(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Após observar o aumento mensal na conta de luz de sua residência, um consumidor colocou em um gráfico de barras, mostrado a seguir, os valores dos pagamentos realizados nos últimos quatro meses.
Se o aumento observado prosseguir mensalmente, quanto esse consumidor deverá pagar em junho desse mesmo ano?
Ao se escrever a sequência com os valores dos pagamentos, (45,00; 48,50; 52,00; 55,50; .....) e analisá-la percebe-se que constitui uma P.A. onde [tex]a_{1} = 45,00[tex] e a razão é 3,50.
O valor a ser pago em junho é:
[tex]a_{6} = 45,00 + (6 – 1) \cdot 3,50[tex]
[tex]a_{6} = 45,00 + 17,50 = 62,50 [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Observando-se cada linha da sequência de números no quadro acima, a sequência numérica adequada para ocupar a última linha do quadro, da esquerda para a direita, respeitando-se o padrão sugerido é
Observando a lógica da sequência, encontramos a alternativa C.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O "Torcidômetro" é uma ferramenta para se entender a dinâmica do crescimento ou encolhimento das torcidas dos times de futebol no país. O gráfico abaixo mostra a variação percentual, entre 1993 e 2007, das torcidas de cinco times, numerados em: I, II, III, IV e V.
Disponível em: http://www.netvasco.com.br/clangoroso/index.php? s=botafoguense&usg=__51K24KySf9zo6 x5tamDHT7acEwI. Acesso em: 25 fev. 2009.
Os dados exibidos no gráfico indicam que a torcida que cresceu, entre fevereiro de 2006 e agosto de 2007, foi a torcida do time
Pelo gráfico, temos:
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Tragédias, causadas pelas forças da natureza ou pelo homem, acontecem em todo lugar. Na maioria das vezes, nem há como prevê-las, mas muitas vezes elas acontecem pela falta de recursos para evitá-las, pela falta de infraestrutura para minorar suas consequências ou simplesmente por ignorância da população e falta de uma política de segurança mais rígida. A seguir, tem-se um gráfico que mostra a estatística de naufrágios de navios nas costas brasileiras.
Dados extraídos em 01.2005 - 1905 naufrágios no SINAU Disponível em: http://www.naufragiosdobrasil.com.br/estatistica.htm. Acesso em 24 abr 2009
Observando o gráfico, é correto afirmar que os tipos de acidentes que estão acima da média de acidentes são
Calculando a média:
[tex] \overline{X} = \frac{410+254+182+115+107+61+19}{7} [tex]
[tex] \overline{X} = \frac{1\ 148}{7} = 164 [tex]
Portanto, os tipos de acidente que estão acima da média, ou seja, 164 é: Encalhe, choque e Guerra.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
João é morador de Brasília, a capital do Brasil. Ele mora na SQN 202, trabalha na SQN 204, e percorre diariamente o trajeto indicado no mapa abaixo, seguindo de A até B.
Orientando-se pelos pontos cardeais desenhados no mapa, qual é a orientação da trajetória que João deve seguir desde sua residência até seu local de trabalho?
Basta seguir a orientação fornecida pelo gráfico e a orientação pelos pontos cardeais.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Nas últimas décadas, desencadeou-se uma discussão quanto ao papel da Amazônia no equilíbrio da biosfera e sobre as consequências que sua devastação poderá trazer para o clima do planeta. No gráfico a seguir, está representada, em quilômetros quadrados, a evolução da área que foi desmatada na floresta amazônica entre 1988 e 2007.
Disponível em: http://www.inpe.br. Acesso em 10 out. 2008. (com adaptações).
De acordo com os dados, o biênio em que ocorreu o maior desmatamento acumulado foi
Veja que:
Biênio 1988–1989: 18 000 + 18 000 = 36 000 km².
Biênio 1994–1995: 15 000 + 28 000 = 43 000 km².
Biênio 1995–1996: 28 000 + 18 000 = 46 000 km².
Biênio 2000–2001: 18 000 + 18 000 = 66 000 km².
Biênio 2003–2004: 25 000 + 27 000 = 52 000 km².
Portanto, é o biênio 2003–2004.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
No gráfico seguinte está representado o aumento progressivo do número de horas de treino diário de um atleta ao longo dos 20 primeiros dias do mês de setembro, quando iniciou o treinamento.
Se for mantida essa tendência de crescimento, no último dia de setembro, o atleta deverá treinar, diariamente,
A cada 5 dias de treino, o número de horas de treino diário aumenta 1,5. Assim:
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Perfumista é o profissional que desenvolve novas essências para a indústria de cosméticos. Considere que um perfumista constatou que a combinação de quaisquer três extratos entre os de Andiroba, Cupuaçu, Pitanga e Buriti produzem fragrâncias especiais para a fabricação de perfumes.
Simbolizando-se a essência de Andiroba por A, a de Buriti por B, a de Cupuaçu por C e a de Pitanga por P, quais são as possíveis combinações dessas essências para a fabricação de perfumes, constatadas pelo perfumista?
Utilizando o dispositivo de árvore, temos:
Logo, as possibilidades são: ACP, ABP, ACP e BCP.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O esquema a seguir é um modelo de um “relógio de pingos”, ou seja, um dispositivo que pode marcar o tempo facilmente porque se comporta de maneira constante.
Nesse relógio, há um reservatório preenchido com líquido colorido que pinga regularmente, marcando uma fita registradora movida por cilindros que giram sempre com a mesma velocidade. Um trecho de 3,6 metros de extensão dessa fita registradora é mostrado na figura seguinte.
Esse trecho da fita representa quanto tempo?
O reservatório libera uma gota a cada 30 segundos e, portanto, a fita representa:
12 ∙ (30s) = 360 s = 6 min.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Ao retornarem de avião à sua cidade, 100 pessoas foram infectadas por um vírus contagioso exatamente na hora que desembarcaram na cidade. Anteriormente a esse episódio de contágio, esse vírus não existia na cidade, e sabe-se que ele é transmitido em 50% das vezes que duas pessoas trocam apertos de mão. Entretanto, o contágio só pode ocorrer entre o momento de contágio e 24 horas após esse momento.
Considerando que as informações do texto estão corretas e que, em média, as pessoas na referida cidade trocam apertos de mão, em média, 3 vezes por dia, é correto concluir que
Como as pessoas estarão se cumprimentado em média 3 vezes por dia, portanto, há uma grande probabilidade de que o número de contaminados na cidade aumente nos próximos dias.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O gráfico a seguir mostra o início da trajetória de um robô que parte do ponto A (2, 0), movimentando-se para cima ou para a direita, com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano. O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6 segundos.
Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual será sua coordenada após 18 segundos de caminhada, contando o tempo a partir do ponto A?
Como o robô continuou no mesmo raciocínio, Logo, após 18 segundos ele parou no ponto (14, 6).
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Simetrias são encontradas, frequentemente, em nosso dia-a-dia. Elas estão nas asas de uma borboleta, nas pétalas de uma flor ou em uma concha do mar. Em linguagem informal, uma figura no plano é simétrica quando for possível dobrá-la em duas partes, de modo que essas partes coincidam completamente.
De acordo com a descrição acima, qual das figuras a seguir é simétrica?
Figura B.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Determinada empresa fabrica blocos maciços no formato de um cubo de lado "a", como ilustra a figura a seguir.
Devido a exigências do mercado, a empresa começou a produzir blocos cujos lados foram reduzidos pela metade do cubo original.
A fração que expressa a relação entre os volumes dos cubos maior e menor é
Cubo original:
[tex] V_{(original)} = a^{3} [tex]
Cubo menor:
[tex] V_{(menor)} = (\frac{a}{2})^{3} = \frac{a^{3}}{8} = \frac{1}{8} \cdot a^{3} [tex]
Logo, a relação entre os volumes dos cubos maior e menor é: [tex] \frac{1}{8}[tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Uma empresa constrói peças para jogos no formato de cubos e cilindros, nas cores vermelha, azul e verde. No final do dia, o encarregado de fazer o controle do estoque coloca todas as peças prontas sobre um balcão e começa a fazer o controle. Num dia em que a empresa produziu um total de 80 peças, das quais apenas 25 eram cilindros, o controlador de estoques elaborou os seguintes gráficos.
Se o controlador de estoque retirar ao acaso uma das peças do balcão, a probabilidade de essa peça ser vermelha e na forma de cilindro é igual a
Das 80 peças produzidas 25 são cilindros e 55 cubos.
Agora, a quantidade de cilindros vermelhos são:
40% ∙ 25 = 0,4 ∙ 25 = 10 cilindros
Probabilidade de ser cilindro: [tex] P_{(cilindro)} = \frac{25}{80} [tex]
Probabilidade de ser da cor vermelha: [tex] P_{(cor\ vermelha)} = \frac{10}{25} [tex]
Logo, a probabilidade de ser vermelha e na forma de cilindro é igual:
[tex] P = \frac{25}{80} \cdot \frac{10}{25} = \frac{1}{8} [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
A figura a seguir informa como se constitui o preço da gasolina no Brasil, a partir da extração da matéria-prima no fundo do mar, até o produto final nos postos de venda.
DO POÇO À BOMBA
Como se forma o preço da gasolina no Brasil (por litro)
Revista Veja, 2 de julho de 2008. Disponível em: http://veja.abril.com.br/020708/p_076.shtml. Acesso em: 18 set. 2008.
Considerando as informações na figura, desde a prospecção até a comercialização da gasolina, qual o fator que, sozinho, representa aproximadamente a metade do preço da gasolina nas bombas?
Pelo gráfico, encontramos que o imposto consome quase a metade do valor total.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O gráfico a seguir apresenta o lucro, em reais, obtido por uma empresa em função da quantidade de unidades produzidas, quando essa quantidade varia entre 0 e 600 unidades.
Uma análise desse gráfico indica que o intervalo de unidades produzidas em que a taxa média de variação do lucro é positiva ocorre apenas
Pelo gráfico constata que a variação é positiva no intervalo de 0 a 200 unidades produzidas.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O gráfico seguinte mostra o número de focos de queimadas em Goiás, entre 2004 e 2008, sendo que o valor relativo a 2008 refere-se somente ao período de 1.º de janeiro a 5 de agosto.
Suponha que o número de focos de queimadas em Goiás no período de 6 de agosto a 31 de dezembro de 2008 tenha sido de 60% do total das queimadas ocorridas no ano de 2007. Nesse caso, o número total de focos de queimadas em 2008 foi de
Como no período de 6 de agosto a 31 de dezembro de 2008 tenha sido de 60% do total das queimadas ocorridas no ano de 2007. Logo,
60% ∙ 1365 = 0,6 ∙ 1365 = 819
Logo, o número total de focos de queimadas em 2008 foi de:
819 + 213 = 1032
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Membros de uma família estão decidindo como irão dispor duas camas em um dos quartos da casa. As camas têm 0,80 m de largura por 2 m de comprimento cada. As figuras abaixo expõem os esboços das ideias sugeridas por José, Rodrigo e Juliana, respectivamente. Em todos os esboços, as camas ficam afastadas 0,20 m das paredes e permitem que a porta seja aberta em pelo menos 90°.
José, Rodrigo e Juliana concordaram que a parte listrada em cada caso será de difícil circulação, e a área branca é de livre circulação.
Entre essas propostas, a(s) que deixa(m) maior área livre para circulação é(são)
Proposta de José: 2,4 m ∙ 1,4 m = 3,36 m² livre
Proposta de Rodrigo: 1,4 m ∙ 2,4 m = 3,36 m² livre
Proposta de Juliana: 1,2 m ∙ 2,4 m = 2,88 m² livre
Logo, as propostas de José e Rodrigo são iguais.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Uma fábrica de cosméticos produz um creme cujo custo de produção é dado pela função [tex] C(x) = \frac{2}{3}x + 3 [tex] 3, em que x é o número de cremes produzidos.
Se a fábrica consegue reduzir o custo de produção de cada unidade x em 17%, a função P(x) que expressa a relação entre o novo custo de produção e a produção é
Como deve ter uma redução de 17%, então:
[tex] 100 \%\ – 17 \% = 83 \% = \frac{83}{100} [tex]
[tex] P(x) = (\frac{2}{3}x + 3) \cdot 83 \% = (\frac{2}{3}x + 3) \cdot \frac{83}{100} [tex]
[tex] P(x) = \frac{166}{300}x + \frac{249}{100} [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Um técnico está testando no laboratório de Química a evaporação de dois líquidos que possuem evaporação constante. Para isso, pegou dois recipientes idênticos que garantiam que a área de evaporação não influenciasse no processo e anotou os seguintes dados no relatório final.
Líquido 1 - Foram colocados 200 mL e a evaporação completa ocorreu no 80º dia.
Líquido 2 - Foram colocados 180 mL e a evaporação completa ocorreu no 96º dia.
Terminando essa experiência, o técnico quer repetir o mesmo processo, só que parando no dia em que os dois líquidos alcançassem o mesmo nível. De acordo com os dados acima, o técnico pode prever que deve parar a experiência no
Liquido 1: 200 ml em 80 dias. Então,
[tex] \frac{200\ ml}{80\ dias} = 2,5\ ml\ por\ dia [tex]
Liquido 2: 180 ml em 96 dias.
[tex] \frac{180\ ml}{96\ dias} = 1,875\ ml\ por\ dia [tex]
Como o técnico quer repetir o mesmo processo, só que parando no dia em que os dois líquidos alcançassem o mesmo nível. Logo,
[tex]200 - 2,5x = 180 - 1,875x [tex]
[tex] - 2,5x + 1,875x = 180 - 200 [tex]
[tex] - 0,625x = - 20 [tex]
[tex] x = \frac{20}{0,625} = 32\ dias [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Uma editora de jornal tem 7 profissionais responsáveis pela produção de 35.000 exemplares todos os dias. Após a ocorrência de mortes devido à gripe suína, a procura por informações a respeito dessa gripe aumentou bastante, e o jornal teve que aumentar sua produção para 65.000 por dia. O número de contratações cresce proporcionalmente em relação ao aumento no número de exemplares produzidos.
O número de novos funcionários que a editora teve que contratar foi
Temos:
7 funcionários ----- 35 000 exemplares
x funcionários ----- 65 000 exemplares
[tex] x = \frac{7\ \cdot\ 65\ 000}{35\ 000} = \frac{455\ 000}{35\ 000} = 13 [tex] funcionários
Portanto, a quantidade de funcionários que a editora teve contratar é de:
13 – 7 = 6 funcionários
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Em uma fazenda com 24 porcas matrizes na segunda gestação, todas de mesma idade e reproduzindo, foram obtidos os seguintes dados com relação ao número de porquinhos nascido vivos.
A média ME e a moda MO, dessa distribuição, do número de porquinhos por matriz, são
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Um tanque está com 100 litros de um líquido constituído de 80% de água e 20% de impurezas diversas e vai começar a receber um tratamento químico de despoluição. Após passar pelo processo de purificação, a água será armazenada em um reservatório à parte.
Em dado momento, o volume de água purificada no reservatório indica que, no tanque, 50% do líquido restante é água. Isso indica que, no reservatório, o volume de água, em litros, é igual a
Esse líquido "x" ocupa 100 L do tanque, sendo 80 L água e 20 L impurezas. No reservatório indica que NO TANQUE 50% do líquido restante é água ou seja 50% do que sobrou do líquido no tanque é água.
Se tinha 20 L de impurezas e elas continuaram no tanque como 50 % do líquido que restou no tanque é água, só podemos ter também 20 L litros de água.
Se existem 20 L de água no tanque, no reservatório só podem ter 60 L.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Especialistas do Instituto Internacional de Águas de Estocolmo estimam que cada pessoa necessita de, no mínimo, 1.000 m³ de água por ano, para consumo, higiene e cultivo de alimentos. Sabe-se, também, que o Rio Amazonas despeja 200.000 m³ de água no mar por segundo.
Scientific America Brasil, setembro de 2008, p. 62. Revista Veja, julho de 2008, p. 104.
Por quanto tempo seria necessário coletar as águas que o Rio Amazonas despeja no mar para manter a população da cidade de São Paulo, estimada em 20 milhões de pessoas, por um ano?
Para manter a população da cidade de São Paulo, estimada em 20 milhões de pessoas, por um ano são necessários:
2 × 10⁷ × 10³ m³ = 20 000 000 000 m³ de água
Logo,
20 000 000 000 m³ = 200 000 m³ × 100 000.
A quantidade de segundos é 100 000.
Portanto,
100 000 s = 1 666m 40s = 27h 46 m 40s = 1d 3h 46m 40s.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
lei de Fenchel explica como o índice de crescimento populacional de organismos unicelulares (R) relaciona-se ao peso (massa) corporal desses organismos (w), expresso pela equação [tex] R(w) = a \cdot w^{-\frac{1}{4}} [tex]. Em que a é uma constante real positiva, que varia de acordo com o tipo de organismo estudado.
http://www.ecologia.info/leis-ecologia-populacional.
Suponha P e Q dois organismos unicelulares distintos, com massas corporais p e q, respectivamente, de modo que 0 < p < q. Nesse caso, o índice de crescimento populacional de P comparado com o índice de Q, de acordo com a Lei de Fenchel, satisfaz a relação
Temos:
[tex] R(w) = a \cdot w^{-\frac{1}{4}} = a \cdot \frac{1}{w^{\frac{1}{4}}} = \frac{a}{\sqrt[4]{w}}[tex]
Como 0 < p < q e "a" é uma constante. Como q é maior que p (denominadores). Logo, temos:
[tex] \frac{a}{\sqrt[4]{p}} = \frac{a}{\sqrt[4]{q}} [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
De acordo com dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), na relação entre as populações masculina e feminina no Brasil, observou-se, em 2000, o total de 97 homens para 100 mulheres. Para 2050, espera-se que a razão entre a população masculina e a feminina fique em torno de 94%, isto é, em cada grupo de 100 mulheres haverá 6 excedentes em relação à quantidade de homens. Dessa forma, estimou-se que, em 2050, o excedente feminino na população total poderá atingir 7 milhões de mulheres.
Disponível em: www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/ projecao_da_populacao/2008/default.shtm. Acesso em: 10 jan. 2009 (com adaptações).
Esses dados indicam que a população brasileira total em 2050, distribuída por sexo, poderá atingir cerca de
Como informado, temos:
6 excedentes ------ 100 mulheres
7 000 000 de excedentes ------ x mulheres
[tex] x = \frac{7\ 000\ 000\ \cdot\ 100}{6} \cong 116\ milhões [tex]
Números de homens: 0,94 x 116 milhões = 109,04 milhões.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Certo hotel tem duas piscinas, sendo uma com 1,20 m de profundidade, e uma infantil com profundidade de 40 cm. Os formatos das duas são idênticos e dados na figura seguinte. A borda AB mede o triplo da borda correspondente na piscina menor.
O fundo da piscina maior tem o formato da figura ABCDE e o fundo da piscina menor é uma figura semelhante a essa figura ABCDE. Então a capacidade da piscina maior é
As duas piscinas são semelhantes e como a borda AB mede o triplo da borda correspondente na piscina menor, então:
[tex] \frac{V_{(menor)}}{V_{(maior)}} = (\frac{1}{3})^{3} = \frac{1}{27} [tex]
Logo,
[tex] V_{(maior)} = 27 \cdot V_{(menor)} [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Uma empresa vendia, por mês, 200 unidades de certo produto ao preço de R$ 40,00 a unidade. A empresa passou a conceder desconto na venda desse produto e verificou-se que a cada real de desconto concedido por unidade do produto implicava na venda de 10 unidades a mais por mês.
Para obter o faturamento máximo em um mês, o valor do desconto, por unidade do produto, deve ser igual a
Se x é o desconto, o faturamento é:
[tex]F(x) = (200 + 10x)(40 − x) [tex]
[tex] F(x) =\ – 10x^{2} – 200x + 400x + 8 000 [tex]
[tex]F(x) =\ −x^{2} + 20x + 800 [tex]
Como o coeficiente de x² < 0, sabemos que F tem valor máximo. Logo,
[tex] x_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{-2} = 10\ unidades [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O Sol é uma fantástica fonte de energia para nosso planeta, haja vista que 40 minutos de incidência de energia proveniente do Sol é equivalente ao consumo anual de energia do mundo. Nos Estados Unidos, pelo menos 640 km² somente no sudoeste são propícios à construção de usinas de energia solar, e essa área recebe 1,134 quatrilhão de quilocalorias de radiação solar por ano. Se somente 2,5% dessa radiação fossem convertidos em energia elétrica, seria o suficiente para suprir o consumo total de energia dos Estados Unidos no ano de 2006.
Scientific American Brasil, n.o 69, fevereiro de 2008, p.34.
Atualmente as células fotovoltaicas, que convertem energia solar em elétrica, possuem um rendimento de 10%, correspondente à fração da energia coletada pela energia recebida. Qual seria, em km², a área da região do sudoeste americano que seria necessário preencher com células fotovoltaicas para suprir a demanda energética dos Estados Unidos em 2006?
Já que 10% é o quádruplo de 2,5%, podemos concluir que seria necessário, e suficiente, preencher com células fotovoltaicas a quarta parte de 640 km² que é 160 km².
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Uma operadora de telefonia celular oferece o seguinte plano no sistema pós-pago: valor fixo de R$ 60,00 por mês para até 80 minutos de ligações locais e, para cada minuto excedente, será cobrado o valor de R$ 1,20.
Se P é o valor a ser pago em um mês e t o total de minutos utilizados em ligações locais, qual a expressão que permite calcular, em reais, a conta de uma pessoa que utilizou o telefone por mais de 80 minutos?
Veja que:
P = 60 + 1,2 . (t – 80)
P = 60 + 1,2t – 96
P = 1,2t – 36
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
A tabela seguinte mostra a frequência de acidentes com vítimas fatais envolvendo motocicletas no Distrito Federal, durante o ano de 2007, de acordo com o dia da semana e o horário.
Disponível em: www.detran.df.gov.br Acesso em: 06 jul. 2008.
Em relação ao total de acidentes, a razão entre a probabilidade de ocorrência de um acidente com vítima fatal em uma sexta-feira ou num sábado e, essa mesma probabilidade para uma terça-feira, é igual a
Veja que:
[tex] P_{(sexta-feira)} = \frac{13}{121} [tex]
e
[tex] P_{(sábado)} = \frac{26}{121} [tex]
Logo, a probabilidade de um acidente em uma sexta-feira ou sábado é:
[tex] P_{(sexta-feira - sábado)} = \frac{13}{121} + \frac{26}{121} = \frac{39}{121} [tex]
Agora, a probabilidade na terça feira:
[tex] P_{(terça-feira)} = \frac{13}{121} [tex]
Por último, a razão entre a probabilidade de ocorrência de um acidente com vítima fatal em uma sexta-feira ou num sábado e, essa mesma probabilidade para uma terça-feira, é:
[tex] razão = \frac{ P_{( sexta-feira - sábado)}}{P_{(terça-feira)}} = \frac{\frac{39}{121} }{\frac{13}{121}} [tex]
[tex] razão = \frac{39}{121} \cdot \frac{121}{13} = \frac{39}{13} = 3 [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O gráfico abaixo mostra a área colhida, em milhares de hectares, e a quantidade, em milhares de toneladas, de cana-de-açúcar produzida no Brasil, no período de 2000 a 2007.
Disponível em: http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/economia/pam/2007/comentario.pdf. Acesso em: 2 jan. 2009.
De acordo como o gráfico, em 2004, a produtividade, quantidade de toneladas produzidas de cana-de-açúcar por hectare, foi
A produtividade, em 2004, de acordo com o gráfico é, aproximadamente:
400 000 ÷ 5 500 = 72,72
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Uma propriedade rural tem a forma mostrada na figura a seguir, em que os segmentos PQ e QR são perpendiculares entre si. Suponha que, entre os pontos P e Q, passa um córrego retilíneo de largura inferior a 10 m, e entre os pontos Q e R passa um rio retilíneo de largura entre 15 m e 25 m. A legislação estabelece como Área de Preservação Permanente (APP) uma faixa marginal de 30 m de largura para cursos de água com menos de 10 m de largura, e uma faixa marginal de 50 m para cursos de água de 10 m a 50 m de largura.
Disponível em: jus2.uol.com.br. Acesso em: 20 ago. 2008. (com adaptações)
Com base nas informações do texto e na figura, qual deve ser a Área de Preservação Permanente dessa propriedade rural?
A Área de Preservação Permanente dessa propriedade rural é a soma das áreas de dois retângulos:
30 ∙ 130 + 50 ∙ 180 = 3 900 + 9 000 = 12 900 m²
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
No período do Brasil Colônia, a Coroa Portuguesa desenvolveu várias políticas de exploração do seu território. Ao longo de trezentos anos, foram realizadas muitas atividades exploratórias. No século XVIII, movida pelas expedições Bandeiras e pela expansão territorial, a província de Minas Gerais alcançou o auge na mineração de ouro.
O gráfico a seguir mostra a evolução da produção de ouro nos estados de Mato Grosso (MT), Goiás (GO) e Minas Gerais (MG) entre os anos de 1705 e 1799.
IstoÉ Brasil 500 Anos. Atlas Histórico. São Paulo: Três, 2000. p. 28.
O apogeu da mineração de ouro no Brasil ocorreu no período 1739-1754. A taxa média de crescimento anual neste período foi de
Veja que:
[tex] 15,8 - 14,1 = \frac{1,7\ toneladas}{15\ anos} = 0,113333... \cong\ 11,3 \% [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Mauritus Cornelis Escher, em alguns de seus trabalhos utilizava uma malha de polígonos regulares. A partir dessa malha, Escher fazia mudanças nos polígonos, sem alterar a área do polígono original. Assim surgiam figuras de homens, aves, peixes e lagartos que formavam mosaicos representados num plano bidimensional.
IMENES, L. M.; LELLIS, M. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 2000 (adaptado).
Considerando as informações do texto e as figuras acima e que o lado do hexágono mede 2 cm e que [tex] \sqrt{3} = 1,7[tex], pode-se revestir, aproximadamente,
Encontrando a área do hexágono:
[tex] A_{(hexágono)} = 6 \cdot A_{(triângulo\ equilátero)} = 6 \cdot \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4} [tex]
[tex] A_{(hexágono)} = 6 \cdot \frac{2^{2}\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} [tex]
[tex] A_{(hexágono)} = 6 \cdot 1,7 = 10,2\ cm^{2} [tex]
Agora, transformando a área do hexágono, (um lagarto), em m².
1 m² ----- 10 000 cm²
x m² ----- 10,2 cm²
[tex] x = \frac{10,2}{10\ 000} = 0,00102\ m^{2} [tex]
Logo,
[tex] \frac{15\ m^{2}}{0,00102\ m^{2}} = 14\ 705,8\ lagartos [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
A tabela a seguir mostra a evolução da população da região Nordeste do Brasil, em milhões de habitantes, em alguns anos entre o final do século XIX e o final do século XX.
Disponível em: http://www.ibge.com.br/seculoxx/ estatisticas_populacionais.shtm. Acesso em 20 jan. 2009.
Utilizando-se uma escala decenal na qual o ano 1890 corresponde ao decênio 1, 1900 corresponde ao decênio 2, etc., então a população da região Nordeste ultrapassou os 30 milhões de habitantes após o decênio
Percebemos na representação acima que o decênio que a população ultrapassou os 30 milhões de habitantes foi o 9.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O planeta terra possui em torno de 11,4 bilhões de hectares de terra e mar produtivos, capazes de fornecer suprimento para a população mundial. Se divididos pelos 6,5 bilhões de habitantes, deixam uma média de 1,8 hectare por pessoa. Para medir o impacto das nações sobre os recursos naturais do planeta, a pegada ecológica de cada país mostra o quanto de espaço no território é necessário para suprir os hábitos de consumo de cada habitante.
Almanaque Brasil – Socioambiental. São Paulo: Ministério da Cultura/ISA, 2008, p. 44.
De acordo com os dados apresentados no texto e na tabela, a porcentagem que a média das pegadas ecológicas dos países (da tabela) é maior que a média mundial é aproximadamente
Calculo da média:
[tex] \overline{X} = \frac{0,8+9,6+5,6+4,4+4,4+2,6+2,1+5,6+4,2+4,2}{10} = 4,35 [tex]
Agora, divida a média por 1,8 e subtraia 1.
[tex] \frac{ 4,35}{1,8} = 2,4333... - 1 = 1,4333... × 100 = 143,33 \% [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Uma empresa de transporte escolar, após mapear o local onde vai atuar, analisa os possíveis trajetos buscando minimizar o percurso desde a garagem (G), pegando os alunos (A1, A2, ..., A5) em suas residências, levando-os à faculdade (F) e, depois das aulas, trazendo-os de volta para suas residências. O mapa abaixo mostra as ruas, os pontos onde se localizam a garagem, as esquinas com pontos de parada para pegar os alunos e a faculdade.
As ruas, perpendiculares e(ou) paralelas, com as paralelas a 400 metros uma da outra, permitem o tráfego nos dois sentidos. Saindo da garagem G, pegando os alunos, levando-os à faculdade F e fazendo o mesmo percurso na volta, o menor percurso total medirá
Pela figura acima, temos 21 trecho de 400 metros. Logo, na ida e volta temos:
21 × 2 × 400m = 16 800m = 16,8 km
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Carros de motor a álcool ou a gasolina poluem de maneiras diferenciadas. Considere que cada litro de álcool consumido no motor corresponde a retirar 6,5 kg de CO₂ (gás carbônico) e injetar na atmosfera 4,7 kg de O₂ (gás oxigênio), enquanto cada litro de gasolina consumida no motor retira 2,6 kg de O₂ da atmosfera e lança 2,3 kg de CO₂. Suponha, ainda, que uma cidade possua uma frota de 20.000 veículos, sendo metade dos veículos movidos a álcool e que cada veículo a gasolina consome, em média, 2.000 litros de gasolina por ano, enquanto cada veículo a álcool consome, em média, 2.800 litros a mais de álcool.
De acordo com o texto, o consumo anual de combustível da frota de veículos daquela cidade corresponde a
Álcool (1 litro):
retira: 6,5 kg de CO₂ e injeta 4,7 kg de O₂
Gasolina(1 litro):
retira: 2,6 kg de O₂ e injeta 2,3 kg de CO₂
Frota: 20 000 (10 000 a álcool e 10 000 a gasolina).
Logo,
Álcool:
retira de CO₂: 10 000 ∙ 2 800 ∙ 6,5 = 182 000 000 kg
injeta de O₂: 10 000 ∙ 2 800 ∙ 4,7 = 131 600 000 kg
Gasolina:
retira de O₂: 10 000 ∙ 2 000 ∙ 2,6 = 52 000 000 kg
injeta de CO₂: 10 000 ∙ 2 000 ∙ 2,3 = 46 000 000 kg
Portanto,
retira-se de CO₂: 182 000 000 kg – 46 000 000 kg = 136 000 000.
injeta-se de O₂: 131 600 000 kg – 52 000 000 kg = 79 600 000 kg.
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Muitas indústrias têm procurado modificar as embalagens de seus produtos de forma a economizar material, mas mantendo o mesmo volume. Considere que se tenha uma folha de papelão quadrada e se deseje encontrar a melhor altura (h) para fazer uma caixa sem tampa, cortando-se os quatro cantos da folha. As exigências são que as dimensões da caixa sejam números inteiros e que o volume seja o maior possível. No modelo apresentado na figura seguinte, a folha tem 12 cm de lado e, nesse caso, a caixa de maior volume terá altura 2 cm. Para encontrar esse número, é calculado o volume em função da altura e prossegue-se atribuindo valores a h e calculando o volume, enquanto o valor do volume aumentar.
Se a folha quadrada tiver 20 cm de lado, qual deve ser a medida do lado do quadrado a ser cortado em cada um dos cantos, de modo a obter uma caixa sem tampa cujas dimensões sejam números inteiros e cujo volume seja o maior possível?
Veja que o volume da caixa é dado por:
V = (20 - 2h)∙(20 - 2h) ∙ h
V = 4h³ - 80h² + 400h
Logo,
h | V
---------
1 | 324
2 | 512
3 | 588
4 | 576 ..... já começou a diminuir, então ficamos com o valor anterior
V = 588 → h = 3
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
O quadro a seguir apresenta dados sobre a frota de veículos, e as estatísticas de acidentes de trânsito no Brasil no período compreendido entre 2003 e 2006.
Anuário Estatístico de Acidentes de Trânsito. DENATRAN/RENAEST, 2006 (com adaptações).
Suponha que, em 2006, o indicador relativo à quantidade de acidentes com vítimas a cada 10.000 veículos tenha sido a média dos valores correspondentes a esse indicador nos anos de 2003 a 2005. Nesse caso, o total de acidentes com vítimas ocorridos em 2006 foi igual a
Média entre 2003 e 2005:
[tex] \overline{X} = \frac{91+87,9+91,1}{3} = \frac{270}{3} = 90 [tex]
Agora, fazendo:
[tex] \frac{45\ 400\ 000}{10\ 000} \cdot 90 = 408\ 600 [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Adultos e crianças têm o hábito de colecionar miniaturas de carros. Vários padrões de coleção são encontrados, desde modelos com marcas específicas até modelos de um determinado período. A “fidelidade” ao modelo original das miniaturas encanta qualquer pessoa, isso é possível, entre outros itens, pela “obediência” às proporções de um veículo original. São encontrados carros em miniatura numa escala de 1 : 90 ou 1 : 45.
Miniaturas M1 e M2 de um carro, do mesmo modelo, foram confeccionadas, respectivamente, nas escalas 1 : 90 e 1 : 45.
Que relação existe entre a área da superfície das duas miniaturas?
Proporção da área corresponde ao "produto da proporção das medidas como na escala a proporção entre as medidas é a mesma". Logo, basta elevá-la ao quadrado.
Sendo assim, temos:
M1 = 1 : 90 = [tex] (\frac{1}{90})^{2} = \frac{1}{8\ 100} [tex]
M2 = 1 : 45 = [tex] (\frac{1}{45})^{2} = \frac{1}{2\ 020} [tex]
Logo,
[tex]\frac{M1}{M2} = \frac{(\frac{1}{90})^{2}}{(\frac{1}{45})^{2}} = (\frac{\frac{1}{90}}{\frac{1}{45}})^{2} [tex]
[tex]\frac{M1}{M2} = ( \frac{1}{90} \cdot \frac{45}{1})^{2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} [tex]
Portanto,
[tex]\frac{M1}{M2} = \frac{1}{4} → 4\ M1 = M2 [tex]
[tex] M1 = \frac{1}{4} \cdot M2 [tex]
Portanto,
área de M1 = [tex] \frac{1}{4} [tex] × (área de M2)
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Os alunos de uma escola fizeram uma rifa para arrecadação de fundos para uma festa junina. Os 1.000 bilhetes da rifa foram numerados com os múltiplos de 3, iniciando-se com o número 3. Serão sorteados, aleatoriamente, 3 números, correspondendo ao primeiro, ao segundo e ao terceiro prêmios.
A probabilidade de o número do primeiro bilhete sorteado ser par e maior que 2.991 é igual a
Como os bilhetes enumerados são múltiplos de 3 e são no total de 1000 bilhetes. Logo, o último bilhete tem número 3 000.
Portanto, o espaço amostral são de 3000/3 = 1000 números.
Agora, os bilhetes com números acima de 2 991 são:
2 992, 2993, 2994, 2995, 2996, 2997, 2998, 2999 e 3000.
Destes números que são pares e múltiplos de 3 são;
2 994 e 3000
Portanto, a probabilidade é:
[tex] P = \frac{2}{1\ 000} = 0,002 [tex]
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
A empresa SWED celulose faz o transporte de seus rolos em containeres num formato de um cilindro. Em cada um deles são transportados três rolos de celulose de raio igual a 1 m, tangentes entre si dois a dois e os três tangentes ao cilindro que os contém. Contudo, a empresa está interessada em descobrir o espaço que fica vago entre os rolos de celulose e o container que os contém, para preenchê-lo com resíduos de papel.
Para conhecer o espaço vago, é necessário determinar o raio do cilindro que contém os três cilindros pequenos. Esse raio é igual a
Veja que:
[tex] DO = AD + AO [tex]
[tex] DO = AD + \frac{2h}{3} [tex]
[tex] DO = 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{3+2\sqrt{3}}{3} [tex]
Obs. o baricentro de triângulo equilátero é a [tex] \frac{2h}{3} [tex].
(ENEM 2009 - 2ª Aplicação).
Maomé comandou a unificação política e religiosa da Arábia. Sua saída de Meca para Medina é chamada de Hégira, que, ocorrida no ano de 622 d.C., marcou o início da cronologia muçulmana.
AQUINO, R. Fazendo a História: da pré-história ao mundo feudal. Rio de Janeiro: Ao LivroTécnico, 1985 (com adaptações).
Para se converter a data do calendário muçulmano para o calendário gregoriano, é necessário considerar, inicialmente, que, entre o ano lunar muçulmano e o ano gregoriano, existe uma diferença de 97 dias em cada século. Dessa forma, o ano de 1400, no calendário muçulmano, corresponde, no calendário gregoriano, aproximadamente, ao ano de
O calendário muçulmano tem 97 dias a mais do que o gregoriano. Afinal, se são 97 a mais para cada 100 anos são 0,97 a mais para 1 ano.
Portanto:
Ano gregoriano = (Ano muçulmano) ∙ 0,97 + 622.
Logo,
Ano gregoriano = 1400 ∙ 0,97 + 622 = 1358 + 622 = 1980
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