ 0,5[tex])
Quantas barras de ferro serão utilizadas na construção da parte dessa linha férrea que passará dentro desse túnel?
Encontrar a distância \overline{QR} utilizano a lei dos senos:
[tex] \frac{\overline{QR}}{sen\ 120º} = \frac{\overline{QP}}{sen\ 20º} [tex]
[tex] \frac{\overline{QR}}{0,87} = \frac{340}{0,34} [tex]
[tex] 0,34 \cdot \overline{QR} = 340 \cdot 0,87 [tex]
[tex] \overline{QR} = \frac{295,8}{0,34} [tex]
[tex] \overline{QR} = 870\ metros [tex]
Portanto, a quantidade de barras de ferro utilizadas na linha férrea será de 4 vezes 870, ou seja, serão utilizadas 3 480 barras de ferro.
Portanto, alternativa "A".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Noel fabrica e comercializa piões de madeira. Para fabricá-los, ele utiliza duas peças justapostas: uma semiesfera e um cone reto. Observe, na imagem abaixo, uma representação de um desses piões, onde está indicado o ponto P, que representa o centro da circunferência que une essas duas peças, além de algumas medidas.
/img2_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Considere: [tex]π = 3 [tex].
Após montados, esses piões recebem uma pintura com tinta, de modo que essa pintura cobre um terço da superfície dos piões.
Com base nessas informações, qual é a medida da área total da superfície desse pião que recebe pintura com tinta preta?
Cálculo da área da superfície do pião:
[tex]área_{(Superfície)} = A_{semiesfera} + A_{cone} [tex]
[tex]área_{(Superfície)} = \frac{4πR^{2}}{2} + πRg [tex]
[tex]área_{(Superfície)} = \frac{4\ \cdot\ 3\ \cdot\ 3^{2}}{2} + 3 \cdot 3 \cdot 5 [tex]
[tex]área_{(Superfície)} = \frac{\color{Red}{12}\ \cdot\ 9}{\color{Red}{2}} + 45 [tex]
[tex]área_{(Superfície)} = 6 \cdot 9 + 45 [tex]
[tex]área_{(Superfície)} = 54 + 45 [tex]
[tex]área_{(Superfície)} = 99\ cm^{2} [tex]
Após montados, esses piões recebem uma pintura com tinta, de modo que essa pintura cobre um terço da superfície dos piões. Logo:
[tex]= \frac{99\ cm^{2}}{3} [tex]
[tex]= 33\ cm^{2} [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe a figura representada no plano cartesiano abaixo, em que está destacado o ponto que corresponde ao seu centro.
/img3_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Essa figura será refletida com relação ao eixo [tex]x[tex] e, em seguida, será rotacionada 90° no sentido anti-horário, em relação ao ponto destacado em seu centro.
A figura obtida após a realização dessas transformações está representada em
A figura "A" que sofre uma reflexão com relação ao eixo [tex]x[tex] e, em seguida, uma rotação de 90° no sentido anti-horário, em relação ao ponto destacado em seu centro.
/img9_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Portanto, alternativa "A".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe a figura apresentada no plano cartesiano abaixo.
/img10_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Essa figura será rotacionada 180° no sentido horário em relação ao seu centro e, em seguida, será refletida em relação ao eixo [tex]y[tex].
Qual é o plano cartesiano que contém a figura resultante após essas transformações?
Essa figura "A" teve uma rotação de 180° no sentido horário em relação ao seu centro e, em seguida, uma reflexão em relação ao eixo y.
Portanto, alternativa "A".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
A prefeitura de uma cidade pretende construir um túnel sob uma montanha em uma reserva ambiental para permitir o tráfego de veículos entre duas regiões da cidade. Uma empresa especializada foi contratada para fazer o planejamento financeiro dessa obra. Foram feitas medições de onde se pretende fazer a perfuração do túnel, utilizando um ponto de referência R e os pontos S e T, que são os pontos de entrada e saída desse túnel. O esboço da situação é apresentado na figura abaixo.
/img16_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
(Considere: [tex]sen\ 60° = 0,9[tex]; [tex]cos\ 60º = 0,5[tex])
Essa empresa estima que cada metro linear dessa obra custe R$ 100 000,00.
Qual o custo total necessário para construir esse túnel conectando as duas regiões da cidade?
Utilizando a Lei dos Cosssenos temos:
[tex]a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos\ 60° [tex]
[tex]a^{2} = 480^{2} + 700^{2} - 2 \cdot 480 \cdot 700 \cdot 0,5 [tex]
[tex]a^{2} = 230\ 400 + 490\ 000 - 960 \cdot 350 [tex]
[tex]a^{2} = 720\ 400 - 336\ 000 [tex]
[tex]a^{2} = 384\ 400 [tex]
[tex]a = \sqrt{384\ 400} [tex]
[tex]a = 620\ metros [tex]
Como cada metro linear dessa obra possui custo estimado de [tex]R \$\ 100\ 000,00[tex], então é necessário multiplicar esse valor pelos 620 metros desse túnel, chegando ao custo total de [tex]R \$\ 62\ 000\ 000,00[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Uma cápsula de medicamento é formada pela composição de um cilindro e duas semiesferas. Observe, na figura abaixo, uma representação com a indicação das dimensões internas dessa cápsula.
/img17_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
(Considere: [tex]π = 3[tex]).
Sabe-se que o medicamento contido em cada cápsula ocupa [tex]\frac{2}{3}[tex] de seu volume interno.
Nessas condições, qual é a medida do volume de medicamento, em milímetros cúbicos, contido em uma dessas cápsulas?
O volume desse medicamento é:
[tex]V = V_{(esfera)} + V_{(cilindro)} [tex]
[tex]V = π \cdot R^{2} \cdot h + \frac{4\ \cdot\ π\ \cdot\ R^{3}}{3} [tex]
[tex]V = 3 \cdot 3^{2} \cdot 9 + \frac{4\ \cdot\ \color{Red}{3}\ \cdot\ 3^{3}}{\color{Red}{3}} [tex]
[tex]V = 3 \cdot 9 \cdot 9 + 4 \cdot 27 [tex]
[tex]V = 243 + 108 [tex]
[tex]V = 351\ mm^{3} [tex]
Como o medicamento contido em cada cápsula ocupa [tex]\frac{2}{3}[tex] de seu volume interno.
[tex]V = 351\ mm^{3} \cdot \frac{2}{3} [tex]
[tex]V = \frac{702\ mm^{3}}{3} [tex]
[tex]V = 234\ mm^{3} [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Leia o texto abaixo.
Cidades nascem abraçadas a seus rios, mas lhes viram as costas no crescimento
O Brasil tem a maior rede hidrográfica e possui a maior reserva de água doce do planeta. Se levarmos em conta a quantidade de água de territórios estrangeiros que ingressa no país pelas bacias amazônica, do Uruguai e do Paraguai, a vazão média de nossos rios é da ordem de 267 mil metros cúbicos por segundo, ou seja, pouco mais de 100 piscinas olímpicas por segundo. É muita água! Que tem um papel de grande importância na vida das pessoas.
ASSAD, Leonor. Cidades nascem abraçadas a seus rios, mas lhes viram as costas no crescimento. Cienc. Cult., São Paulo, v. 65, n. 2, p. 06-09, jun. 2013. Disponível em https://bityli.com/vWGKH. Acesso em 18 jul. 2022. Fragmento.
A vazão média de água que ingressa no Brasil pelas bacias amazônica, do Uruguai e do Paraguai, em litros por segundo, é igual a
Converter 267 mil metros cúbicos em litros:
[tex]= 267\ mil\ m^{3} [tex]
[tex]= 267 \cdot 1000 \cdot 1000\ litros [tex]
[tex]= 267\ 000\ 000\ litros [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Com o objetivo de extrair o entulho situado na parte superior de uma casa em construção, o pedreiro responsável pela obra pretende projetar uma tábua com bordas nas laterais que servirá como uma rampa para deslizar o entulho para dentro de um tambor. Observe um esboço elaborado por esse pedreiro, que foi utilizado para calcular a medida aproximada do comprimento da rampa.
/img18_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Considere:
([tex]sen\ 25º \cong 0,42[tex]; [tex]cos\ 25º \cong 0,91[tex])
([tex]sen\ 128º \cong 0,79[tex]; [tex]cos\ 128º \cong -\ 0,62[tex])
Qual deve ser o comprimento aproximado da rampa, em metros, para o pedreiro realizar o projeto desejado?
Cálculo do comprimento apróximado da rampa utilizando a Lei dos Senos:
[tex]= (\frac{x}{sen\ 25°} = \frac{5}{sen\ 128°}) + 1,13 [tex]
[tex]= (\frac{x}{0,42} = \frac{5}{0,79}) + 1,13 [tex]
[tex]= (0,79x = 0.42 \cdot 5) + 1,13 [tex]
[tex]= (x = \frac{2,1}{0,79}) + 1,13 [tex]
[tex]= (x = 2,66) + 1,13 [tex]
[tex]= 2,66 + 1,13 [tex]
[tex]= 3,79\ metros [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Antônio é um ferreiro forjador e tem a prática de calcular a medida do volume total de metal que utiliza para fabricar as peças das encomendas que recebe. Para uma determinada encomenda, ele fabricou quatro peças maciças de metal que possuem o formato de um paralelepípedo de base quadrada. Cada uma dessas peças foi fabricada de forma que a área de sua base possui medida igual a 4 cm² e a área de sua superfície total tem medida igual a 360 cm².
Qual é a medida do volume total de metal, em centímetros cúbicos, que foi utilizado na fabricação dessas quatro peças?
Observe a figura a seguir:
/img19_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Cálculo da aresta da base ([tex]a[tex]):
[tex]A_{(base)} = a^{2} [tex]
[tex]4 = a^{2} [tex]
[tex]a = \sqrt{4} [tex]
[tex]a = 2\ cm [tex]
Cálculo do comprimento da altura do paralelepípedo ([tex]b[tex]):
[tex]A_{(total)} = 2 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot b [tex]
[tex]360 = 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot b [tex]
[tex]360 = 2 \cdot 4 + 8b [tex]
[tex]360 = 8 + 8b [tex]
[tex]360 - 8 = 8b [tex]
[tex]352 = 8b [tex]
[tex]\frac{352}{8} = b [tex]
[tex]b = 44\ cm [tex]
Assim, o volume de cada peça pode ser obtido fazendo
[tex]V = a \cdot a \cdot b [tex]
[tex]V = 2 \cdot 2 \cdot 44 [tex]
[tex]V = 176\ cm^{3} [tex]
Logo, o volume total das quatro peças é:
[tex]V = 4 \cdot 176\ cm^{3} [tex]
[tex]V = 704\ cm^{3} [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Renato faz sabonetes artesanais e, para isso, utiliza uma fôrma contendo um determinado volume de matéria-prima. Observe, na figura abaixo, uma ilustração dessa fôrma, onde a parte interna, destacada em cinza, representa o volume total de matéria-prima utilizada para produzir 100 sabonetes, cada um possuindo o mesmo volume.
/img20_quiz29_Mat_3serie_EM.png)
Com essa mesma fôrma, ele pretende aumentar a quantidade de sabonetes produzidos para 110, de modo que cada um dos 110 sabonetes possua o mesmo volume de cada um dos 100 sabonetes anteriormente produzidos.
Com relação à quantidade de matéria-prima, o que Renato deve fazer para atender a esse objetivo?
Cálculo do volume da matéria-prima contida na fôrma:
[tex]V = 60\ cm × 30\ cm × 10\ cm [tex]
[tex]V = 18\ 000\ cm³. [tex]
Logo, cada um dos 100 pedaços tem volume igual a:
[tex] V = \frac{18\ 000\ cm³}{100\ pedaços} [tex]
[tex] V = 180\ cm³ [tex]
Para obter, no mínimo, 110 pedaços com 180 cm³, o novo volume de matéria-prima deve ser igual :
[tex] V_{(novo)} = 180 \cdot 110 [tex]
[tex] V_{(novo)} = 19\ 800\ cm³ [tex]
Desse modo, a nova altura é:
[tex]V = a × b × c [tex]
[tex]19\ 800 = 60 × 30 × c [tex]
[tex]19\ 800 = 1\ 800 × c [tex]
[tex]\frac{19\ 800}{1\ 800} = c [tex]
[tex]c = 11\ cm [tex]
Logo, como [tex]11\ cm\ –\ 10\ cm = 1\ cm[tex], tem-se que “aumentar a quantidade de matéria-prima, de modo que sua altura na fôrma seja 1 cm maior” caracteriza a resposta da atividade.
Portanto, alternativa "B".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Júlia participou de um processo seletivo composto por 5 etapas. A nota final de cada candidato, nesse processo seletivo, é a média aritmética simples das notas obtidas nessas etapas. As notas de Júlia foram divulgadas, mas sua nota final ainda não foi calculada. Observe, no quadro abaixo, as notas de Júlia nesse processo seletivo.
| Etapa 1 | Etapa 2 | Etapa 3 | Etapa 4 | Etapa 5 |
|---|---|---|---|---|
| 89 | 77 | 88 | 94 | 94 |
Qual foi a nota final de Júlia, nesse processo seletivo?
Cálculo da nota média:
[tex]Média = \frac{89\ +\ 77\ +\ 94\ +\ 94}{4} [tex]
[tex]Média = \frac{442}{4} [tex]
[tex]Média = 88,4 [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Em uma escola de vôlei há 10 alunos matriculados na turma que treina aos sábados. As idades desses alunos estão apresentadas no quadro abaixo.
| 9 anos | 10 anos | 9 anos | 9 anos | 12 anos |
| 14 anos | 10 anos | 9 anos | 11 anos | 17 anos |
Na turma que treina às terças-feiras nessa escola, a mediana das idades é maior em 5 anos do que a da turma que treina aos sábados.
Qual é a mediana das idades dos alunos matriculados na turma que treina às terças-feiras?
Colocando em ordem crescente:
9 - 9 - 9 - 9 - 10 - 10 - 11 - 12 - 14 - 17
Logo, a medidana é:
[tex]Me = \frac{10\ +\ 10}{2} = \frac{20}{2} = 10\ anos[tex]
Logo, a mediana das idades dos alunos matriculados na turma de terça-feira dessa escola é 10 + 5 = 15 anos.
Portanto, alternativa "C".
(Fonte da resolução: Prof. Warles.)
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