(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,
Basta fazer as conversões para metros. Logo:
1m ----- 1 000 mm
a ----- 2 300 mm
a = 2,3 m
e
1m ----- 100 cm
b ----- 160 cm
b = 1,6 m
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
Terreno 1 : 55 m por 45 m
Terreno 2 : 55 m por 55 m
Terreno 3 : 60 m por 30 m
Terreno 4 : 70 m por 20 m
Terreno 5 : 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno.
Como devem ser gastos no máximo 180 m de tela, primeiro devemos calcular os perímetros de cada terreno:
Terreno 1: 55 × 2 + 45 × 2 = 110 + 90 = 200
Terreno 2: 55 × 2 + 55 × 2 = 110 + 110 = 220
Terreno 3: 60 × 2 + 30 × 2 = 120 + 60 = 180
Terreno 4: 70 × 2 + 20 × 2 = 140 + 40 = 180
Terreno 5: 95 × 2 + 85 × 2 = 190 + 170 = 360
Apenas os terrenos 3 e 4 satisfazem aos perímetros, que devem ser de, no máximo 180 m.
Agora, devemos calcular a maior área.
Terreno 3: 60 × 30 = 1800 m²
Terreno 4: 70 × 20 = 1400 m²
Nesse caso, o terreno 3.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:
– Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos.
– Meia hora de supermercado: 100 calorias.
– Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
– Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
– Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
– Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?
É só montar uma tabela com as respectivas atividades, e seus tempos, para 200 calorias.
Todavia, para fazer as tarefas mencionadas são gastos: 20 + 30 + 30 + 30 +30 +30 = 170 minutos.
Então, subtraindo 230 – 170 = 60 minutos, teremos quanto tempo a mais é necessário.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a
Calculando a média:
[tex]= \frac{13,5 \cdot 4 +20 \cdot 3 + 18 \cdot 2 + 14 \cdot 1 + 15,5 \cdot 1 + 16 \cdot 1 + 18,5 \cdot 1 + 19,5 \cdot 1 + 21,5 \cdot 1 }{4+3+2+1+1+1+1+1+1} [tex]
[tex]= \frac{255 }{15} = 17\ °C [tex]
Mediana: é uma medida de tendência central baseada na tabela de frequências. Portanto, 18ºC
Moda: de forma “coloquial” é o evento que se repete mais vezes. 13,5ºC.
(ENEM 2011- 1ª Aplicação).
Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250.
Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
A construção na escala de 1 : 250 indica que as medidas da maquete são 250 vezes menores que as medidas da quadra, assim sendo, 1 cm na maquete equivalem a 250 cm na quadra de esportes.
Como as medidas da escala estão em cm, precisamos converter as medidas da quadra para a mesma unidade de medida. O faremos as multiplicando por 100, já que um metro equivale a 100 cm:
28 × 100 = 2 800
12 × 100 = 1 200
Visto que as medidas da maquete são 250 vezes menores que as medidas da quadra, então a maquete terá 11,2 cm de comprimento:
2 800 ÷ 250 = 11,2
E para conferir se de fato C é a opção correta, vamos calcular a medida da largura da maquete:
1 200 ÷ 250 = 4,8
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:
Disponível em: http://www.enersul.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010.
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
Observando o desenho, vemos que os relógios são orientados, da seguinte forma:
Milhar: anti-horário
Centena: horário
Dezena: anti-horário
Unidade: horário
De acordo com a informação na questão, cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
Logo:
Milhar: 2
Centena: 6
Dezena: 1
Unidade: 4
Formando, portanto o número 2.614
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.
Os formatos dos sólidos descartados são
Primeiro são descartados dois sólidos iguais (dois prismas triangulares) resultando no sólido amarelo.
Depois são descartados mais dois sólidos iguais (dois tetraedros iguais) resultando no sólido rosa.
Logo, são descartados dois sólidos iguais, dois a dois.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Café no Brasil
O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.
Veja. Ed. 2158, 31 mar. 2010.
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 1/5 do que foi consumido no ano anterior.
De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010?
331 × 1 bilhão × 120 mL = 39.720 bilhões de mL ou voltando a vírgula 3 casas, para converter para litros, temos 39,72 bilhões de litros.
Como o consumo aumentou em [tex]\frac{1}{5}[tex], basta fazer o seguinte:
[tex]= 39,72 × (1 + \frac{1}{5} = 39,72 × (1 + 0,2) [tex]
[tex]= 39,72 × 1,2 = 47,66\ bilhões\ de\ litros [tex]
O mais próximo é 48 bilhões.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de
[tex] Escala = \frac{desenho}{real} [tex]
[tex] Escala = \frac{8\ cm}{2\ 000\ km} [tex]
[tex] Escala = \frac{8\ cm}{2\ 000\ 000\ cm} = \frac{1}{25\ 000\ 000} [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.
Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de
O modelo de sombrinha muito utilizado em países orientais possui forma cônica.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos.
Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o início do caos?
Fazemos uma regra de três simples:
1m ------ 3,3 pés
6 000 m ----- x
x = 6000 × 3,3 = 19 800 pés
Calculando a diferença, temos:
31.000 – 19.800 = 11.200 pés
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 24 abr. 2011 (adaptado).
Uma jovem com IMC = 20 kg/m², 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é:
(Use [tex] \sqrt{3} = 3 [tex] e [tex] \sqrt{1,7} = 1,3 [tex])
Considerando h a altura da jovem, temos:
[tex] \frac{60}{h^{2}} = 20 → h^{2} = \frac{60}{20} [tex]
[tex] h = \sqrt{3} \cong 1,7 [tex]
Seu IAC será:
[tex] IAC = \frac{100}{1,7\ \cdot\ \sqrt{1,7}} - 18 = \frac{100}{1,7\ \cdot\ 1,3} - 18 [tex]
[tex] IAC = \frac{100}{2,21} - 18 = 45,25 - 18 = 27,25 [tex]
Como o IAC normal equivale à faixa entre 19% e 26%, a melhor alternativa é reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (–5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
O local da estação é um ponto da reta y = x + 4.
Observando as alternativas, apenas os pontos (-3, 1); (0, 4) e (2, 6) pertencem à reta.
Agora, devemos calcular a distância entre os pontos encontrados e o ponto P(-5, 5).
[tex] d_{1} = \sqrt{(-3-(-5))^{2} + (1 - 5)^{2}} = \sqrt{2^{2} + (-4)^{2}} [tex]
[tex] d_{1} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} < \sqrt{25} = 5 [tex]
Essa distância satisfaz ao problema.
[tex] d_{2} = \sqrt{(0-(-5))^{2} + (4 - 5)^{2}} = \sqrt{5^{2} + (-1)^{2}} [tex]
[tex] d_{2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} > \sqrt{25} = 5 [tex]
Essa distância não satisfaz ao problema.
[tex] d_{3} = \sqrt{(2-(-5))^{2} + (6 - 5)^{2}} = \sqrt{7^{2} + 1^{2}} [tex]
[tex] d_{3} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} > \sqrt{25} = 5 [tex]
Essa distância não satisfaz ao problema.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.
Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é
Preço = 1,75 × K
K = quantidade de quilos de frutas;
k = 0 → Preço = 0
k = 1 → Preço = 1,75
k = 2 → Preço = 2,5
...
Cresce proporcionalmente com a quantidade de quilos
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano:
• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa.
• Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente para quatro pessoas.
• Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado.
• Uma garrafa de vinho serve seis pessoas.
• Uma garrafa de cerveja serve duas.
• Uma garrafa de espumante serve três convidados.
Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.
Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia. Jornal Hoje. 17 dez. 2010 (adaptado).
Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de
De forma direta calcularemos a quantidade necessária para 30 convidados em relação aos suprimentos.
Carne: 250g × 30 = 7500g = 7,5 Kg;
Arroz: ¼ × 30 = 7,5 copos;
Farofa: 4 × 30 = 120 colheres;
Vinho: 1/6 × 30 = 5 garrafas;
Cerveja: ½ × 30 = 15 garrafas;
Espumante: 1/3 × 30 = 10 garrafas.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:
Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?
Tomemos a média, para a região nordeste, dos participantes.
[tex] M = \frac{18+19+21+15+19}{5} = \frac{92}{5} = 18,4 [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
Observando o desenho, podemos destacar as seguintes informações:
1º) distância AB = 2000 e os ângulos α e 2α.
2º) Os ângulos α e 2α, agora são: 30º e 2 × 30º = 60º.
3º) o ângulo ABP é suplementar de 60º, ou seja, ele deve valer 120º.
4º) Consequentemente, o ângulo P valerá 30º (a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º). Dessa forma, o triângulo ABP é isósceles (possui dois ângulos iguais: 30º) Se ele é isósceles, então: AB = BP = 2 000.
Agora, vamos ao triângulo BPC:
[tex] sen 60° = \frac{PC}{BP} → \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{PC}{2000} [tex]
[tex] 2 PC = 2000 \sqrt{3} → PC = 1000\sqrt{3} [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é
880 605 – 4 300 = 876 305
Agora podemos observar que:
Janeiro (1): 876 305
Fevereiro (2): 876 305 + 4 300 × 1
Março (3): 876 305 + 4 300 × 2
Mês x (x): 876 305 + 4 300 × (x - 1)
⁞ ⁞
Logo:
y = 876 305 + 4 300 × (x - 1)
y = 876 305 + 4 300x - 4 300
y = 872 005 + 4 300x
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
Aplicando R$ 500,00 na poupança, ao fim de um mês, o investidor terá um montante de:
[tex] 500 \cdot (1 + \frac{0,560}{100}) = 500 \cdot 1,0056 = 502,80 [tex]
Aplicando R$ 500,00 em CDB, o jovem terá, ao fim de um mês:
[tex] 500 \cdot (1 + \frac{0,876}{100}) = 500 \cdot 1,00876 = 504,38 [tex] (ganho de R$ 4,38)
Agora, aplicando o imposto sobre o ganho, teremos:
[tex] 4,38 \cdot \frac{4}{100} = 4,38 \cdot 0,04 = 0,1752 [tex]
Assim, no CDB, o valor final será de:
504,38 - 0,1752 = 504,2048
Logo, R$ 504,21.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de Pernambuco.
Considere dois consumidores: um que é de baixa renda e gastou 100 kWh e outro do tipo residencial que gastou 185 kWh. A diferença entre o gasto desses consumidores com 1 kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de
Os gastos por kWh depois da redução são:
[tex] \frac{85,56}{185} = 0,4624 [tex] (reais)
[tex] \frac{16,73}{100} = 0,1673 [tex] (reais)
Assim, a diferença é 0,4624 – 0,1672 = 0,2952 ou seja, aproximadamente R$ 0,29.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
Vamos calcular as equações para ambas as situações
1ª empresa: 100 000n + 350 000
2ª empresa: 120 000n + 150 000
Logo, 100 000n + 350 000 = 120 000n + 150 000 (: 1000)
100n + 350 = 120n + 150
Se igualou por apresentarem o mesmo padrão de qualidade.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de
Vamos considerar C o capital inicial investido.
1º mês: perdeu 30% de C ou 0,3C, ficando com 70% de C ou 0,7C.
2º mês: recuperou 20% do que havia perdido, isto é:
20% de 0,3C, ou 0,2 x 0,3C = 0,06C
ficando agora, com:
0,7C + 0,06C = 0,76C
Como o montante final foi de 3.800, então:
0,76C = 3.800 → C = 5.000.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.
Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010.
Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de
A densidade demográfica é:
[tex] d = \frac{número\ de\ habitantes}{área} [tex]
Assim,
[tex] d = \frac{20\ milhões}{800\ mil} = \frac{20\ \cdot\ 10^{6}}{800\ \cdot\ 10^{3}} [tex]
[tex] d = 0,025 \cdot 10^{3} = 0,025 \cdot 1000 = 25 [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
A quantidade de passagens vendidas (33.000; 34.500; 36.000; ...) forma uma P.A. de razão 1.500.
Considerando o mês de janeiro o primeiro termo ([tex]a_{1}[tex]) e o mês de julho, o sétimo termo ([tex]a_{7}[tex]), temos:
[tex] a_{7} = a_{1} + 6r = 33\ 000 + 6 \cdot 1\ 500 [tex]
[tex] a_{7} = 33\ 000 + 9\ 000 = 42\ 000 [tex]
Logo, o número de passagens vendidas em julho é igual a 42.000.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas por gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é
Sabemos que Rafael mora no centro da cidade e que existem 4 possíveis regiões para ele se mudar. Contudo, somente 3 dessas regiões estão dentro das recomendações médicas, ou seja, abaixo de 31º C, que são: rural, residencial urbano e residencial suburbano.
Logo, a probabilidade será de 3 em 4, ou seja 3/4.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando à utilização racional de energia elétrica. Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas pode ser a redução do tempo no banho. Um chuveiro com potência de 4 800 W consome 4,8 kW por hora.
Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em sete dias, quantos kW?
Uma pessoa que toma 2 banhos de 10 minutos por dia, durante 7 dias, terá usado 140 minutos.
[tex] 1\ h ----- 60\ min [tex]
[tex] x\ h ----- 140\ min [tex]
[tex] 60x = 140 [tex]
[tex] x = \frac{140}{60} = \frac{7}{3} \ h [tex]
Logo: o chuveiro consome 4,8 kW por hora, ou seja:
[tex] 4,8 \cdot \frac{7}{3} = 11,2 [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.
BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensino-aprendizagem de Matemática em cursos de 1o e 2o graus. 1990. Dissertação de Mestrado. IGCE/UNESP, Rio Claro, 1990 (adaptado).
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado?
O comprimento da volta só varia com o raio das semicircunferências, já que os dois trechos retilíneos não se alteram. A raia 1 é a de menor raio, sendo portanto a mais curta.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo.
Época. 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção.
De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a
Considerando H o número de homens internados por AVC daqui a cinco anos, de acordo com o texto:
[tex] \frac{32}{32 + 8} = \frac{28}{H} → 32H = 28 \cdot 40 [tex]
[tex] H = \frac{28\ \cdot\ 40}{32} = \frac{1120}{32} = 35 [tex]
Portanto, 35 mil homens.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, no 166, mar. 1996.
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3).
O copo tem formato de cilindro com altura 10 cm, raio 2cm e volume,
[tex] V_{C} = A_{B} × H = π×r^{2}×H = 3×(2)^{2}×10 [tex]
[tex] V_{C} = 120\ cm^{3} = 120\ mL[tex]
No caso da mistura devemos prestar atenção que a mistura se dá entre 1 parte de açúcar para 5 partes de água, ou seja, [tex] \frac{5}{6}[tex] do volume do copo são utilizados. Assim,
[tex] V(H_{2}O) = \frac{5}{6} \cdot V_{C} = \frac{5}{6} \cdot 120 = 100\ mL [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é
Temos 16 bolas, sendo 1 bola branca e 15 bolas coloridas e numeradas de 1 a 15.
Escolha de Arthur: 12 = (1 + 11); (2 + 10); (3 + 9); (4 + 8); (5 + 7) → total de possibilidades: 5
Escolha de Bernardo: 17 = (2 + 15); (3 + 14); (4 +13); (5 + 12); (6 + 11); (7 + 10); (8 + 9) → total: 7
Escolha de Caio: 22 = (7 + 15); (8 + 14); (9 + 13); (10 + 12) → total: 4
Logo, Bernardo tem maiores possibilidades (7), seguido por Arthur (5) e Caio (4).
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m/h², onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros.
Veja. Ed. 2055 (adaptado).
No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos.
A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são
O IMC é dado por:
[tex] IMC = \frac{m}{h^{2}} [tex]
Logo,
[tex] IMC_{(Duílio)} = \frac{96,4}{1,88^{2}} = 27,3 [tex]
[tex] IMC_{(Sandra)} = \frac{84}{1,70^{2}} = 29,1 [tex]
Logo, ambos estão na categoria de sobrepeso, de acordo com a tabela.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação.
Disponível em: http://img.terra.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é
Analisando a tabela, temos 22 pessoas portadoras de doenças crônicas, num total de 200 pessoas atendidas (42 + 22 + 56 + 30 + 50), logo teremos a seguinte probabilidade:
[tex] P = \frac{22}{200} = 0,11 [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI).
Disponível em: http://agencia.ipea.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio?
Número de casos totais: 34 + 20 + 15 + 1 + 1 + 24 = 100
Número de casos favoráveis: 15 + 5 + 1 + 1 = 22
Logo, a probabilidade será:
[tex] P = \frac{22}{100} = 0,22 [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Um técnico em refrigeração precisa revisar todos os pontos de saída de ar de um escritório com várias salas. Na imagem apresentada, cada ponto indicado por uma letra é a saída do ar, e os segmentos são as tubulações.
Iniciando a revisão pelo ponto K e terminando em F, sem passar mais de uma vez por cada ponto, o caminho será passando pelos pontos
O caminho que satisfaz as condições do enunciado é:
K → L → G → I → J → H → F
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado).
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de
De acordo com o gráfico, houve queda da participação do agronegócio no período de 2003 a 2006.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é
Vamos separar o problema em partes pois precisamos saber quantos números formados pelos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 virão antes do número 75.913.
→ Números que iniciam com 1:
1 — — — — = [tex] 1 \cdot P_{(4)} = 1 \cdot 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 [tex]
→ Números que iniciam com 3:
1 — — — — = [tex] 1 \cdot P_{(4)} = 1 \cdot 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 [tex]
→ Números que iniciam com 5:
1 — — — — = [tex] 1 \cdot P_{(4)} = 1 \cdot 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 [tex]
Logo, 24 x 3 = 72 números.
Agora, precisamos tomar cuidado com os números que iniciam com 7. Vamos trabalhar primeiramente os que iniciam com 71 e depois 73.
[tex] \frac{1}{(7)} \frac{1}{(1)} — — — = 1 \cdot 1 \cdot P_{(3)} = 1 \cdot 1 \cdot 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 [tex]
[tex] \frac{1}{(7)} \frac{1}{(3)} — — — = 1 \cdot 1 \cdot P_{(3)} = 1 \cdot 1 \cdot 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 [tex]
Ainda teremos os números que Iniciam com 75. Vamos listá-los em ordem crescente:
75139; 75193; 75319; 75391; 75913
Ou seja, mais 5 números e chegamos no número desejado.
Portanto, termos 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 5 = 89 números.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três as alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.
Época. Ed. 619. 29 mar. 2010 (adaptado).
Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à enquete?
279 internautas responderam à enquete e 25% destes responderam NÃO.
Logo, 0,25 × 279 = 70 internautas
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3 000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6 000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10 000 K.
A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes.
Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade. Disponível em: http://www.zenite.nu. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade?
Chamemos [tex]T_{e} [tex]a temperatura da estrela, então,
[tex]T_{e} = 5 \cdot T_{50L} = 5 \cdot 5\ 770 = 28\ 850[tex]
Tal estrela, segundo a tabela, pertence a classe espectral [tex]B_{0}[tex], cuja luminosidade vale 20 000 = 2 × 10⁴ vezes a luminosidade do sol.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá
Basta usar a expressão fornecida pelo texto, e calcular o investimento para cada caso (A, B e C).
A: (1,03)¹² = 1,426
B: (1,36)¹ = 1,36
C: (1,18)² = 1,3924
Logo, A > C > B.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.
Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é
Duas grandezas diretamente proporcionais "a" e "b" que satisfazem a relação [tex] \frac{a}{b} [tex] é constante.
Como S é diretamente proporcional a "b" e ao quadrado de "d", temos:
[tex] \frac{S}{bd^{2}} = k → S = k \cdot b \cdot d^{2} [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente.
O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é
Sendo x o número de minutos utilizados por mês,tem-se:
1) No plano K, até 200 minutos, pagam-se R$ 29,90. A partir de 200 minutos, pagam-se R$ (29,90 + (x – 200) × 0,20)
2) No plano Z, até 300 minutos, pagam-se R$ 49,90. A partir de 300 minutos, pagam-se R$ (49,90 + (x – 300) × 0,10)
Sendo assim, o gabarito é letra D.
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro-velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro
As medidas encontradas pelo dono da oficina são:
68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm; 68,012 mm
Vamos colocar todos os números com 3 casas decimais, para melhor visualização:
68,21 mm = 68,210 mm
68,102 mm = 68,102 mm
68,001 mm = 68,001 mm
68,02 mm = 68,020 mm
68,012 mm = 68,012 mm
Assim, o que ficou mais próximo de 68 mm foi 68,001 mm
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a Mw e M0 é uma escala logarítmica.
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina × cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3.
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina × cm)?
A fórmula é:
[tex] M_{W} = - 10,7 + \frac{2}{3}log_{10}(M_{0}) [tex]
e a magnitude dada foi [tex] M_{W} = 7,3[tex].
Agora, é só substituir uma na outra, assim:
[tex] 7,3 = - 10,7 + \frac{2}{3}log_{10}(M_{0}) [tex]
[tex] 7,3 + 10,7 = \frac{2}{3}log_{10}(M_{0}) [tex]
[tex] 18 = \frac{2}{3}log_{10}(M_{0}) [tex]
[tex] 18 \cdot 3 = 2 \cdot log_{10}(M_{0}) [tex]
[tex] 54 = 2 \cdot log_{10}(M_{0}) [tex]
[tex] \frac{54}{2} = log_{10}(M_{0}) [tex]
[tex] 27 = log_{10}(M_{0}) [tex]
Agora, aplicando a definição de logarítmo.
[tex] M_{0} = 10^{27} [tex]
(ENEM 2011 - 1ª Aplicação).
Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
O lucro total (LT) será dado por:
FT – CT = 5q – (2q + 12) = 3q – 12
A quantidade mínima de produtos é igual a
3q − 12 ≥ 0 ⇒ q ≥ 4.
Pelo menos 4.
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