(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.
Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado).
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a
Segundo o enunciado, o número de passageiros era 321,9 milhões em abril de 2001 e de acordo com o Gráfico neste mesmo período tínhamos 400 passageiros transportados por veículos.
Em outubro de 2008 o número de passageiros transportados por veículos foi para 441. Precisamos descobrir qual foi o número de passageiros nesse período.
Como o enunciado afirma que o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.
Basta montar uma Regra de Três Simples.
N° de passageiros/veículo ---- N° de passageiros (milhões)
400 ------- 321,9
441 ------ x
[tex] \frac{400}{441} = \frac{321,9}{x} [tex]
[tex] 400x = 321,9 \cdot 441 [tex]
[tex] x = \frac{141\ 957,9}{400} \cong 354,9 [tex]
Portanto, a opção mais próxima seria a letra A.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego.
Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?
O lado do quadrado mede 200 metros. Como queremos o tempo que um ônibus, partindo do ponto X, levaria para chegar ao ponto Y, então temos 5 setas que nos levam ao ponto Y. Como cada seta equivale a um dos lados do quadrado, temos 200m x 5 = 1000m, distância que equivale a 1 km.
Sabendo também que o ônibus anda com velocidade constante igual a 40 km/h, montamos uma regra de três simples:
40km ----- 1h
1km ---- x
[tex] x = \frac{1}{40}h [tex]
Como a resposta é pedida em minutos, então:
[tex] \frac{1}{40} \cdot 60 = \frac{3}{2} = 1,5\ minutos [tex]
Logo, a resposta é letra “D”.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Suponha que o modelo exponencial [tex] y = 363 \cdot e^{0,03x} [tex], em que n = 0 corresponde ao ano 2000, n = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano "n", seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando [tex] e^{0,3} = 1,35[tex], estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre
Para a população de 2030, x = 30, calcula-se:
[tex] y = 363 \cdot e^{0,03x} [tex]
[tex] y = 363 \cdot e^{0,03 \cdot 30} [tex]
[tex] y = 363 \cdot e^{0,9} [tex]
[tex] y = 363 \cdot (e^{0,3})^{3} [tex]
[tex] y = 363 \cdot (1,35)^{3} [tex]
[tex] y = 363 \cdot 2,460 [tex]
[tex] y = 893,1 [tex]
Em 2030 a população com mais de 60 anos será de 893,1 milhões de habitantes.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Fonte: “Perspectivas da população Mundial”, ONU, 2009. Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de
A leitura da coluna à direita do gráfico apresenta os valores percentuais da população com 60 anos ou mais em relação ao total para os países desenvolvidos (linha contínua) e para os países em desenvolvimento (linha tracejada) para cada ano entre 1950 e 2050, conforme o eixo horizontal.
Como foi perguntada a probabilidade de ser escolhida uma pessoa com 60 anos ou mais na população dos países desenvolvidos no ano de 2050, deve ser observado qual o valor da coluna à direita correspondente ao ano de 2050 no eixo horizontal para a linha contínua.
Percebe-se que é um valor entre 30% e 35%, um pouco mais próximo de 30%. Sendo o valor aproximado de
[tex] 32 \% = \frac{32}{100} = \frac{8}{25} [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que [tex]AB = \frac{BC}{2} [tex], Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual [tex]AE = \frac{AB}{5} [tex]é lado do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele
Chama-se o lado AE de L, conclui-se que as dimensões dos lados do retângulo ABCD, são iguais a AB = 5L (quíntuplo de AE) e BC = 10L (dobro de AB).
A área total do terreno é calculada através do produto de AB com BC, 5L × 10L = 50 L².
Como 94% deve ser área de preservação, restam 6% para construção do terreno, correspondente a 0,06 × 50 L² = 3 L².
A área definida por Antônio é igual à área do quadrado de lado L, sendo L², podendo ser triplicada a fim de chegar ao limite de 3 L².
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos.
A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?
Se 4 % da mistura correspondem a 925 milhões de litros de biodísel, 3% dessa mesma mistura corresponderá a x milhões de litros. Basta montar uma regra de três simples e direta.
Calcula-se:
% --------- milhões de litros
4 --------- 925
3 -------- x
Grandezas diretamente proporcionais (multiplica em cruz)
[tex] 4 \cdot x = 3 \cdot 925 [tex]
[tex]x = \frac{2\ 775}{4} = 693,75 [tex] milhões de litros
Com adição de 3 % de biodísel ao dísel de petróleo, 693,75 milhões de litros de biodísel seriam utilizados.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course – 1992 (adaptado).
De acordo com as informações do gráfico,
Do gráfico, podemos concluir que o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas relacionadas.
O aspecto do gráfico mostra que não há proporcionalidade direta ou inversa nessa relação.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.
Disponível em: www.ibge.gov.br.
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a
Por uma regra de três simples:
23 020 mil -------- 100%
x mil -------- 104%
[tex] x = \frac{23\ 020\ \cdot\ 104}{100} = 23\ 940,8\ mil [tex]
[tex] x = 23\ 940\ 800\ pessoas [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for [tex]\frac{1}{2}[tex], poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras.
Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é [tex]\frac{3}{4}[tex], poderia ser preenchido com
Cada um dos oito compassos tem fórmula [tex]\frac{3}{4}[tex].
A duração total do trecho musical é [tex]8 \cdot \frac{3}{4} [tex], ou seja, 6.
A duração de 24 colcheias é 3, [tex]( = 24 \cdot \frac{1}{4}) [tex].
A duração de 12 semínimas é 3, [tex]( = 12 \cdot \frac{1}{4}) [tex].
Logo, o trecho musical descrito poderia ser preenchido com 24 colcheias e 12 semínimas.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
Se o cliente comprará 4 aparelhos, sendo exatamente dois aparelhos defeituosos (D), dois não apresentarão defeitos (N). Se a probabilidade de um modelo apresentar defeito é de 0,2%, a probabilidade de não apresentar será de 100% – 0,2% = 99,8%.
Os quatro aparelhos podem ser comprados de várias formas, sendo DDNN, DNDN e NDND algumas delas. Para calcular o total de maneiras que eles podem ser comprados, calcula-se o número de permutações de 4 com 2 repetições (D) e mais duas repetições
[tex] \frac{4!}{2!\ \cdot\ 2!} = \frac{24}{4} = 6 [tex]
Multiplica-se este valor pela probabilidade de serem 2 defeituosos (0,2%)² com a probabilidade de 2 não apresentarem defeitos (99,8%)², resultando em
[tex]6 \cdot (0,2 \%)^{2} \cdot (99,8 \%)^{2} [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de
Por sete dias, sem a promoção, o casal pagaria 150 reais/diária, portanto:
150 × 7 = 1.050 reais
Com a promoção, ele deve pagar 150 reais/diária em cada um dos três primeiros dias,
150 – 20 = 130 reais/diária no quarto dia,
130 – 20 = 110 reais/diária no quinto dia e,
110 – 20 = 90 reais/diária nos três últimos dias.
Portanto, gastaria: (150 × 3) + 130 + 110 + (90 × 3) = 960 reais.
A economia será de 1050 – 960 = 90 reais.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça
Do enunciado, temos as figuras:
Pela disposição da fig. A, concluímos que as únicas peças da fig. B que se encaixam na lacuna "c" da fig. A são as peças 3 e 4 da fig. B, que são iguais entre si.
Sendo assim, a peça 2 da fig. B é a única que se encaixa na lacuna "d" da fig. A, desde que girada de 90º no sentido anti-horário.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é
Para calcular a taxa média da variação da emissão de dióxido de carbono (em ppm), soma-se todas as variações e divide-se pelo número de variações:
[tex] = \frac{(2,30-2,14) + (2,46-2,30)+ (2,64-2,46) + (2,83-2,64)+(3,03-2,83)+(3,25-3,03)+(3,48-3,25)+(3,73-3,48)+(4-3,73)}{9} [tex]
[tex] = \frac{0,16+0,16+0,18+0,19+0,2+0,22+0,23+0,25+0,279 }{9} [tex]
[tex] = \frac{ 0,186}{9}\ \cong\ 0,207 [tex]
Como a variação da produção (em toneladas) foi a mesma a cada intervalo, sua média será igual a este próprio valor 0,1.
A taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é calculada através da divisão desses dois resultados:
[tex] = \frac{ 0,207}{0,1}\ \cong\ 2,07 [tex]
Portanto, superior a 1,5 e inferior a 2,8.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.
Scientific American, ago. 2008.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?
Deve-se atentar ao primeiro plano da imagem e compará-lo com as alternativas, veja:
Percebe-se que os pontos vermelhos estão sempre em segmentos de arcos que passam por cima de outros segmentos de arco.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor
Calculando a média de investimento da França no Brasil (MF):
[tex] M_{(F)} = \frac{825+485+1458+744+1214}{5} = \frac{4726}{5} = 945,2 [tex]
Calculando a média de investimento do Brasil na França (MB):
[tex] M_{(F)} = \frac{ 367+357+354+539+280}{5} = \frac{1897}{5} = 379,4 [tex]
Logo, a diferença é de 945,2 – 379,4 = 565,8 milhões de dólares.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
A despesa pode ser escrita de duas formas de acordo com o valor x que será pago por cada uma das 55 pessoas no acerto final. Nesse acerto, a despesa (D) pode ser escrita por
D = 55x
No acerto inicial, cada uma das 50 pessoas estava pagando (x – 7) reais e estava faltando 510 reais para completar o valor da despesa. Assim,
D = 50(x – 7) + 510
Igualando-se às duas equações e realizando a distributiva, tem-se que:
50x – 350 + 510 = 55x
Logo:
5x = 160
x = 32 reais
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo.
Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é
A questão compara a capacidade do aquífero Guarani com a do novo reservatório da SABESP, para isto, deve ser calculada a razão entre estas capacidades, para isso devem ser convertidas para a mesma unidade. São 30 mil quilômetros cúbicos que serão convertidos em decímetros cúbicos. Para efetuar esta conversão, o valor inicial deve ser multiplicado por [tex]10^{12}[tex].
Como 1 dm³ = 1 litro, a capacidade do aquífero Guarani é
30.000 × 10¹² = 3 x 10¹⁶ dm³ = 3 × 10¹⁶ litros
A capacidade do novo reservatório da SABESP é de 20 milhões de litros = 2 × 10⁷ litros.
Assim, a razão entre essas capacidades é de
[tex] razão = \frac{3\ \cdot\ 10^{16}\ litros}{2\ \cdot\ 10^{7}\ litros} = 1,5 \cdot 10^{9} [tex]
Significando que a capacidade do aquífero Guarani é 1,5 × 10⁹ vezes maior que o novo reservatório da SABESP.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.
Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.
Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém
Analisando as alternativas, percebe-se que o pedido da questão deveria ser a interseção do plano paralelo à face α do prisma I que passe pelo ponto P, pertencente à aresta do poliedro II, com os prismas indicados (I, II, III e IV) e não com a escultura.
Sendo assim, este plano seccionará os prismas II e IV de forma paralela a base. Como as bases dos prismas são triangulares, o plano contém dois triângulos que são congruentes caso a base desses prismas sejam congruentes e possuem lados correspondentes paralelos uma vez que os dois prismas são perpendiculares à face α.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
Do texto, constrói-se a representação abaixo.
A distância BE (x) é o valor a ser calculado. Como os ângulos dos triângulos ABC e AED são congruentes entre si, esses triângulos são semelhantes. Portanto, é válida a relação:
[tex] \frac{ \overline{BC}}{\overline{ED}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AE}} [tex]
Assim,
[tex] \frac{0,8}{2,2} = \frac{3,2}{3,2 + x} [tex]
[tex] 0,8(3,2 + x) = 2,2 \cdot 3,2 [tex]
[tex] 0,8x = 4,48 [tex]
[tex] x = \frac{4,48}{0,8} = 5,6 [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia.
Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
O valor a ser arrecado por dia, em reais, é calculado através da produto entre a quantidade vendida (Q), em litros, pelo preço do litro (P), em reais. Essas duas variáveis são função do valor de desconto x, em centavos. A venda é de 10.000 litros por dia ao preço de 1,50 real/litro. A cada centavo de desconto, a quantidade vendida aumenta em 100 litros, portanto:
Q = 10.000 + 100x
e
P = 1,50 – 0,01x
convertendo o valor x de centavos para reais divide-se por 100 ou multiplica-se por 0,01. Como,
V = Q.P
V = (10.000 + 100x)∙(1,50 - 0,01x)
V = 15.000 + 150x – 100x – x²
V = 15.000 + 50x – x².
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d₁d₂, em que os dígitos d₁ e d₂ são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d₁ é zero, caso contrário d₁ = (11 – r). O dígito d₂ é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d₂ é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d₂ = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d₁ e d₂ esquecidos são, respectivamente,
O CPF do João pode ser escrito como:
123.456.789 – d₁d₂
Do enunciado, podemos calcular d₁ do seguinte modo:
1 ∙ 10 + 2 ∙ 9 + 3 ∙ 8 + 4 ∙ 7 + 5 ∙ 6 + 6 ∙ 5 + 7 ∙ 4 + 8 ∙ 3 + 9 ∙ 2 = 210
Como 210 = 11 ∙ 19 + 1. Logo, d₁ = 0.
Assim, o CPF do João fica:
123.456.789 – 0d₂
A mesma regra é aplicada ao dígito verificador d₂, porém os números a serem multiplicados começam a partir do segundo algarismo e o último algarismo é o d₁, já encontrado.
2 ∙ 10 + 3 ∙ 9 + 4 ∙ 8 + 5 ∙ 7 + 6 ∙ 6 + 7 ∙ 5 + 8 ∙ 4 + 9 ∙ 3 + 0 ∙ 2 = 244
Como 244 = 11 ∙ 22 + 2. Logo, d₂ = 11 – 2 = 9.
Portanto, d₁ e d₂ são, respectivamente, 0 e 9.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
Considerando "a" a medida da aresta do cubo. Como sabemos que seu volume V = a³, então:
[tex] a = \sqrt[3]{V} [tex]
[tex] a = \sqrt[3]{13\ 824} = 24 [tex]
A esfera tem raio igual a 6cm e consequentemente seu diâmetro será igual a 12cm. Observe a figura que teremos 4 esferas na parte da frente do cubo e mais 4 esferas na parte de trás do cubo.
Num total de 8 esferas.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
A escala mostra a razão entre a medida do desenho e a realidade, sendo de 1:150 neste caso. Equivalendo 1 medida no desenho a 150 na realidade. Portanto, o desenho é uma redução em 150 vezes do tamanho real. Como o comprimento real da aeronave é de 36 metros (3600 centímetros), o comprimento do desenho será de:
3600 : 150 = 24 cm
Já a largura real é de 28,5 metros (2850 centímetros), portanto a largura do desenho será de:
2850 : 150 = 19 cm
Como a margem em relação às bordas da folha é de 1 cm, a largura e o comprimento devem ter, no mínimo, 2 centímetros a mais que os valores do desenho encontrados (devido às margens superior e inferior em um caso e às margens à direita e à esquerda no outro caso).
Assim, as mínimas dimensões da folha são de 21 cm x 26 cm.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
O nível de água (y) em função do número de bolas (x) é dado por:
y = ax + b
Da tabela, podemos dizer que:
Para x = 5, y = 6,35 e para x = 10, y = 6,70.
Com isso, obtemos o sistema de equações abaixo:
[tex] \begin{cases} 5a + b = 6,35 \\ 10a + b = 3,70 \end{cases} [tex]
Resolvendo o sistema acima, obtemos:
a = 0,07 e b = 6
Logo, y = 0,07x + 6.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria
Nas condições do enunciado, observamos que:
• Gastos em 6 dias:
• Hectares colhidos em 6 dias:
6 × 20 = 120
Como os gastos são inferiores a 25.000 reais, para o fazendeiro fechar o contrato, basta o nº de hectares colhidos aumentar de 120 para 180 (note que isso corresponde a um aumento de 50%).
Isso pode ser resolvido aumentando-se a jornada diária de trabalho de 6 horas em 50%.
Logo,
1,5 × 6 = 9 horas
Considerando que os custos estabelecidos inicialmente se mantenham independentemente da nova jornada de trabalho, as exigências do fazendeiro são atendidas.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe
Excluindo o zero do aluno que faltou, temos o rol:
(6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10)
Com essas notas já obtidas, e considerando dez notas, a maior mediana possível seria dada por:
[tex] M_{d} = \frac{7+8}{2} = 7,5 [tex]
Essa mediana se manteria caso o aluno que faltou tivesse comparecido e tirado nota igual ou maior que 8.
A equipe gama, por ter a menor mediana, permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região.
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de
Esse problema pode ser representado por uma regra de três composta, de acordo com o esquema abaixo:
Como todas as grandezas são diretamente proporcionais à quantidade de alimentos arrecadados:
[tex] \frac{120}{x} = \frac{10}{20} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{50} [tex]
[tex] x = \frac{120\ \cdot\ 20\ \cdot\ 4\ \cdot\ 50 }{10\ \cdot\ 3\ \cdot\ 20} = \frac{4800}{6} = 800\ kg [tex]
Essa quantidade foi arrecadada nos 20 dias finais, como nos 10 primeiros dias foi de 120 kg, o total foi de 120 + 800 = 920 kg.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km.
Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo,
O volume V de combustível, em litros, necessário para dar 16 voltas é dado por:
75 litros ------ 100 km
V ------ (16 × 7) km
[tex] V = \frac{75 \cdot\ 16\ \cdot\ 7}{100} = 84[tex] litros
Assim, são necessários 84 litros de combustível.
Como a densidade do combustível é 750g/L, a massa x, em kg, correspondente ao combustível consumido é:
0,75 kg ------ 1 litro
x ----- 84 litros
x = 0,75 × 84 = 63 kg
Logo, o carro deverá ter, no mínimo:
605 + 63 = 668 kg
ao retornar à pista.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a
Do enunciado, temos a figura, cotada em km:
No ΔADE, temos:
[tex] tg 30° = \frac{a}{2} → \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2} [tex]
[tex] 0,58 = \frac{a}{2} [tex]
[tex] a = 1,16 [tex]
Sendo S a área do terreno que coube a João, em km², temos:
[tex] S = \frac{1,16\ \cdot\ 2}{2} = 1,16 [tex]
Como [tex] \frac{1,16}{2\ \cdot\ 3} \cong\ 0,19 [tex], a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde a aproximadamente 19%.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
Problemas nos quais são escolhidos alguns elementos dentre um grupo, trata-se de arranjo ou combinação, caso a ordem de escolha importe, trata-se de arranjo; caso a ordem de escolha não importe, combinação. Problemas de permutação ocorrem quando os elementos já estão previamente definidos e deve ser calculado o número de maneiras de ordená-los.
Serão escolhidos 4 times dentre 12 times para definir o grupo A, como a ordem de escolha não importa, trata-se de uma combinação.
Para o jogo de abertura, devem ser escolhidos dois dentre os quatro times que formam o grupo A, sendo que o primeiro joga em seu próprio campo e o segundo como visitante, logo a ordem de escolha importa, trata-se de um arranjo.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
Mapa do Brasil e algumas Capitais
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135º graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em
Do enunciado, temos a figura:
Assim, parece-nos que Carlos fez uma conexão em Belo Horizonte (13) e, em seguida, embarcou para Salvador.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal?
A área de um campo de futebol, em m², é dada por:
90 × 120 = 10 800 m²
Do enunciado, a área aproximada do Pantanal é:
150 355 km² = 150 355 × 10⁶ m²
Assim, o número de campos de futebol pedido é igual a:
[tex] \frac{150\ 355\ \cdot\ 10^{6}\ m^{2}}{10\ 800\ m^{2}} = 13,9 \cdot 10^{6} \cong\ 14 \cdot 10^{6} [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a
A mediana é o valor que ocupa a posição central do rol (quando os elementos estão ordenados de forma crescente ou decrescente). Neste caso, são sete elementos, o termo que ocupa a posição central será o quarto termo do rol (três abaixo e três acima). O rol das cotações é:
R$ 73,10; R$ 81,60; R$ 82,00; R$ 83,00; R$ 84,00; R$ 84,60; R$ 85,30.
Logo, a mediana é igual a R$ 83,00.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m³/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Disponível em: www2.uel.br.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
Na figura I, a área [tex]A_{1}[tex] é dada por:
[tex] A_{1} = \frac{(20+30)\cdot 2,5}{2} = 62,5\ m^{2} [tex]
Assim, a velocidade v da água, a uma vazão de 1050 m³/s, é dada por:
[tex] 1050 = A_{1} × v [tex]
[tex] 1050 = 62,5 × v [tex]
[tex] v = 16,8\ m/s [tex]
Na figura II, a área [tex]A_{1}[tex] é dada por:
[tex] A_{2} = \frac{(49+41)\cdot 2}{2} = 90\ m^{2} [tex]
Mantendo a velocidade da água, a vazão Q pedida é dada por:
[tex] Q = 90 × 16,8 = 1512\ m³/s [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes.
Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar
Cada foto tem 2.0 megapixels, ou seja, dois milhões de pontos. Se as informações de cada ponto são armazenadas em 3 bytes. As informações de cada foto serão armazenadas em 2 milhões x 3 bytes = 6 milhões de bytes = 6 MB.
Como o algoritmo de compressão é de 95%, apenas 100% – 95% = 5% será utilizado, ou seja,
0,05 × 6 MB = 0,3 MB/foto
Logo,
0,3 MB × 150 = 45 MB para todas as 150 fotos.
O dispositivo que comporta esta capacidade e possui o menor espaço restante possível é o cartão de memória de 64 MB.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
A cada aposta de seis dezenas, concorre-se com [tex]C_{6,5} = 6[tex] quinas. Em 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, concorre-se com 84 × 6 = 504 quinas.
Em uma aposta única com nove dezenas, concorre-se com
[tex] C_{6,5} = \frac{9!}{4!\ \cdot\ 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4\ \cdot\ 3\ \cdot\ 2\ \cdot\ 1\ \cdot 5!} = 126 [tex] quinas
A probabilidade de acertar a quina no segundo caso é [tex] \frac{504}{126} = 4 [tex] vezes menor.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008.
Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado.
O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.
Comércio exterior de petróleo (milhões de metros cúbicos)
Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).
Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a [tex]\frac{7}{5}[tex] das importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009?
O valor das importações e exportações do ano de 2009 será a soma dos recursos de janeiro a maio com de junho a dezembro. Para as importações no primeiro período, o valor foi de 2,84 bilhões de dólares, enquanto as exportações foram de 2,24 bilhões de dólares. Um saldo de 2,84 – 2,24 = 0,6 bilhões de dólares neste primeiro período.
No segundo período, o valor das importações e exportações é calculado pelo produto de [tex]\frac{7}{5} [tex] com o preço/m³ do petróleo vezes o volume de petróleo vendido (em m³), sendo o saldo de:
[tex] = \frac{7}{5} \cdot (9 \cdot \frac{10}{6} \cdot 11 \cdot \frac{10}{6} \cdot 230) [tex] milhões
[tex] = \frac{7}{5} \cdot (3060 - 2530)[tex] milhões
[tex] = \frac{7}{5} \cdot (530)\ milhões [tex]
[tex] = 0,742\ bilhões\ de\ doláres [tex]
No total,
6 + 0,742 = 1,342 bilhões de dólares.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
O volume de parafina gasto na nova vela corresponde à subtração do volume da pirâmide maior, com aresta da base de 6 cm e altura de 19 – 3 = 16 cm, pelo volume da pirâmide menor, com 1,5 cm de aresta da base e 4 cm de altura.
Como volume da pirâmide é calculado pela terça parte do produto da área da base pela altura, o volume de parafina, em cm³, é de:
[tex] V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot 4 [tex]
[tex] V = 192 - 3 = 189\ cm^{3} [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
O ângulo, em radianos, é definido como a razão entre a medida do comprimento do arco e o raio da circunferência. No caso, se o ponto P percorre uma distância d ≤ r, o ângulo será menor que 1 radiano, portanto menor que 60 graus, menor que a quarta parte da volta.
Marcando qualquer ponto na circunferência abaixo da posição inicial de P, antes de completar a quarta parte da volta, tem-se que a sua projeção no eixo x é igual à diferença do raio com o produto do raio pelo cosseno do ângulo central.
Este ângulo tem seu valor expresso em radianos por [tex]\frac{d}{r}[tex]. Assim, a distância percorrida pelo ponto P no eixo x é de:
[tex] r - r \cdot cos (\frac{d}{r})) [tex]
ou
[tex] r(1 - cos(\frac{d}{r}) [tex]
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que [tex]TC = \frac{NV}{NF}[tex], [tex] TA = \frac{NA}{NV}[tex], NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a
Como o IcadÚnico (Icad) é a média aritmética do TC com o TA,
[tex] Icad = \frac{TC + TA}{2} [tex]
Logo, TC + TA = 2 × Icad.
Se o Icad de um município é 0,6,
[tex] TC + TA = 2 \cdot 0,6 = 1,2 = \frac{NV}{NF} = \frac{NA}{NV} [tex] (I)
Se NF dobrar, Icad = 0,5. Assim,
[tex] \frac{NV}{2 \cdot NF} + \frac{NA}{NV} = 2 \cdot 0,5 = 1 [tex] (II)
Diminuindo-se a equação II da I, obtém-se:
[tex] \frac{NV}{NF} - \frac{NV}{2 \cdot NF} = 1,2 - 1 = 0,2 [tex]
Logo,
[tex] \frac{NV}{NF} = 0,4 [tex]
e
[tex] NV = 0,4 \cdot NF [tex] (III)
Substituindo (III) em (I),
[tex] 1,2 = 0,4 + \frac{NA}{NV} [tex]
assim,
[tex] NA = 0,8NV = 0,8 \cdot 0,4 NF = 0,32NF [tex]
Como NA + NV = 3600.
0,32 NF + 0,4 NF = 3.600
0,72 NF = 3.600
[tex] NF = \frac{3600}{0,72} [tex]
NF = 5000.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos.
Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana
Joana faz a esteira e mais 3 × 6 = 18 séries, totalizando 19 atividades, logo 19 – 1 = 18 intervalos entre estas atividades.
Sendo 60 segundos (1 minuto) de descanso em cada intervalo, são 18 minutos de descanso no total.
Cada série é feita em 30 segundos (0,5 minuto), como são 18 séries são 18 × 0,5 = 9 minutos para todas elas.
Com os dez minutos da esteira, totaliza-se 18 + 9 + 10 = 37 minutos para completar todas as atividades e descansos, exatamente o tempo que demorou desde o início ao fim de seus exercícios neste dia (11h7min – 10h30min = 37 minutos).
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
O artesão afirmou que uma das faces da peça formada é pentagonal, ou seja, possui cinco lados. As únicas alternativas que justificam o fato de uma das faces possuir cinco lados são as opções C e D.
A pirâmide de base quadrada possui além da base, quatro faces laterais, totalizando em cinco.
Porém, o polígono resultante da interseção do plano com a pirâmide será pentagonal somente se o plano interceptar todas as cinco faces dessa pirâmide.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria
Vejamos pelas alternativas aquela que terá o menor gasto para João:
a) Renegociar as dívidas com o banco: 18 × 125 = 2 250 reais.
b) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. Desta forma, João teria os descontos e teria que pegar 150 × 10 + 5 × 80 × 0,75 = 1500 + 300 = 1800 reais emprestados e pagar 1800 × 1,25 = 2250 reais.
c) Recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos:
150 × 12 + 80 × 5 = 1800 + 400 = 2200 reais.
d) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. Desta forma João teria o desconto do cheque especial e teria que pegar 150 × 10 = 1500 reais emprestados e pagar 1500 × 1,25 = 1875 reais mais 80 × 5 = 400 reais do cartão de crédito, totalizando 1875 + 400 = 2275 reais.
e) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. Desta forma João teria o desconto do cartão de crédito e teria que pegar 5 × 80 × 0,75 = 300 reais emprestados e pagar 300 × 1,25 = 375 reais mais 150 × 12 = 1800 reais do cheque especial, totalizando 375 + 1800 = 2175 reais. O menor valor é o desta alternativa.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação.
Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água.
Desse modo, o volume, em m³, de uma cisterna é calculado por [tex]V_{c} = V_{d} × N_{dia}[tex], em que Vd = volume de demanda da água diária (m³), [tex]N_{dia}[tex] = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.
Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações.
Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m² produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m²) = volume da cisterna (em litros)/precipitação.
Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de
O volume da cisterna ([tex] V_{c}[tex]) é calculado por 1,1 × [tex] V_{d}[tex] x [tex] N_{dia}[tex], já acrescidos os 10%.
Como o volume [tex] V_{d}[tex] deve estar em metros cúbicos, tem-se que:
[tex] V_{dia} = 2000\ litros = 2000\ dm^{3} = 2\ m^{3} [tex]
Assim,
[tex] V_{c} = 1,1 × 2 × 15 = 33\ m^{3} = 33\ 000\ litros [tex]
Como a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m² produz 1 litro de água, a área deverá ser de [tex] \frac{33\ 000}{110} = 300[tex] m² para que 110 mm de chuva produzam 33 000 litros de água.
(ENEM 2009 - 1ª Aplicação).
Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados.
Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
A probabilidade de não ter nenhum efeito colateral em “n” doses é de (0,9)n.
Como a probabilidade aceitável de risco é de 35%, a probabilidade de não possuir efeito colateral deve ser maior de 100% – 35% = 65%.
Logo,
(0,9)n ≥ 0,65. Com n = 4, tem-se que 0,94 = 0,6561 ≥ 65%
já com n = 5,
0,95 = 0,590495 < 65%.
Logo, o maior valor de n é 4 doses.
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