(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Considere que o esquema represente uma trilha poligonal que Carlos deve percorrer, partindo do ponto A até chegar ao ponto M.
Sabendo que o segmento AB possui 11 m de comprimento e, a partir desse, o comprimento de cada segmento seguinte possui um metro a menos que o comprimento do segmento anterior, quantos metros Carlos terá caminhado ao percorrer toda a trilha?
Cada segmento seguinte possui um metro a menos que o comprimento do segmento anterior. Logo,
C = 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 metros
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Uma campanha de vacinação contra um tipo específico de vírus, que causa uma gripe com alto índice de mortalidade, deverá ser realizada em uma cidade que tem uma população de 186 000 habitantes.
A Secretaria de Saúde do município tem os dados que evidenciam os grupos de pessoas mais afetadas pela doença e pretende estabelecer como critério de prioridade de vacinação as porcentagens de casos de morte, em decorrência da contaminação pelo vírus, em ordem decrescente. Observe os dados na tabela:
Número de pessoas que foram contaminadas pelo vírus, curadas e mortas, discriminadas por grupos característicos
Tomando como base os dados da tabela, os especialistas em saúde pública do município podem verificar que o grupo com maior prioridade de vacinação é o de
O grupo que a ser prioridade é o tem maior porcentagens da mortalidade. Portanto,
Recém-nascidos: [tex] = \frac{140}{280} = 0,5 [tex].
Mulheres gestantes: [tex] = \frac{255}{1020} = 0,25 [tex].
Crianças com idade entre 3 e 10 anos: [tex] = \frac{1521}{2340} = 0,65 [tex].
Idosos com idade entre 60 e 80 anos: [tex] = \frac{980}{3500} = 0,28 [tex].
Pessoas com alto nível de obesidade: [tex] = \frac{240}{800} = 0,3 [tex].
Portanto, as crianças com idade entre 3 e 10 anos devem a ser a prioridade da campanha de vacinação.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
O Sr. José compra água do vizinho para irrigar sua plantação, situada em um terreno na forma de um quadrado de 30 m de lado. Ele paga R$ 100,00 mensais pela água que consome. A água é levada a seu terreno através de tubos em forma de cilindros de ½ polegada de diâmetro.
Visando expandir sua plantação, o Sr. José adquire um terreno com o mesmo formato que o seu, passando a possuir um terreno em forma retangular, com 30 m de comprimento e 60 m de largura.
Quanto ele deve pagar a seu vizinho por mês, pela água que passará a consumir?
Para o terreno na forma quadrada, temos:
Área = L² = 30² = 900 m²
Logo, 900 m² paga-se R$ 100,00.
Agora, para ao terreno na forma retangular, temos:
Área = b × h = 60 m × 30 m = 1 800 m²
Portanto, a nova área consumirá o dobro de água. Logo, ele passará a pagar:
2 × R$ 100,00 = R$ 200,00.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Durante o século XX, a principal fonte primária de geração de energia, isto é, a principal fonte de energia do Brasil, foi alterada.
Veja no gráfico, em termos percentuais, a quantidade de energia gerada a partir de cada uma das fontes primárias:
Almanaque Abril 2010. São Paulo: Abril, 2010.
Com base no gráfico, essa troca da principal fonte primária de geração de energia ocorreu entre quais fontes?
Pelo leitura do gráfico, percebe-se que a quantidade de lenha (legenda cinza) diminua e a quantidade de petróleo (legenda quadriculada) aumenta.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Um aventureiro chama a atenção para o impacto do plástico no meio ambiente, atravessando a maior concentração de lixo do mundo em um veleiro feito totalmente de recipientes recicláveis. O barco flutua graças a 12 mil garrafas plásticas.
No Brasil, a produção mensal de garrafas plásticas é de 9 bilhões de unidades, sendo que 47% dessas garrafas são reaproveitadas e o restante vai para o lixo.
Época. São Paulo: Globo, n. 619, 29 mar. 2010 (adaptado).
Quantos barcos como esse é possível construir com as garrafas que vão para o lixo no Brasil?
Veja que:
9 bilhões = 9 × 10⁹ garrafas ----- 100%
x garrafas ----- 53% (100% – 47%)
[tex] x = \frac{9\ \cdot\ 10^{9}\ \cdot\ 53}{100} = \frac{477\ \cdot\ 10^{9}}{100} = 4,77 \cdot 10^{9} [tex]
Agora, como:
1 barco ------ 12 mil garrafas
x barco ------ 4,77 x 10⁹ garrafas
[tex] x = \frac{4,77\ \cdot\ 10^{9}}{12\ \cdot\ 10^{3}} = 0,3935 \cdot 10^{6} = 397\ 500\ barcos [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Os alunos da 3ª série do ensino médio da escola Z fizeram dois simulados de matemática, cada um com 8 questões de múltipla escolha, no valor de 0,5 ponto cada. Há apenas uma alternativa correta por questão.
O quadro mostra o percentual de alunos que acertaram cada questão, em cada um dos simulados.
Sabendo-se que o número de alunos que fizeram os simulados foi o mesmo, a média geral da turma, considerando as notas dos dois simulados, mais aproximada, é de,
[tex] X = \frac{60 \% +50 \% + 80 \% + 30 \% + 20 \% + 60 \% + 30 \% + 10 \% }{8} [tex]
[tex] X = \frac{340 \% }{8} = 42,50 \% [tex]
[tex] X = \frac{80 \% +30 \% + 60 \% + 30 \% + 40 \% + 90 \% + 10 \% + 10 \% }{8} [tex]
[tex] X = \frac{350 \% }{8} = 43,75 \% [tex]
[tex] X_{(geral)} = \frac{42,5 \% +43,75 \% }{2} = \frac{86,25 \% }{2} = 43,125 \% [tex]
Nota máxima: 8 × 0,5 ponto = 4 pontos.
Logo, 43,125% × 4 = 1,725 = 1,7
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Atualmente existem muitos aplicativos de fazendas virtuais que, apesar de críticas, possuem uma enorme quantidade de usuários. Embora apresentem algumas diferenças de funcionamento, as fazendas virtuais possuem a mesma concepção: cada vez que o usuário cuida de sua fazenda ou da de seus amigos, ganha pontos, e, quanto mais pontos acumula, maior é seu nível de experiência.
Em um aplicativo de fazenda virtual, o usuário precisa de 1 000 pontos para atingir o nível 1. Acumulando mais 1 200 pontos, atinge o nível 2; acumulando mais 1 400 pontos, atinge o nível 3 e assim por diante, sempre com esse padrão.
Um usuário que está no nível 15 de experiência acumulou
Progressão Aritmética:
[tex] a_{1} = 1000 [tex]
[tex]a_{2} = 1200[tex]
[tex]a_{3} = 1400[tex]
⁞
[tex]a_{15} = ? [tex]
[tex]r = a_{2} – a_{1} = 1200 – 1000 = 200 [tex]
[tex]S_{15} = ? [tex]
Logo,
[tex] a_{15} = a_{1} + (n - 1)\cdot r = 1000 + (15 - 1)\cdot 200 [tex]
[tex] a_{15} = 1000 + 2800 = 3800 [tex]
e,
[tex] S_{15} = \frac{(1000 + 3800)\cdot 15}{2} = \frac{4800\ \cdot\ 15}{2} = 36\ 000 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura.
As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.
Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.
No exemplo anterior, o segmento A₁B₁ da figura 1, contido na reta r₁, transformou-se no segmento A₂B₂ da figura 2, contido na reta r₂.
Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta r₁ sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento AnBn estará contido na reta rn.
A equação algébrica que descreve rn , no plano cartesiano, é
A equação da reta [tex] r_{1}[tex] que passa por (1, 2) e (2, 1) é:
[tex] \begin{cases} a = \frac{2-1}{1-2} = -1 \\ 2 = -1(1) + b → b = 3 \end{cases} [tex]
→ [tex] r_{1} : y = -x +3\ ou\ y + x = 3 [tex]
Aumentar o comprimento e manter a largura significa aumentar a abscissa x, mantendo a ordenada y.
i) Se n = 2. A reta [tex]r_{2}[tex] passará por (2.1, 2) = (2, 2) e (2.2, 1) = (4, 1). Sua equação será:
[tex] \begin{cases} a = \frac{2-1}{2-4} = -\frac{1}{2} \\ 2 = -\frac{1}{2}(2) + b → b = 3 \end{cases} [tex]
→ [tex] r_{2} : y = -\frac{1}{2}x +3\ ou\ 2y + x = 6 [tex]
ii) Se n = 3. A reta [tex]r_{3}[tex] passará por (3.1, 2) = (3, 2) e (3.2, 1) = (6, 1). Sua equação será:
[tex] \begin{cases} a = \frac{2-1}{3-6} = -\frac{1}{3} \\ 2 = -\frac{1}{3}(3) + b → b = 3 \end{cases} [tex]
→ [tex] r_{3} : y = -\frac{1}{3}x +3\ ou\ 3y + x = 9 [tex]
Comparando os efeitos provocandos, conclui-se que multiplicando a abscissa x por n, teríamos:
[tex] r_{x} : y = -\frac{1}{n}x +3\ ou\ ny + x = 3n [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
A figura que segue é formada por 5 quadrados congruentes, cuja medida do lado é L, e um quadrado ABCD com vértices em um único vértice de quatro dos cinco quadrados.
A área do quadrado ABCD é equivalente à área de um retângulo de lados
Encontrando o valor x (hipotenusa) "Parte vermelha":
[tex] x^{2} =(\frac{L}{2})^{2} + L^{2} [tex]
[tex] x = \sqrt{\frac{L^{2}}{4} + L^{2}} = \frac{L\sqrt{5}}{2} [tex]
O comprimento da parte y "parte azul" é igual a comprimento da "parte vermelha". Desta maneira, o lado do quadrado é:
[tex] lado = 2 \cdot \frac{L\sqrt{5}}{2} = L\sqrt{5} [tex]
Portanto, a área a área do quadrado ABCD é:
[tex] Área_{(ABCD)} = (Lado)^{2} = (L\sqrt{5})^{2} = 5L^{2} [tex]
Sendo assim, a última possibilidade para obter um retângulo de área 5 L² é:
[tex] Área_{(retângulo)} = 5L \cdot 1L [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Pedro ganhou R$ 360 000,00 em uma loteria federal e resolveu dividir integralmente o prêmio entre os seus três filhos, Ana, Renato e Carlos, de forma que cada um receba uma quantia que seja inversamente proporcional às suas idades.
Sabendo que Ana tem 4 anos, Renato, 5 anos e Carlos, 20 anos, eles receberão, respectivamente,
Como os prêmios são divididos igualmente inversamente proporcionais, logo, temos:
[tex] \frac{x}{4} + \frac{x}{5} + \frac{x}{20} = 360 [tex]
[tex] \frac{5x\ +\ 4x\ +\ x\ =\ 7\ 200}{20} → x = R \$ 720\ 000 [tex]
Portanto,
Ana: [tex]\frac{R \$\ 720\ 000}{4} = R \$\ 180\ 000,00 [tex]
Renato: [tex]\frac{R \$\ 720\ 000}{5} = R \$\ 144\ 000,00 [tex]
Carlos: [tex]\frac{R \$\ 720\ 000}{20} = R \$ 54\ 000,00 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Uma empresa responsável por produzir arranjos de parafina recebeu uma encomenda de arranjos em formato de cone reto. Porém, teve dificuldades em receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado e negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de arranjos na forma de um prisma reto, com base quadrada de dimensões 5 cm × 5 cm.
Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava um volume de 500 mL, qual deverá ser a altura, em cm, desse prisma para que a empresa gaste a mesma quantidade de parafina utilizada no cone?
Considera-se que 1 mL = 1 cm³.
Como o volume do cone e do prisma são iguais, logo:
[tex] V_{(cone)} = V_{(prisma)} [tex]
[tex] 500 = 5^{2}\cdot h [tex]
[tex] h = \frac{500}{25} = 20\ cm [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Por falta de tratamentos simples, mais de 1 bilhão de pessoas pobres no mundo acordam doentes todos os dias. Entre essas doenças está a ancilostomose, que aflige 600 milhões de pessoas e causa anemia severa e desnutrição protéica. Para fornecer tratamento a essas pessoas, estima-se um gasto anual de cinquenta centavos de dólar por paciente.
HORTEZ, P. J. Um plano para derrotar Doenças Tropicais Negligenciadas. Scientific American Brasil. Ano 8, nº 33 (adaptado).
Uma organização está disposta a lançar uma campanha internacional a fim de obter recursos suficientes para cobrir o tratamento das pessoas com ancilostomose por um ano. Segundo seu planejamento, estima-se um valor médio de US$ 3,00 por doador.
De acordo com o planejamento dessa organização, para arrecadar o total de recursos necessários para cobrir o tratamento das pessoas com ancilostomose, por um ano, o número mínimo de contribuintes necessários é de
Como informado no texto, gasta-se U$ 0,50 de dólar por paciente. Logo,
600 milhões = 600 × 10⁶ × U$ 0,5 = U$ 300 × 10⁶
Agora, cada doador contribuirá com um valor médio de U$ 3,00. Portanto,
[tex] \frac{U \$\ 300\ \cdot\ 10^{6}}{U \$\ 3,00} = 100 \cdot 10^{6} = 100\ milhões [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Uma agência de viagens de São Paulo (SP) está organizando um pacote turístico com destino à cidade de Foz do Iguaçu (PR) e fretou um avião com 120 lugares.
Do total de lugares, reservou [tex] \frac{2}{5}[tex] das vagas para as pessoas que residem na capital do estado de São Paulo, [tex] \frac{3}{8}[tex] para as que moram no interior desse estado e o restante para as que residem fora dele.
Quantas vagas estão reservadas no avião para as pessoas que moram fora do estado de São Paulo?
Total de vagas destinadas as pessoas que moram fora do Estado de São Paulo é:
[tex] \frac{2}{3} + \frac{16 + 15}{40} = \frac{31}{40} [tex]
Logo,
[tex] \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40} [tex]
Sendo assim,
[tex] \frac{9}{40}\cdot = \frac{1080}{40} = 27\ pessoas [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Em 2009, o Estado de São Paulo perdeu 3 205,7 hectares de sua cobertura vegetal, área 30% menor que a desmatada em 2008, segundo balanço do projeto ambiental estratégico “Desmatamento Zero”, divulgado pela Secretaria do Meio Ambiente (SMA).
São Paulo reduz área desmatada. Boletim Agência FAPESP. Disponível em: http://www.agencia.fapesp.br. Acesso em: 26 abr. 2010.
Um hectare é uma unidade de medida de área equivalente a 100 ares. Um are, por sua vez, é equivalente a 100 m².
Logo, a área 3 205,7 hectares corresponde a
Como um hectare equivale a 100 ares e um are, por sua vez, é equivalente a 100 m².
Portanto, 100 × 100 = 10 000 m².
Logo,
3 205,7 hectares × 10 000 m² = 32 057 000 = 3 205,7 × 10⁴
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Em uma sala de aula, três alunos resolveram fazer uma brincadeira de medição. Cada um escolheu um objeto próprio para medir o comprimento da lousa. O primeiro foi até a lousa e, usando o comprimento de um livro, verificou que era possível enfileirar 13 deles e ainda sobrava um pequeno espaço igual à metade do comprimento do livro. O segundo pegou seu lápis e começou a medir a lousa. No final, percebeu que esse comprimento era igual a 20 lápis. O terceiro, para economizar tempo, pegou uma régua graduada e mediu o comprimento do livro que o colega havia usado, obtendo 28 cm.
Com base nessas informações, qual é a medida mais aproximada do comprimento do lápis?
De acordo com as informações, temos:
13,5 livros × 28 cm (1 livro) = 378 cm
Agora, como foram necessários 20 lápis para medir a mesma lousa. Logo,
[tex] \frac{378\ cm}{20} = 18,9\ cm [tex]
Portanto, a medida mais aproximada do comprimento do lápis é 19 cm.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Uma universidade decidiu promover uma coleta de informações que fornecesse dados para implementar ações destinadas à recuperação de estudantes que consumiam drogas no campus, cujo objetivo era reabilitar os usuários.
O resultado dessa coleta é apresentado no quadro:
A universidade tinha como objetivo que o programa atingisse, no mínimo, metade dos usuários de drogas.
No entanto, antes de verificar os dados da coleta, decidiu que abriria um grupo de apoio apenas para estudantes que consumissem mais de dois tipos diferentes de droga.
De acordo com as informações anteriores, a universidade atingiu seu objetivo?
Analisando a tabela, temos que 860 alunos são envolvidos com drogas e 760 consomem duas ou mais drogas diferentes. Logo,
[tex] \frac{760}{860}\cdot 100 = 88,3 \% [tex]
Portanto, 88% dos estudantes seriam ajudados pelo grupo de apoio.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Em uma fábrica de bebidas, a máquina que envasa refrigerantes é capaz de encher 150 garrafas de 2 L a cada minuto e funcionar ininterruptamente durante 8 horas por dia.
Para atender uma encomenda de 198 000 garrafas de 2 L, a máquina é colocada para funcionar todos os dias, a partir do dia 10, sempre das 8 h às 16h.
A máquina terminará essa tarefa no dia
Bem, primeiro devemos saber quantos litros ela consegue encher por dia:
- 150 garrafas/minuto (garrafas por minuto)
150 × 60 = 9 000 garrafas/hora
Devemos multiplicar o resultado pelo tempo que a fábrica trabalha, isto é 8 horas:
9000 × 8 = 72 000 garrafas/dia
Com uma regra de três simples acharemos quantos dias ela gastará:
72 000 garrafas ----- 1 dia
198 000 garrafas ---- x
[tex] x = \frac{198\ 000}{72\ 000} = 2,75\ dias [tex]
A fábrica gastará 2,75 dias. Porém, 0,75 deverá ser dado em horas; para isso faremos outra regra de três simples:
1 dia de trabalho da fábrica ---- 8 horas
0,75 dia de trabalho da fabrica ---- x
[tex] x = \frac{0,75\ \cdot\ 8}{1} = 6\ horas [tex]
Ela começará no dia 10 + 2 = 12. Ela terminará no dia 12.
Ela começa às 8 horas, logo 8 + 6 = 14. Ela terminará às 14 horas.
Portanto, terminará no dia 12 às 14 horas.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
O equilíbrio na conta dos saltos
A expressão desenvolvida por cientistas ingleses relaciona as variáveis que influem na altura dos sapatos femininos.
Tal expressão é dada por [tex] A = Q \cdot (12 + \frac{3T}{8}) [tex], onde A é a altura do salto, Q é um coeficiente e T o tamanho do sapato. O coeficiente Q depende de diversas variáveis, entre as quais, o impacto que o salto deve provocar nas pessoas que o vejam em uso, que pode valer de zero a 1.
Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
Júlia construiu corretamente o gráfico que revela o desenvolvimento da função citada no texto, considerando o coeficiente Q = 1.
Dos gráficos apresentados, fora de escala, qual foi o construído por Júlia
Substituindo na expressão:
Para Q = 1 e T = 0:
[tex] A = 1 \cdot (12 + \frac{3 \cdot 0}{8}) = 1 \cdot 12 = 12 [tex]
Para Q = 1 e T = 8:
[tex] A = 1 \cdot (12 + \frac{3 \cdot 8}{8}) = 1 \cdot (12 + 3) = 15 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
No labirinto em um parque de diversões, representado pela malha quadriculada, encontram-se sete crianças:
Ana, Carol, Samanta, Denise, Roberta, Eliana e Larissa, representadas por pontos, identificados pela letra inicial do nome de cada uma delas. A malha é formada por quadrados, cujos lados medem 1 cm.
Considere que cada criança pode se deslocar apenas na direção vertical ou horizontal dentro do labirinto. Desse modo, Ana encontra-se equidistante de Samanta e de
Veja que a distância entre as pessoas são:
Ana para Samanta: [tex] d = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17} [tex].
Ana para Carol: [tex] d = 3 [tex]
Ana para Eliana: [tex] d = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} [tex]
Ana para Denise: [tex] d = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17} [tex]
Ana para Larissa: [tex] d = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26} [tex]
Ana para Roberta: [tex] d = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} [tex]
Logo, a Ana encontra-se equidistante de Samanta e de Denise.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
A taxa de inflação é um índice que aponta, em percentuais, a evolução média dos preços de mercadorias e serviços. Entretanto, cada família percebe a variação dos preços de modo particular, pois o peso de cada item no seu orçamento é diferente. Assim, se o preço dos medicamentos sobe muito, o impacto da inflação para as famílias que têm mais idosos tende a ser maior. Se o preço dos alimentos cai, o impacto da inflação para as famílias mais pobres tende a ser menor, já que boa parte de seu orçamento é gasto em alimentação.
Disponível em: http://www.dieese.org.br (adaptado).
Considere que os salários de determinado grupo de pessoas crescem 10,0% ao ano, mas a inflação, para esse grupo, cresce 6,0% ao ano.
O aumento percentual do poder de compra, em dois anos, das pessoas que pertencem ao referido grupo, mais aproximado, será de
Veja que:
[tex] i = \frac{1,1^{2}}{1,06^{2}} - 1 = 0,077 \cdot 100 = 7,7 \% [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
A distância atual entre os centros da Terra e de seu satélite natural (Lua) é de 384 405 km. Essa distância aumenta 4 cm por ano. O centro de gravidade do sistema (ou baricentro), formado pelos dois corpos celestes, está a 1 737 km da superfície da Terra, e essa distância diminui gradativamente. Este centro de gravidade se localizará fora da Terra em 3 bilhões de anos e, com isso, a Lua deixará de ser nosso satélite, tornando-se um planeta.
Nova Escola. Nov. 2007 (adaptado).
Quantos centímetros por ano, em média, o centro de gravidade do sistema se aproximará da superfície terrestre, até que a Lua se torne um planeta?
Observa que:
1 737 km = 1 737 × 10⁵ cm
e
3 bilhões de anos = 3 × 10⁹ anos
Então,
[tex] x = \frac{1737\ \cdot\ 10^{5}}{3\ \cdot\ 10^{9}} = \frac{579}{10^{4}} = 0,0579 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
A renda de uma família é de R$ 1 750,00. O dinheiro é utilizado da seguinte maneira:
Alimentação: R$ 600,00
Saúde: R$ 300,00
Transporte: R$ 150,00
Educação: R$ 350,00
Lazer: R$ 200,00
Gastos eventuais: R$ 100,00
Poupança: R$ 50,00
No mês de julho, o gasto com alimentação diminuiu 4%, o gasto com transporte aumentou 10% e o gasto com educação aumentou 10%.
Para continuar utilizando os R$ 1 750,00, o que a família deverá decidir com relação ao valor destinado à poupança, mantendo as demais despesas inalteradas?
Veja que:
Alimentação: R$ 600,00 – 10% = R$ 576,00
Transporte: R$ 150,00 + 10% = R$ 165,00
Educação: R$ 350,00 + 10% = R$ 385,00
Poupança: R$ 50,00 ???????
Logo, houve uma alteração de:
– R$ 24,00 + R$ 15,00 + R$ 35,00 = + R$ 26,00
Portanto, a alteração da popança será de:
R$ 50,00 ------ 100%
R$ 26,00 ------ x %
[tex] x = \frac{26\ \cdot\ 100}{50} = 52 \% [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Os medicamentos, imediatamente após a ingestão, começam a ser metabolizados pelo organismo, o que faz com que sua concentração no sangue diminua gradualmente, num processo denominado decaimento.
Denomina-se meia-vida de uma substância o tempo necessário para que o teor dessa substância no sangue se reduza à metade do valor inicial.
Considere a situação em que um médico prescreveu a um paciente uma dosagem de 800 mg de um medicamento cuja meia-vida é 6 horas, com recomendação de tomar um comprimido a cada 12 horas, durante 3 dias. Para esse medicamento, considera-se superdosagem um teor superior a 1 520 mg, o que causa riscos de intoxicação.
Apressado em recuperar-se a tempo de ir a uma festa, o paciente sugeriu ao médico que mudasse a prescrição para 6 em 6 horas, imaginando que, assim, reduziria o tempo de tratamento. O médico contra-argumentou, informando ao paciente que, caso antecipasse as doses, correria o risco de estar intoxicado em
Como a meia-vida é de 6 horas e a superdosagem é de 1 520 mg. Logo,
0 hora (inicio) → 800 mg
6 horas → 400 mg + 800 mg = 1 200 mg
12 horas → 600 mg + 800 mg = 1 400 mg
18 horas → 700 mg + 800 mg = 1 500 mg
24 horas → 750 mg + 800 mg = 1 550 mg (superdosagem)
Portanto, o paciente corre o risco de intoxicação após de 24 horas do início do tratamento.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
José e Antônio discutiam qual dos dois teria mais chances de acertar na loteria. José tinha gasto R$ 14,00 numa aposta de 7 números na Mega-Sena, enquanto Antônio gastou R$ 15,00 em três apostas da quina, não repetindo números em suas apostas. Na discussão, eles consideravam a chance de José acertar a quadra da Mega-Sena e de Antônio acertar o terno da Quina.
Disponível em: http://www.caixa.com.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).
Nessas condições, a razão entre as probabilidades de acerto de José e de Antônio nos menores prêmios de cada loteria é
A razão é:
[tex] Razão = \frac{Probabilidade_{(José)}}{ Probabilidade_{(Antônio)}} = \frac{\frac{1}{1038}}{3\ \cdot\ \frac{1}{201}} [tex]
[tex] = \frac{1}{1038} \cdot \frac{201}{3} = \frac{261}{3114} [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
O responsável por realizar uma avaliação em uma escola convocou alguns professores para elaborar questões e estipulou uma meta mínima. Cada professor deveria elaborar, em média, 13 questões por dia durante uma semana. Nos seis primeiros dias, as quantidades de questões elaboradas por um professor foram 15, 12, 11, 12, 13, 14.
Para cumprir a meta mínima, a quantidade mínima de questões que o professor deverá elaborar no último dia é
Em seis dias o professor consegui elaborar:
15 + 12 + 11 + 12 + 13 + 14 = 77 questões
O total de questões que deve se elaboradas na semana é:
7 x 13 = 91 questões
Então, para atingir a meta ele deve elaborar no último dia:
7ª dia = 91 – 77 = 14 questões
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Uma escola tem um terreno vazio no formato retangular cujo perímetro é 40 m, onde se pretende realizar uma única construção que aproveite o máximo de área possível.
Após a análise realizada por um engenheiro, este concluiu que para atingir o máximo de área do terreno com uma única construção, a obra ideal seria
Como tem o perímetro 40 m. Logo, temos:
Portanto, para maximizar a área do terreno devemos ter:
[tex]A(x) = x × (20\ – x) = 20x\ – x^{2}[tex]
Como o coeficiente "a = – 1 < 0", então, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Logo, tem ponto de máximo. Portanto,
[tex] x_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2\ \cdot\ (-1)} = 10 [tex]
Sendo assim, o retângulo de área máximo é o quadrado do lado 10. Portanto,
A(x) = 10 × 10 = 100 m².
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Observe os dados da tabela seguinte, sobre o número de ocorrências de acidente de trabalho no Brasil em 2004.
FONTE: DATAPREV, CAT. NOTA: Os dados são preliminares, estando sujeitos a correções. Revista Proteção. Abr. 2010. Disponível em: http://www.protecao.com.br (adaptado).
O risco de acidente de trabalho de grupos de estudo é o resultado da probabilidade experimental calculada a partir de dados estatísticos. Assim sendo, considerando o disposto na tabela, qual o risco aproximado de um acidentado ser um homem com idade entre 25 e 29 anos?
De acordo com os dados da tabela a probabilidade é:
[tex] P = \frac{69\ 561}{458\ 824} = 0,1516 ... [tex]
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 15%.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Uma cidade possui um reservatório de água C₁ na forma de um cilindro circular reto, com 5 metros de altura e capacidade para 100 m³ de água. Foi construído outro reservatório C₂ com o mesmo formato do anterior, com a mesma altura, cujo raio da base é o dobro de C₁.
Nessas condições, a razão entre os volumes de C₁ e de C₂ é igual a
Cálculo do volume [tex] C_{1}: C_{1} = πR^{2}h [tex]
Cálculo do volume [tex] C_{2}: C_{2} = πR^{2}h = π(2R)^{2}h = 4 πR^{2}h [tex]
Logo, a razão é:
[tex] Razão = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{ πR^{2}h }{4 πR^{2}h} = \frac{1}{4} [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Em uma cidade, a cada inauguração de prédios, a orientação da prefeitura, por meio de uma lei de incentivo à cultura, é a construção de uma obra de arte na entrada ou no hall desse prédio. Em contrapartida, a prefeitura oferece abatimento em impostos. No edifício das Acácias, o artista contratado resolveu fazer um quadro composto de 12 mosaicos, de dimensões de 12 cm por 6 cm cada um, conforme a figura.
A área da figura sombreada do quadro é de
No retângulo em destaque "vermelho" temos um triângulo.
Calculando a área desse triângulo e multiplicando por 4 encontramos a área sombreada de um mosaico. Logo,
[tex] Área_{(mosaico)} = \frac{b \cdot h}{2} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot 4 = 12\ cm^{2} [tex]
Como são 12 mosaicos. Portanto, a área do quadro é:
[tex] Área_{(quadro)} = 12 \cdot 12 = 144\ cm^{2} [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Um curso preparatório oferece aulas de 8 disciplinas distintas. Um aluno, ao se matricular, escolhe de 3 a 8 disciplinas para cursar. O preço P, em reais, da mensalidade é calculado pela fórmula [tex]P_{n} = 980 - \frac{1\ 680}{n} [tex], onde n é o número de disciplinas escolhidas pelo aluno.
Alex deseja matricular seu filho Júlio e, consultando seu orçamento familiar mensal, avaliou que poderia pagar uma mensalidade de, no máximo, R$ 720,00. O número máximo de disciplinas que Júlio poderá escolher ao se matricular nesse curso, sem estourar o orçamento familiar, é igual a
Como o preço "P" da mensalidade é de R$ 720,00. Portanto,
[tex] P_{n} = 980 - \frac{1\ 680}{n} → 720 = 980 - \frac{1\ 680}{n} [tex]
[tex] → \frac{1680}{n} = 980 - 720 → \frac{1680}{n} = 260 [tex]
[tex] → n = \frac{1680}{260} = 6 [tex]
Logo, Júlio poderá matricular em 6 disciplinas.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Um administrador de um campo de futebol deseja recobri-lo com um tipo de grama que, em condições normais, cresce de acordo com o gráfico a seguir.
Ele precisa ter o campo pronto no dia 11 de junho de 2012, e o comprimento mínimo da grama nesse dia deve ser igual a 7 cm.
Supondo-se que o crescimento da grama se dê em condições normais, a grama deve ser plantada, no máximo, até o dia
Como o comprimento mínimo desta grama deverá ser de 7 cm. Pelo gráfico, percebemos que gasta 2 semanas para a altura da grama chegar a 5 cm. Agora, vamos encontrar a quantidade de dias que gastará para a altura que crescer de 5cm até o mínimo estipulado, ou seja, 7 cm.
[tex] \frac{11-7}{7-5} = \frac{5-x}{x-2} → \frac{4}{2} = \frac{5-x}{x-2} [tex]
[tex] → 2 = \frac{5-x}{x-2} → 2x - 4 = 5 - x [tex]
[tex] → 3x = 9 [tex]
[tex] → x = 3\ semanas [tex]
Ou seja, 3 semanas = 21 dias.
Logo, 11 de julho - 11 dias = 31 de maio. Agora, 31 de maio - 10 dias = 21 de maio.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
As fábricas de pneus utilizam-se de modelos matemáticos próprios em sua produção, para a adaptação dos vários tipos de pneus aos veículos:
de bicicletas a caminhões, tratores e aviões. Um dos conceitos utilizados pela indústria é o de “índice de carga”, que está relacionado à carga máxima que pode ser suportada por um pneu. Uma empresa fabricante de pneus apresenta o seguinte quadro, relativo às cargas máximas de 70 a 80. Há um comportamento regular em alguns intervalos, como se observa entre os índices de 70 a 74.
Qual equação representa a dependência entre o índice de carga (I) e a carga máxima (C), em kg, no intervalo de 70 a 74?
A carga máxima com índice de carga aumenta de 10 em 10.
Logo,
Para C = 335: [tex] I = \frac{335}{10} + 36,5 = 33,5 + 36,5 = 70 [tex]
Para C = 345: [tex] I = \frac{345}{10} + 36,5 = 34,5 + 36,5 = 71 [tex]
Para C = 355: [tex] I = \frac{355}{10} + 36,5 = 35,5 + 36,5 = 72 [tex]
Para C = 365: [tex] I = \frac{365}{10} + 36,5 = 36,5 + 36,5 = 73 [tex]
Para C = 375: [tex] I = \frac{375}{10} + 36,5 = 37,5 + 36,5 = 74 [tex]
Portanto, a equação que representa a dependência entre o índice de carga (I) e a carga máxima (C), em kg, é:
[tex] I = \frac{C}{10} + 36,5 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
No Brasil, costumamos medir temperaturas utilizando a escala Celsius. Os países de língua inglesa utilizam a escala Fahrenheit. A relação entre essas duas escalas é dada pela expressão [tex]F = C \cdot 1,8 + 32[tex], em que F representa a medida da temperatura na escala Fahrenheit e C a medida da temperatura na escala Celsius.
O gráfico que representa a relação entre essas duas grandezas é
Para 0 °C, temos: [tex] F = C \cdot 1,8 + 32[tex]
[tex] F = 0 \cdot 1,8 + 32 [tex]
[tex] F =\ + 32 [tex]
Para 0 °F, temos: [tex] F = C \cdot 1,8 + 32 [tex]
[tex] 0 = C \cdot 1,8 + 32 [tex]
[tex] 1,8 C =\ – 32 [tex]
[tex] C =\ – 17,8[tex]
Logo, alternativa B.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Um pesquisador analisava duas culturas diferentes com o objetivo de verificar como ocorria a evolução, ao longo do tempo, do crescimento do número de bactérias presentes em cada uma das culturas, sob certas condições.
Esta evolução foi representada no gráfico a seguir:
Em que intervalo de tempo o número de bactérias na colônia II foi maior do que o número de bactérias na colônia I?
Pelo gráfico, constatamos que:
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
O salário-mínimo ― menor salário que um trabalhador pode receber ― é estabelecido por lei e reavaliado todos os anos com base no custo de vida da população.
Disponível em: http://www.brasilescola.com. Acesso em: 2 maio 2010 (adaptado).
A tabela apresenta uma série histórica do salário-mínimo no Brasil:
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Disponível em: http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Que número inteiro representa, o valor mais aproximado do aumento sofrido pelo salário-mínimo, de 1994 a 2008, em pontos percentuais?
Por regra de três, temos:
R$ 70,00 ------ 100 %
R$ (415,00 – 70,00) ----- x %
[tex] x = \frac{(415\ -\ 70)\cdot 100}{70} = \frac{34\ 500}{70} = 492,85 \% [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
A torre de Hanói é um jogo que tem o objetivo de mover todos os discos de uma haste para outra, utilizando o menor número possível de movimento, respeitando-se as regras.
As regras são:
1- um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor;
2- pode-se mover um único disco por vez;
3- um disco deve estar sempre em uma das três hastes ou em movimento.
Disponível em: http://www.realidadevirtual.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Usando a torre de Hanói e baseando-se nas regras do jogo, podemos montar uma tabela entre o número de peças (X) e o número mínimo de movimentos (Y):
A relação entre (X) e (Y) é
Percebe-se que para:
x = 1: y = 2¹ – 1 = 1
x = 2: y = 2² – 1 = 3
x = 3: y = 2³ – 1 = 8 – 1 = 7
x = 4: y = 2⁴ – 1 = 16 - 1 = 15
Portanto, a relação entre (x) e (y) é [tex]y = 2^{x} – 1[tex].
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
O quadro indica a quantidade de pontos marcados, em quatro partidas, por cinco jogadores de uma mesma equipe de basquete.
Como todos os jogadores obtiveram a mesma média de pontos por partida, para definir quem, entre os cinco atletas, foi o de melhor rendimento, o técnico da equipe resolveu escolher aquele de maior regularidade.
Dessa forma, ele escolheu o jogador
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Fabiana Murer garante mais uma medalha de ouro na Noruega. A atleta brasileira saltou 4,60 m na etapa da Diamond League e terminou em primeiro lugar na disputa.
Ela ainda é detentora da melhor marca do ano. Ao final da prova, a classificação dos quatro melhores resultados foi:
1º lugar: Fabiana Murer (BRA) – 4,60 m
2º lugar: Aleksandra Kiryashiva (RUS) – 4,50 m
3º lugar: Anna Rogowska (POL) – 4,40 m
4º lugar: Monika Pyrek (POL) – 4,30 m
Disponível em: http://www.globoesporte.globo.com. Acesso em: 24 jun. 2011 (adaptado).
A diferença entre as marcas da 1ª e da 4ª colocadas pode ser comparada com a altura de um animal adulto.
Que animal é esse?
Basta subtrair: 1° lugar pelo 2° lugar.
4,60m – 4,30m = 0,30 m
ou seja, 30 cm.
Logo, pode ser comparada com a altura do gato.
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Numa sementeira, cinco canteiros quadrados serão preparados para plantar, em cada um, dois tipos de sementes: A e B. Os canteiros estão representados segundo as figuras:
Suponha que cada canteiro tem 1 m² de área e que nas regiões sombreadas de cada canteiro serão plantadas as sementes do tipo A. Qual o total da área, em m², reservada para as sementes do tipo B?
Logo, temos:
[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{2+2+3+3+2}{4} = \frac{12}{4} = 3 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Toda a esfera visível ao longo do ano, nos hemisférios celestes Norte e Sul, está dividida em 88 partes, incluindo, cada uma delas, um número variável de estrelas. A unidade de medida utilizada pelos astrônomos para calcular a área de uma constelação é o grau quadrado.
Algumas constelações são imensas, como Erídano, o rio celeste, localizada no hemisfério celeste Sul e ocupa uma área de 1 138 graus quadrados. Em contraponto, a constelação Norma, localizada no mesmo hemisfério, não passa de 165 graus quadrados.
CAPOZZOLI, U. Origem e Evolução das Constelações. Scientific American Brasil. Nº 2. 2010.
Em um mapa do hemisfério celestial feito em uma escala de 1:1 000, as constelações Erídano e Norma ocuparão, respectivamente, uma área, em graus quadrados, de
Como utiliza a escala de 1 : 1 000, temos:
Para a constelação Erídano: [tex] \frac{1\ 138}{1\ 000} = 1,138 [tex].
Para a constelação Norma: [tex] \frac{135}{1\ 000} = 0,165 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Célia é uma confeiteira renomada na pequena cidade onde mora. Herdou de sua avó uma receita de brigadeiro que faz o maior sucesso. Os ingredientes da receita enchem sempre uma panela, de forma cilíndrica, com 40 cm de altura e 30 cm de diâmetro. Para inovar e atrair mais clientes, em vez de vender os brigadeiros na forma de “bolinhas”, Célia tem feito brigadeiros em forma de m de altura e raio da base de 1,5 cm.
A cada receita produzida, a quantidade de cones de brigadeiro que Célia consegue obter é
Volume do cilindro:
[tex] V_{(cilindro)} = πR^{2}h = π \cdot (15)^{2} \cdot 40 = 9\ 000 π [tex]
Volume do cone:
[tex] V_{(cone)} = \frac{πR^{2}h}{3} = \frac{ π(1,5)^{2} \cdot 5}{3} = \frac{11,25 π }{3} = 3,75 π [tex]
Agora, a quantidade de brigadeiro obtido é:
[tex] \frac{9\ 000 π }{3,75 π } = 2\ 400\ brigadeiros [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
O gráfico faz uma comparação entre os crescimentos das ações da Vale e da Ibovespa de janeiro a abril de 2010.
De acordo com as informações do gráfico, o crescimento das ações da Vale e da Ibovespa no período de janeiro a abril de 2010 foram, respectivamente, de
Para a Vale:
[tex] \frac{121 - 100}{100} = 0,21 \cdot 100 = 21 \% [tex]
Para a Ibovespa:
[tex] \frac{105 - 100}{100} = 0,05 \cdot 100 = 5 \% [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Um caminhão precisa recolher o lixo das ruas de um certo bairro. Por questões econômicas e ambientais, a empresa IMJ, responsável pela coleta, planeja as rotas de recolhimento, de modo que o caminhão percorra a menor distância possível, passando em cada rua exatamente uma vez, entrando e saindo de cada ponto.
Quando isso não é possível, busca-se repetir o menor número possível de ruas na rota. Na figura, temos um esquema no qual os pontos representam esquinas, e as linhas representam as ruas.
Considere que cada rua mede 150 m de comprimento e que a rota do caminhão comece e termine no ponto A, passando por todas as ruas do esquema.
A empresa conseguiu encontrar a melhor rota de recolhimento de lixo, na qual o caminhão percorre uma distância igual
Pela figura acima, houve 18 segmento de 105 m. Logo,
18 × 150 m = 2 700 m
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
Na zona rural, a utilização de unidades de medida como o hectare é bastante comum. O hectare equivale à área de um quadrado de lado igual a 100 metros. Na figura, há a representação de um terreno por meio da área em destaque. Nesta figura, cada quadrado que compõe esta malha representa uma área de 1 hectare.
O terreno em destaque foi comercializado pelo valor R$ 3 600 000,00. O valor do metro quadrado desse terreno foi de
Como cada quadrado da figura equivale uma área de 1 hectare. Logo,
12 × 1 hectare = 12 × 10 000 m² = 120 000 m²
Como o terreno destacado foi comercializado por R$ 3 600 000,00. Portanto, o metro quadrado desse terreno foi negociado por:
[tex] \frac{R \$\ 3\ 600\ 000,00}{120\ 000\ m^{2}} = R \$\ 30,00 [tex]
(ENEM 2011 - 2ª Aplicação).
De acordo com os números divulgados pela Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel), já há no país 91 celulares em cada grupo de 100 pessoas. Entre as várias operadoras existentes, uma propõe o seguinte plano aos seus clientes: R$ 25,00 mensais para até 40 minutos de conversação mensal e R$ 1,00 por minuto que exceda o tempo estipulado.
Disponível em: http://www.economia.ig.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Qual dos gráficos a seguir corresponde aos possíveis gastos mensais (y), em reais, de um cliente dessa operadora de celular, em função do tempo (x) utilizado, em minutos?
R$ 25,00 mensais para até 40 minutos de conversação mensal e R$ 1,00 por minuto que exceda o tempo estipulado.
De 40 até 50 minutos: 10 × R$ 1,00 = R$ 10,00.
Nenhum comentário:
Postar um comentário