(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei
onde C é a medida da altura do liquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é
A função do segundo grau [tex] f(x) = \frac{3}{2}x^{2} - 6x + c [tex] apresenta duas raízes reais iguais, visto que seu gráfico corta o eixo x em um único ponto.
A condição para que isso aconteça é que o discriminante (∆ = b² – 4ac) dessa função do segundo grau seja igual à zero.
Logo,
∆ = b² – 4ac
∆ =(–6)² – 4 ∙ 32 ∙ C
∆ = 36 – 6C = 0
C = 6
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que ”o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M“.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
Se o “cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”, então:
[tex] \frac{S^{3}}{M^{2}} = k, [tex] com k > 0
Logo,
[tex] S^{3} = k \cdot M^{2} [tex]
[tex] S = \sqrt[3]{ k \cdot M^{2} }[tex]
[tex] S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é representada pela expressão:
onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d à distância entre eles, G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra.
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?
As órbitas dos satélites são circulares, portanto a distância de cada um à Terra é constante.
Da análise da expressão [tex] F = G \frac{m_{1}\ \cdot\ m_{2}}{d^{2}} [tex], conclui-se
• que o valor de F não depende do valor do tempo;
• que o valor de F é dependente dos valores constantes das massas, da gravitação G e da distância de cada satélite à Terra;
• que o valor de F, relativa a cada satélite, é inversamente proporcional ao valor do quadrado da distância, ou seja quanto maior o valor de d, menor o valor de F;
• O valor de F é constante para cada satélite.
• Como, [tex]d_{A} > d_{B} > d_{C} > d_{D} > d_{E}[tex], então, [tex] F_{A} < F_{B} < F_{C} < F_{D} < F_{E}[tex].
• Os dois gráficos que representam os valores da força F constantes são os das alternativas a e b. Mas como [tex] F_{A} < F_{B} < F_{C} < F_{D} < F_{E}[tex], a alternativa correta é a b.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul.
Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.
Fonte: IBGE, 2002-2008 (adaptado).
Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias?
Como o questionamento é em relação aos dados fornecidos pelo gráfico, e sendo as cidades de Guarulhos e São Paulo situadas no Estado de São Paulo no País Brasil, a diferença pedida refere-se à diferença entre os percentuais dessas cidades:
60,52% – 3,57% = 56,95%
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores.A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é
O setor 3 tem 10 × 7 = 70 cadeiras, das quais 17 estão reservadas.
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é portanto [tex]\frac{17}{70}[tex].
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:
A loja sorteara um brinde entre os compradores do Produto A e outro brinde entre os compradores do produto B.
Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
O produto A nos três meses foi comprado por (60 + 30 + 10) = 100 pessoas. Destas 100 pessoas, 30 fizeram a compra no mês de fevereiro. O produto B nos três meses foi comprado por (80 + 20 + 20) = 120 pessoas. Destas 120 pessoas, 20 fizeram a compra no mês de fevereiro. Então a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012 é de
[tex] \frac{30}{100} \cdot \frac{20}{120} = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{20} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
I - é a circunferência de equação x² + y² = 9;
II - é a parábola de equação y = – x² – 1, com x variando de –1 a 1;
III - é o quadrado formado pelos vértices (–2, 1), (–1, 1), (–1, 2) e (–2, 2);
IV - é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V - é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.
Qual destas iguais foi desenhada pelo professor?
I – A circunferência de equação x² + y² = 9 tem centro no ponto (0, 0) e raio 3 (gráficos C, D e E) ;
II – A parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de – 1 a 1, tem extremidades nos pontos (– 1, – 2) e (1, – 2); tem a concavidade voltada para baixo, pois a = – 1; não intercepta o eixo x, pois suas raízes não são reais; tem vértice no ponto [tex] (0, \frac{-(-4(-1)(-1))}{-4}) = (0, -1) [tex]. (gráficos A e E).
III – é o quadrado formado pelos vértices (– 2, 1), (– 1, 1), (– 1, 2) e (– 2, 2); (todos os gráficos);
IV – é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); (todos os gráficos)
V – é o ponto (0, 0). (todos os gráficos)
O gráfico que está de acordo com as 5 afirmações é o da alternativa E.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
Como há 6 ralos no primeiro reservatório, podemos considerar que cada um dos ralos é responsável pelo escoamento de [tex]\frac{900}{6} [tex] m³ = 150 m³ em seis horas.
Sendo assim, a capacidade de escoamento (C) de cada um dos ralos é de:
[tex] c = \frac{150}{6}[tex] m³/h = 25 m³/h
O novo reservatório deverá escoar [tex] c = \frac{500}{4} [tex] = 125 m³/h, já que a capacidade do reservatório é de 500 m³ e o escoamento deverá ser realizado em 4h.
Considerando-se que cada um dos ralos é: responsável por 25 m³/h, podemos concluir que serão necessários [tex] \frac{125}{25} [tex] = 5 ralos.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:
Na primeira situação, as placas são quadradas de lados com medida igual a y. Como cada caixa possui N placas a área máxima da caixa é igual a S, temos que:
[tex] S = y² \cdot N [tex] (1)
Na segunda situação, os lados dos quadrados que representam as placas foram triplicados, assim seu comprimento é igual a 3y. Como há X placas por caixa, e a área coberta não foi alterada, então:
[tex] S = (3y)^{²} \cdot X \iff S = 9y^{²} \cdot X [tex] (2)
Igualando as equações (1) e (2), temos:
[tex] 9y^{²} \cdot X = y^{²} \cdot N \Rightarrow X = \frac{N}{9} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m³, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de Iazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de Iazer será r. Deseja-se que apos a construção dessa ilha, o espaço destinado a água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m³.
Considere 3 como valor aproximado para π.
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de
Seja:
[tex] V_{1} [tex] = volume da piscina antiga
[tex] V_{(ilha)} [tex] = volume da ilha
[tex] V_{2} [tex] = volume da nova piscina
Como, [tex] V_{1} = 12\ m^{3} [tex]
[tex] V_{(ilha)} = π \cdot r^{2} \cdot h [tex]
[tex] V_{(ilha)} = 3 \cdot r^{2} \cdot 1 = 3r^{2} [tex]
Assim,
[tex] V_{2} = V_{1} - V_{(ilha)} [tex]
[tex] V_{2} = 12 - 3r^{2} [tex]
De acordo com o enunciado, como o raio r da ilha deve ser máximo, então o volume da nova piscina deve ser mínimo. Logo,
[tex] 12 - 3r^{2} = 4 [tex]
[tex] r^{2} = \frac{8}{3} [tex]
[tex] r = \sqrt{\frac{8}{3}} \cong 1,6 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações.
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de
De acordo com as informações, o contribuinte lucrou:
R$ 34.000,00 – R$ 26.000,00 = R$ 8.000,00
Portanto, irá pagar 15% de R$ 8.000,00, que é igual a R$ 1.200,00 à Receita Federal.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14m³ de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de concreto trazido pela betoneira?
Sejam a, b e c os volumes de areia, brita e cimento, em m³, respectivamente. Temos:
[tex] \frac{a}{4} = \frac{b}{2} = \frac{c}{1} = \frac{a+b+c}{4+2+1} = \frac{14}{7} = 2 [tex]
Portanto,
[tex] \frac{c}{1} = 2 \iff c = 2\ m^{3} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual.
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.
O empresário decidiu comprar a empresa
&Para avaliar o lucro anual, é preciso dividir o lucro total pelo tempo (em anos) de existência de cada uma das empresas. Portanto temos:
[tex] Empresa\ F = \frac{24}{3,0} = 8 [tex]
[tex] Empresa\ G = \frac{24}{2,0} = 12 [tex]
[tex] Empresa\ H = \frac{25}{2,5} = 10 [tex]
[tex] Empresa\ M = \frac{15}{1,5} = 10 [tex]
[tex] Empresa\ P = \frac{9}{1,5} = 6 [tex]
Sendo assim, a empresa G foi a que apresentou maior lucro anual (12 milhões de reais).
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100g, três de 200g e uma de 350g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:
Disponível em: www.correios.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).
O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de
De acordo com o gráfico, as cartas de 100g, 200g e 350g custam, R$ 1,70, R$ 2,65 e R$ 4,00 respectivamente. O valor gasto para apostar essas cartas é:
V = 2 ∙ 1,7 + 3 ∙ 2,65 + 1 ∙ 4
Logo,
V = 15,35 Reais.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é
Considerando-se que a mediana é o valor central dos dados. Ou seja, se colocarmos todos os valores em ordem crescente, a mediana será o valor do meio. Como os dados estão em porcentagem, a mediana seria o valor que deixa exatamente 50% dos valores abaixo dela e outros 50% acima.
Na prática, este número seria qualquer valor entre 300,00 e 400,00. Como este valor não existe, vamos considerar a média entre estes valores. Portanto o valor mediano da diária é:
[tex] mediana = \frac{300\ +\ 400}{2} = 350 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja.
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de
Sem o cartão fidelidade, o cliente irá pagar 80% de 50 reais, que será 40,00 reais pelo produto. Possuindo o cartão fidelidade, o mesmo terá um desconto de 10% sobre o valor de 40 reais, isto é, irá pagar 90% de R$40,00, que será 36,00 reais, acarretando em uma economia de R$ 4,00.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é
A área a ser cercada é de
81m + 190m + 81m = 352m
Como cada um dos rolos possui 48m,
[tex] \frac{352\ m}{48\ m} \cong 7,3\ m [tex]
Logo, serão necessários mais de 7 rolos.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes.
Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?
Se considerarmos que 1500 telhas ou 1200 tijolos correspondem à carga máxima do caminhão (100%), podemos dizer que 900 telhas correspondem a 60% da carga do caminhão, já que
[tex] \frac{900}{1500} = 0,6 [tex]
Portanto, o restante do peso 40% do total deve ser preenchido com tijolo.
Como 1200 × 0,4 = 480, serão precisos 480 tijolos para completar esta carga.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
As projeções para produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante de produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
Como 2021 - 2012 + 1 = 10, devemos calcular a quantidade de arroz que deverá ser produzida em um período de 10 anos.
Se observarmos a tabela atentamente, verificamos que, a cada ano, há um aumento de 1,25t na produção.
Utilizando-se as fórmulas de uma P.A., sabemos que em 2012 a produção será de
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) r [tex]
[tex] a_{10} = 50,25 + (10 - 1) \cdot 1,25 [tex]
[tex] a_{10} = 50,25 + 9 \cdot 1,25 [tex]
[tex] a_{10} = 50,25 + 11,25 = 61,50 [tex]
E, no período, a produção será de
[tex] S = \frac{(a_{1}\ +\ a_{10})n}{2} [tex]
[tex] S = \frac{(50,25\ +\ 61,50)\cdot10}{2} [tex]
[tex] S = \frac{11117,50}{2} = 558,75 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
Utilizando o diagrama de Venn-Euler e considerando x o numero de alunos que falam os dois idiomas, temos:
600 – x + x + 500 – x + 300 = 1200
– x = 1200 – 1400
x = 200
O número de alunos que não falam inglês é 300 + (500 – 200) = 600, dos quais 300 falam espanhol. Portanto a portanto a probabilidade é:
[tex] P = \frac{300}{600} = \frac{1}{2} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15º com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
Vamos analisar o triângulo formado pela inclinação desse prédio:
Triângulo vermelho formado pela inclinação da torre
Podemos considerar que a altura do prédio corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 15°, já a base corresponde ao cateto adjacente. Sendo assim, podemos utilizar a fórmula da tangente para determinar essa base:
[tex] tg 15° = \frac{cateto\ oposto}{cateto\ adjacente} = \frac{x}{114} [tex]
Considerando que tg 15° = 0,26, como propõe o enunciado, temos:
[tex]0,26 = \frac{x}{114} [tex]
[tex]x = 114 \cdot 0,26 = 29,64 [tex]
Como a base do prédio é quadrada, basta multiplicar o valor do lado encontrado por ele mesmo para encontrar a área da base:
[tex] A = (29,64)^{2} = 878,53\ m^{2} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
As notas de um professor que participou de um processo seletivo em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.
Utilizando essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e menor nota atribuídas ao professor.
A nova média em relação à média anterior, é
A média aritmética é calculada através da soma das notas dividida pela quantidade de notas. A média anterior é igual a:
[tex] \frac{18+16+17+13+14+1+19+14+16+12}{10} = \frac{140}{10} = 14 [tex]
Descartando a maior nota (19) e a menor (1) a soma decai 19 + 1 = 20 pontos e o número de notas de 10 para 8, assim a nova média é igual a:
[tex] \frac{140\ -\ 20}{8} = \frac{120}{8} = 15 [tex]
A nova média é 15 – 14 = 1 ponto superior que a anterior.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um dele, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
O objetivo do exercício é descobrir o coeficiente de melhora do sistema. Conforme o enunciado, este coeficiente (K) é definido como:
[tex] k = \frac{n°\ de\ possibilidades\ da\ senha\ nova}{ n°\ de\ possibilidades\ da\ senha\ antiga} [tex]
Na senha antiga, tínhamos 10 possibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) para selecionar um dígito, como há 6 dígitos na senha, definimos o número de possibilidades da senha antiga(A) como:
[tex] A = 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 10^{6} [tex]
Agora, na senha nova temos: 26 letras minúsculas + 26 letras maiúsculas + 10 algarismos = 62 possibilidades para cada dígito a ser incluído na senha.
Portanto, podemos definir o número de possibilidades da senha nova(N) como:
[tex] N = 62\cdot 62\cdot 62\cdot 62\cdot 62\cdot 62 = 62^{6} [tex]
Como,
[tex] k = \frac{n°\ de\ possibilidades\ da\ senha\ nova}{ n°\ de\ possibilidades\ da\ senha\ antiga} [tex]
então,
[tex] k = \frac{62^{6}}{10^{6}} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d’agua tem volume de 0,2 mL.
Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em Iitros?
Da meia-noite às seis horas da manhã, há um período de 6h que equivalem a:
6 × 60 × 60 seg = 21.600 s
Como nesse período a torneira ficou pingando, com a frequência de uma gota a cada três segundos, e como em 21.600 s existem (21.600 ÷ 3 = 7.200) intervalos de 3 segundos, o volume de água desperdiçada foi de (7.200 × 0,2 = 1.440) mL que equivalem a 1,44 L de água.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.
A imagem que representa a nova figura é:
Fazendo a simetria dos pontos A, B, C, D, O e E em relação ao ponto O determina-se a figura A’B’C’D’OE’.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter
Como há somente 3 cores e há 4 posições, uma das cores terá que se repetir.
E, como vértices consecutivos precisam ter cores diferentes, a repetição somente poderá ocorrer entre A e C ou B e D.
Considerando-se A e C iguais, para cada cor de A e C há duas outras para B e D. Sendo assim, temos 3 × 2 = 6 possibilidades.
Para os casos em que B e D são diferentes, temos 3 possibilidades de organizar as cores.
E, finalmente, temos os casos em que A e C são diferentes (mais 3 possibilidades, uma para cada cor atribuída a B e D.
Sendo assim, temos 3 + 6 + 3 = 12 possibilidades.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de uma material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão
onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
Como a meia-vida do césio-137 é 30 anos: [tex] M(30) = \frac{A}{2} [tex] e sendo a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, calculada pela expressão:
[tex] M(t) = A \cdot (2,7)^{kt} [tex]
tem-se
[tex] \frac{A}{2} = A \cdot (2,7)^{30k} [tex]
[tex] \frac{1}{2} = (2,7)^{30k} [tex]
Aplicando-se logaritmo decimal aos dois membros desta igualdade:
[tex] log2^{-1} = log(2,7)^{30k} [tex]
[tex] log(2,7)^{30k} = - log2 [tex]
[tex] log(2,7)^{30k} = - 0,3 [tex]
[tex] (2,7)^{30k} = 10^{- 0,3} [tex] (I)
A situação-problema está questionando: “Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?”
[tex] M(t) = A \cdot (2,7)^{kt} = \frac{1}{10} \cdot A [tex]
[tex] (2,7)^{kt} = 10^{-1} [tex]
Elevando os dois membros desta igualdade ao expoente 0,3, vem:
[tex] (2,7)^{0,3 kt} = 10^{-0,3} [tex]
Como
[tex] (2,7)^{30 k} = 10^{-0,3} [tex]
tem-se
[tex] (2,7)^{0,3 kt} = (2,7)^{30k} [tex]
[tex] 0,3 kt = 30k [tex]
[tex] t = 100 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale à aproximadamente 2,95 centilitros ([tex]c\ell[tex]). Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL.
Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de
Se 1(fl oz) equivale a 2,95 [tex]c\ell[tex], então:
[tex] x \cdot 1\ fl\ oz = 35,5\ c\ell [tex]
[tex] x = \frac{35,50}{2,95} \cong 12,0338 ...\ fl\ oz [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa igual a [tex] \frac{2}{3} [tex] do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?
Considerando como V o tempo, em segundos, durante o qual a luz vermelha fica acesa, e como o tempo em que a luz verde permanece acesa é igual a [tex] \frac{2}{3} [tex] do tempo da luz vermelha:
[tex] X = \frac{2}{3}V [tex]
[tex] 3X = 2V [tex]
[tex] V = \frac{3X}{2} [tex]
Cada ciclo dura Y segundos:
[tex] Y = X + 5 + V [tex]
[tex] Y = X + 5 + \frac{3X}{2} [tex]
[tex] 2Y = 2X + 10 + 3X [tex]
[tex] 5X - 2Y + 10 = 0 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão [tex] T(t) = -\frac{t^{2}}{4} + 400 [tex] com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39º.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
De acordo com os dados pode-se escrever:
[tex] T(t) = -\frac{t^{2}}{4} + 400 = 39 [tex]
[tex] -t^{2} + 1600 = 156 [tex]
[tex] t^{2} = 1444 [tex]
[tex] t = \sqrt{1444} [tex]
[tex] t = 38 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número
Quantos anos terão se passado depois do ano 1755, ano em que teve inicio o primeiro ciclo de atividade magnética do Sol, ao ano de 2101?
2101 – 1755 = 346 anos
Quantos períodos de 11 anos existem em 346 anos?
[tex] \frac{346}{11} \cong 31,4545... [tex]
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número 32.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil.
Esse número é
A escala de um mapa é a razão entre dois segmentos, ou seja, a razão entre a distância de dois pontos do mapa, e a distância real entre os pontos do globo terrestre representados no mapa.
No mapa maior cada 1cm representa 25km e no mapa menor cada 1cm representa 4km.
Para determinar de quantas vezes foi a ampliação divide-se a escala do mapa resultante da ampliação pela do mapa original:
[tex] \frac{\frac{1}{4\ 000\ 000}}{\frac{1}{25\ 000\ 000}} = \frac{25}{4} [tex]
Como a razão entre as áreas S e S’’ é igual ao quadrado entre a razão de dois segmentos correspondentes contidos nessas áreas:
[tex] \frac{S}{S"} = (\frac{AB}{A"B"})^{2} = (\frac{25}{4})^{2} = \frac{625}{16} = 39,0625 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
A torre deve ser construída em um ponto equidistante (P) simultaneamente aos pontos A(30, 20), B(70, 20) e C(60, 50). Os pontos equidistantes de A e B pertencem à mediatriz do segmento AB. A mediatriz passa pela coordenada
[tex] x = \frac{30\ + 70}{2} = 50 [tex]
Como o ponto C também deve ser equidistante aos pontos A e B, faz-se [tex]D_{PA} = D_{PC}[tex].
A distância entre pontos pode ser calculada através da relação
[tex]D = \sqrt{(Δx)^{2} + (Δy)^{2}} [tex]
Assim,
[tex] \sqrt{(50\ -\ 30)^{2} + (y_{P} -\ 20)^{2}} = \sqrt{(50\ -\ 60)^{2} + (y_{P} -\ 50)^{2}} [tex]
Elevando ambos os lados ao quadrado, tem-se que:
[tex] (20)^{2} + (y_{P} -\ 20)^{2} = (-10)^{2} + (y_{P} -\ 50)^{2} [tex]
[tex] 400 + y_{P}^{2} -\ 40y_{P} + 400 = 100 + y_{P}^{2} -\ 100y_{P} + 2500 [tex]
[tex] 60 y_{P} = 1800 [tex]
[tex] y_{P} = 30 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais.
Essas figuras são
Fazendo o desdobramento da forma tem-se a figura ao lado que são dois troncos de cone.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média.
*Considerando as médias de cada país no exame de matemática. Nova Escola, São Paulo, dez. 2010 (adaptado).
Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é
De acordo com a figura os países com notas abaixo da média são: Rússia, Portugal, Itália, Israel e México. Desses países o que apresenta a maior quantidade de horas de estudo é Israel, um valor próximo de 8.500 horas.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:
Considere que AC = 7/5 ∙ BD e que L é a medida de um dos lados da base da bandeja.
Qual deve ser o menor valor da razão L/BD para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez?
Considerando [tex] \overline{BD} = r [tex] , então: [tex] \overline{AC} = \frac{7}{5} \cdot r [tex] , e
[tex] \ell = r + \frac{7}{5}r + \frac{7}{5}r + r [tex]
[tex] \ell = \frac{5r + 7r + 7r + 5r}{5} = \frac{24}{5}r [tex]
[tex] \frac{\ell}{\overline{BD}} = \frac{\frac{24}{5}r}{r} = \frac{24}{5} [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
1) Da semelhança dos triângulos AEF e ADB, tem-se:
[tex] \frac{\overline{EF}}{6} = \frac{\overline{AF}}{\overline{AB}} [tex]
2) Da semelhança dos triângulos BEF e BCA, tem-se:
[tex] \frac{\overline{EF}}{4} = \frac{\overline{FB}}{\overline{AB}} [tex]
3) De (1) e (2) tem-se:
[tex] \frac{\overline{EF}}{6} + \frac{\overline{EF}}{4} = \frac{\overline{AF}}{\overline{AB}} + \frac{\overline{FB}}{\overline{AB}} [tex]
[tex] \frac{\overline{EF}}{6} + \frac{\overline{EF}}{4} = 1[tex]
[tex] \frac{4 \cdot \overline{EF}\ +\ 6 \cdot \overline{EF} }{24} = 1[tex]
[tex] 10 \cdot \overline{EF} = 24[tex]
[tex] \overline{EF} = \frac{ 24}{10} = 2,4\ cm [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim o movimento de gangorra.
Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô.
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando este se encontra em movimento é:
Os movimentos da gangorra descrevem dois a arcos de circunferência que são as trajetórias dos pontos A e B. As projeções ortogonais dessas trajetórias sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, são os segmentos de reta Q’A e B’P’.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas varias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos Iados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses Iados foram reduzidos em 20%. Em relação a área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em:
A peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm, portanto uma área de 450 cm².
Como após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%, e passaram a medir:
0,80 × 30 cm = 24 cm
e
0,80 × 15 cm = 12cm
Portanto, área inicial se reduziu uma área de 288 cm².
Determinando a razão entre a área final e a inicial tem-se:
[tex] \frac{288}{450} = 0,64 = 64 % [tex]
Então, a área final é 64% da inicial, então a redução foi de 100% – 64% = 36%.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso.
Em setembro, a máquina I produziu do total de parafusos produzidos pela fábrica.
Dos parafusos produzidos por essa máquina, eram defeituosos. Por sua vez, dos parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina ll eram defeituosos.
O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.
O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como
Se em setembro, a máquina I produziu [tex] \frac{54}{100} [tex] do total de parafusos produzidos pela fábrica, a máquina II produziu [tex] \frac{46}{100} [tex] .
Percentual dos parafusos defeituosos produzidos pelas duas máquinas:
[tex] P = \frac{25}{1000} \cdot \frac{54}{100} + \frac{38}{1000} \cdot \frac{46}{100} [tex]
[tex] P = \frac{1\ 350}{100\ 000} + \frac{1\ 748}{100\ 000} [tex]
[tex] P = \frac{3\ 098}{100\ 000} [tex]
[tex] P = 0,03098 = 3,098 \% [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
• Arthur : 250 cartelas com 6 números escolhidos;
• Bruno : 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;
• Caio : 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;
• Douglas : 4 cartelas com 9 números escolhidos;
• Eduardo : 2 cartelas com 10 números escolhidos.
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são
Arthur: [tex] 250 \cdot C_{6,6} = 250 \cdot 1 = 250 [tex]
Bruno: [tex] 41 \cdot C_{7,6} + 4 \cdot C_{6,6} = 41 \cdot 7 + 4 = 291 [tex]
Caio: [tex]12 \cdot C_{8,6} + 10 \cdot C_{6,6} = 12 \cdot \frac{8 \cdot 7}{2} = 10 \cdot 28 + 10 = 346 [tex]
Douglas: [tex]4 \cdot C_{9,6} = 4 \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4 \cdot 84 = 336 [tex]
Eduardo: [tex]2 \cdot C_{10,6} = 2 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 210 = 2 \cdot 210 = 420 [tex]
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado.
Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente,
Calculando 90% do valor de cada produto do tipo A e comparando com os preços do tipo B:
Arroz tipo B, feijão tipo A, soja tipo A e milho tipo B.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distancia de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distancia é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura.
Utilize 1,7 como aproximação para [tex]\sqrt{3}[tex].
O valor de R, em centímetros, é igual a.
Na figura ao lado tem-se ABC um triângulo equilátero cujo lado mede 60 cm, o segmento OD é raio do círculo maior e o segmento CH a altura do triângulo ABC.
A medida de R é (40 + CO) cm. Assim,
[tex] CO = \frac{2}{3}CH [tex]
Logo,
[tex] CH = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{60\ \cdot\ 1,7}{2} = 51 cm [tex]
e
[tex] CO = \frac{2}{3} \cdot 51 = 34\ cm [tex]
Portanto,
R = (40 + 34) cm = 74cm.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros).
Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice.
A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:
Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a
Todas as 5 vacas têm índice de eficiência superior a 281 quilogramas por mês, porém as que a vaca mais eficiente é Mateira.
(ENEM 2013 - 1ª Aplicação).
A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias.
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa?
O seu percurso (IDA + VOLTA) é constituído de:
2 × (3V + 3H + 2V + 2 H + 1V + 4H + 1V) = 2 × 2 (7V + 9H) = 32 cm.
Sendo a escala da figura 1 : 25 000, temos:
[tex] \frac{32}{d} = \frac{1}{25\ 000} [tex]
[tex] d = 800\ 000\ cm = 8\ km [tex]
Por dia o seu percurso foi de 8 km. Então, na fase de implantação do programa, esse aluno percorreu 5 × 8 km = 40 km
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