(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.
Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.
A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1.
PRADO, A. C. Superinteressante, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).
A escala da gravura reproduzida na folha de papel é
Determinando as razões entre as dimensões correspondentes da região disponível para a reprodução e da figura:
[tex] Comprimento = \frac{36\ cm}{8\ m} = \frac{36\ cm}{800\ cm} [tex]
[tex] Comprimento = \frac{9}{200} \cong \frac{1}{22} [tex]
e
[tex] Altura = \frac{24\ cm}{6\ m} = \frac{24\ cm}{600\ cm} [tex]
[tex] Altura = \frac{1}{25} [tex]
Sendo [tex] \frac{1}{25} < \frac{1}{22}[tex] e como a reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1, a escala da gravura reproduzida na folha de papel é [tex] \frac{1}{25} [tex].
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma.
Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?
Se para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha de papel de formato quadrado é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro, o lado da folha, em centímetros, mede
[tex] 5 × (2 × π × r) = 5 π d [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação.
No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente,
Quando a carga for máxima:
I. O ponto de sustentação central receberá 60% de 12 t, que corresponde a 0,60 × 12 t = 7,2t.
II. Cada um dos outros dois pontos de sustentação receberá 20% de 12 t, que corresponde a 0,20 × 12t = 2,4t.
Logo, no caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente, 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante.
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é
No tronco de cone no qual a base inferior é maior que a base superior então o crescimento da altura do líquido à medida que o tempo passa se torna mais rápido.
No cilindro, o crescimento da altura do líquido se faz linearmente em função do tempo.
Agora no tronco de cone no qual a base inferior é menor que a base superior então o crescimento da altura do líquido à medida que o tempo passa se torna mais lento.
Logo, o gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é o da alternativa D.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.
Qual deverá ser a forma do adesivo?
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das taxas de desemprego aberto e oculto.
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011.
Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de
Supondo que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012, então a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 foi de 1,1 %.
Supondo que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011 então a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 foi de 9%.
Logo, a% + 1,1% = 9% a = 7,9.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
A taxa de fecundidade é um indicador que expressa a condição reprodutiva média das mulheres de uma região, e é importante para uma análise da dinâmica demográfica dessa região. A tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de fecundidade no Brasil.
Disponível em: www.saladeimprensa.ibge.gov.br. Acesso em: 31 jul. 2013.
Suponha que a variação percentual relativa na taxa de fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no período de 2010 a 2020.
Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil estará mais próxima de
Chamando de t a taxa que queremos saber de 2020. Para que a variação seja a mesma no período pedido:
[tex] \frac{1,9}{2,38} = \frac{t}{1,9} [tex]
[tex] t = \frac{3,61}{2,38} [tex]
[tex] t \cong 1,52 [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um show especial de Natal teve 45 000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados.
Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas?
São 45 000 pessoas passando por 4 × 5 = 20 catracas.
Em cada catraca passarão (45 000 : 20) = 2 250 pessoas.
Como uma pessoa leva 2 segundos para passar em uma catraca, as 2 250 pessoas levarão
2 250 × 2seg = 4 500seg = 75 min = 1h 15min
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é
A esquerda tem-se a planificação da caixa com as devidas dimensões e à direita a caixa montada com as três dimensões cuja soma não pode ser superior a 115 cm.
Então,
x + 24 + 42 ≤ 115
x + 66 ≤ 115
x ≤ 49
Logo o maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é 49.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostrada na figura.
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em
Como as dimensões de sua base devem ser 25% maiores que as da lata atual, essas dimensões serão iguais a 1,25 × 24 = 30.
Os volumes das duas latas devem ser iguais:
[tex] 30 \cdot 30 \cdot h = 24 \cdot 24 \cdot 40 [tex]
[tex] 900 h = 23\ 040 [tex]
[tex] h = 25,6\ cm [tex]
A altura da lata atual deve ser reduzida em
[tex]p = \frac{40\ -\ 25,6}{40} = \frac{14,4}{40} [tex]
[tex] p = \frac{3,6}{10} = 36 \% [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas.
Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses.
Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser
Como os resultados da pesquisa indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, isso indica 64% desse esgoto são lançados todos os dias nas águas sem nenhum tratamento o que corresponde a 8 bilhões de litros de esgoto:
[tex] 0,64x = 8 \cdot 10^{9} [tex]
[tex] x = \frac{8\ \cdot\ 10^{9}}{64\ \cdot\ 10^{-2}} = 0,125 \cdot 10^{11} [tex]
Como a campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses o que vai corresponder a um percentual de
[tex] \frac{4\ \cdot\ 10^{9}}{0,125\ \cdot\ 10^{11} } = 32 \cdot 10^{-2} = 0,32 = 32 \% [tex]
Então, se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser de 1 – 0,32 = 0,68 = 68%.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
O Ministério da Saúde e as unidades federadas promovem frequentemente campanhas nacionais e locais de incentivo à doação voluntária de sangue, em regiões com menor número de doadores por habitante, com o intuito de manter a regularidade de estoques nos serviços hemoterápicos. Em 2010, foram recolhidos dados sobre o número de doadores e o número de habitantes de cada região conforme o quadro seguinte.
Os resultados obtidos permitiram que estados, municípios e o governo federal estabelecessem as regiões prioritárias do país para a intensificação das campanhas de doação de sangue. A campanha deveria ser intensificada nas regiões em que o percentual de doadores por habitantes fosse menor ou igual ao do país.
Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2013 (adaptado).
As regiões brasileiras onde foram intensificadas as campanhas na época são
A campanha deveria ser intensificada nas regiões em que o percentual de doadores por habitantes fosse menor ou igual ao do país.
[tex] Percentual = \frac{3\ 627\ 520}{190\ 755\ 799} \cong 0,0190 = 1,9 \% [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400.000,00, distribuídos de acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução, está no Gráfico 2.
Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013?
• Despesa salarial com os 70 funcionários do Ensino Fundamental em 2014: (12,5% de 400 000)
[tex] 0,125 \cdot 400\ 000 = 50\ 000 [tex]
[tex] \Longrightarrow \frac{50\ 000}{50} \cdot 70 = 70 \ 000 [tex]
• Despesa salarial com os 180 funcionários do Ensino Médio em 2014 (75% de 400 000):
[tex] 0,75 \cdot 400\ 000 = 300\ 000 [tex]
[tex] \Longrightarrow \frac{300\ 000}{150} \cdot 180 = 360 \ 000 [tex]
• Despesa salarial com os 20 funcionários do Ensino Médio em 2014 (12,5% de 400 000):
[tex] 0,125 \cdot 400\ 000 = 50\ 000 [tex]
[tex]\Longrightarrow \frac{50\ 000}{10} \cdot 20 = 100 \ 000 [tex]
Como a despesa com os outros custos da empresa não sofreu alteração, o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013 será a diferença entre os totais pagos com salários nos dois anos:
(70 000 + 360 000 + 100 000) – 400 000 = 130 000
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho.
Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:
Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas.
Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas.
Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas.
Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas.
Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.
Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?
Desempenho do jogador I: [tex] \frac{50}{85} \cong 0,58823 ... [tex]
Desempenho do jogador II: [tex] \frac{40}{65} \cong 0,615384 ... [tex]
Desempenho do jogador III: [tex] \frac{20}{65} \cong 0,30769 ... [tex]
Desempenho do jogador IV: [tex] \frac{30}{40} = 0,75 [tex]
Desempenho do jogador V: [tex] \frac{48}{90} \cong 0,5333 ...[tex]
Logo, o melhor desempenho é do jogador IV.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas.
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais.
A menor nota que o candidato II deverá obter na aprova final de química para vencer a competição é
Média dos candidatos:
[tex] M_{(I)} = \frac{4 \cdot 20\ +\ 6 \cdot 23}{4 + 6} = \frac{80 + 138}{10} = \frac{218}{10} = 21,8 [tex]
[tex] M_{(II)} = \frac{4 \cdot x\ +\ 6 \cdot 25}{4 + 6} = \frac{4x+ 150}{10} = ? [tex]
[tex] M_{(III)} = \frac{4 \cdot 21\ +\ 6 \cdot 18}{4 + 6} = \frac{84 + 108}{10} = \frac{192}{10} = 19,2 [tex]
Para o candidato II vencer a competição a sua média terá que ser maior que 21,8:
[tex] \frac{4x + 150}{10} > 21,8 [tex]
[tex] 4x + 150 > 218 [tex]
[tex] 4x > 68 [tex]
[tex] x > 17 [tex]
Logo, a menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é 18.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de sempre alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam visto e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
Necessariamente teremos um par "Ação" com "Comédia" nas primeiras 5 seleções e com "Drama nas últimas 3, o que faz que tenhamos uma configuração como a seguir:
Então, basta organizarmos os filmes nas posições pré definidas para saber quantas configurações temos. Como são 8 lugares para 8 filmes de ação, são 8! configurações para "Ação" e analogamente 5" configurações para "Comédia" e 3! para "Drama". O que nos dá no total 8! × 5! × 3! possibilidades de seleção.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20.
A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é
Se a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20, então, a probabilidade de acertar é 0,80.
Para que o teste termine na 5ª pergunta, o candidato deve:
I) Errar apenas uma das 4 primeiras respostas, cuja probabilidade é 4 × 0,20.
II) Acertar as outras 3 respostas, cuja probabilidade é 0,803.
III) Errar a 5ª resposta, cuja probabilidade é 0,20.
Assim, a probabilidade pedida é: 4 × 0,20 × 0,803 × 0,20 = 0,08192
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
A Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) de São Paulo testou em 2013 novos radares que permitem o cálculo da velocidade média desenvolvida por um veículo em um trecho da via.
As medições de velocidade deixariam de ocorrer de maneira instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no percurso entre um radar e outro. Sabe-se que a velocidade média é calculada como sendo a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la.
O teste realizado mostrou que o tempo que permite uma condução segura de deslocamento no percurso entre os dois radares deveria ser de, no mínimo, 1 minuto e 24 segundos.
Com isso, a CET precisa instalar uma placa antes do primeiro radar informando a velocidade média máxima permitida nesse trecho da via. O valor a ser exibido na placa deve ser o maior possível, entre os que atendem às condições de condução segura observadas.
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado).
A placa de sinalização que informa a velocidade que atende a essas condições é
O carro deverá percorrer 2,1 km = 2 100 m em 1min24s = 84s. Logo, seu velocidade média deverá ser de:
[tex] v = \frac{2100}{84} = 25\ m/s = 25 \cdot 3,6 = 90\ km/h [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto E.
Escada caracol (Foto: Reprodução/ENEM)
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão da pessoa é:
Se os 5 pontos, A B, C, D, E, estão igualmente espaçados, o corrimão planificado é um segmento de reta dividido em 4 partes iguais.
A projeção ortogonal do corrimão completo sobre o piso (plano) é uma circunferência. A projeção do ponto A ao ponto D corresponde a da circunferência.
A projeção do ponto A ao ponto D corresponde a 3/4 da circunferência.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um pesquisador está realizando várias séries de experimentos com alguns reagentes para verificar qual o mais adequado para a produção de um determinado produto. Cada série consiste em avaliar um dado reagente em cinco experimentos diferentes.
O pesquisador está especialmente interessado naquele reagente que apresentar a maior quantidade dos resultados de seus experimentos acima da média encontrada para aquele reagente. Após a realização de cinco séries de experimentos, o pesquisador encontrou os seguintes resultados:
Levando-se em consideração os experimentos feitos, o reagente que atende às expectativas do pesquisador é o
Para determinarmos o reagente que atende às expectativas, precisaremos calcular a média de cada um deles nos experimentos.
[tex] Reagente\ I: M_{(I)} = \frac{1+6+6+6+11}{5} = 6 [tex]
[tex] Reagente\ II: M_{(II)} = \frac{0+6+7+6+5}{5} = 4,8 [tex]
[tex] Reagente\ III: M_{(III)} = \frac{2+3+8+10+11}{5} = 6,8 [tex]
[tex] Reagente\ IV: M_{(IV)} = \frac{2+4+7+8+11}{5} = 6,6 [tex]
[tex] Reagente\ V: M_{(V)} = \frac{1+2+9+10+11}{5} = 6,6 [tex]
Agora, vejamos a tabela que mostra os resultados de cada reagente que estão acima da média:
Portanto, o reagente que apresenta maior quantidade dos resultados de seus experimentos acima da média é o reagente 2.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão:
Valor do kWh (com tributos) x consumo (em kWh) + Cosip
O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas.
Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%.
Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador?
I) O valor da conta de energia elétrica para o consumo de 150kWh é, em reais,
150 × 0,50 + 4,50 = 75,00 + 4,50 = 79,50
II) Após redução de 10% no custo total da conta, o valor deverá ser, em reais,
0,90 × 79,50 = 71,55
III) O consumo C, em kWh, deverá ser tal que:
C × 0,50 + 3,00 = 71,55
C × 0,50 = 68,55
C = 137,1
pois a faixa de consumo mensal, em kWh, será superior a 100 e até 140.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico.
Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa?
Pela análise do gráfico, para um gasto de R$ 30,00, o plano mais vantajoso, em tempo de chamada, é o plano C, que atinge aproximadamente 30 minutos.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para π.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a
Sendo cada pílula formada por um cilindro de altura h, e duas semiesferas de raio R, seu volume V será:
[tex] V = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot π R^{3}) + π \cdot R^{2} \cdot h [tex]
Adotando π = 3:
I) Para h = 10 mm e R = 5 mm, temos, em mm³:
[tex] V_{(I)} = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 5^{3}) + 3 \cdot 5^{2} \cdot 10 = 1250 [tex]
II) Para h = 10 mm e R = 4 mm, temos, em mm³:
[tex] V_{(II)} = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 4^{3}) + 3 \cdot 4^{2} \cdot 10 = 736 [tex]
Logo, a redução do volume da pílula, após a reprogramação da máquina, será igual a:
1250 mm³ – 736 mm³ = 514 mm³
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura.
FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos. Folha de S. Paulo, 30 out. 2011.
De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de
A área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro corresponde a:
[tex] \frac{80\ milhões\ de\ hectares}{853\ milhões\ de\ hectares} \cong 0,094 = 9,4 \% [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
Como a escala do projeto da garagem é 1 : 100, as dimensões reais do armário são 300 cm, 100 cm e 200 cm.
Assim, o volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
300 × 100 × 200 = 6 000 000
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante.
A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.
Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45.
Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas.
A loja encaminhou um oficio ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor
Se a média da distribuição de zeros e uns é igual a 0,45 < 0,5, há maior quantidade de zeros (sapatos brancos) do que uns (sapatos pretos).
Se a moda é 38, a maior quantidade de sapatos com defeito foram os de número 38. Assim, a loja deverá não mais encomendar sapatos brancos e sapatos de número 38.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste:
1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
Um Índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença.
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos.
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática. São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado).
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de
A sensibilidade do teste diagnóstico é a probabilidade de o resultado ser positivo, se o paciente estiver com a doença e, portanto, é
[tex] \frac{95}{100} = 95 \% [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é
I) Considerando o retângulo PQRS que representa o terreno e lembrando que cada muda deverá ser plantada a pelo menos três metros da lateral do terreno, nenhuma muda poderá ser plantada fora da área do retângulo ABCD.
Desta forma, é possível plantar 9 mudas, A saber, em A, B, E, F, G, H, I, J e K.
II) Observe que, em metros,
[tex] AE = \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2} \sqrt{(5,5)^{2} + 3^{2}} \cong 3,13 [tex]
e
[tex] MK = 5 \cdot ME = 5 \cdot 1,5 = 7,5 < 8 [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas [tex]y = f(x)[tex], da seguinte maneira:
* A nota zero permanece zero.
* A nota 10 permanece 10.
* A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função [tex]y = f(x)[tex] a ser utilizada pelo professor é
Se [tex]f(x) = ax^{2} + bx + c[tex] for a função que transforma a nota x na nota [tex]y = f(x)[tex], então:
[tex] f(0) = a × 0^{2} + b × 0 + c = 0 ⇔ c = 0 [tex]
[tex]f(10) = a × 10^{2} + b × 10 + c = 10 [tex]
[tex]f(5) = a × 5^{2} + b × 5 + c = 6 [tex]
[tex] \begin{cases} 100a + 10b = 10 \\ 25a + 5b = 6 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} a = -\frac{1}{25} \\ b = \frac{7}{5} \end{cases} [tex]
A expressão da função [tex]y = f(x)[tex] a ser utilizada pelo professor é
[tex] y = - \frac{1}{25}x^{2} + \frac{7}{5}x [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão
na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
Como [tex]N = 2^{x} \cdot 5^{y} \cdot 7^{z}[tex], o número de divisores positivos de N é (x + 1)∙(y + 1)∙(z + 1) e, portanto, o número de divisores positivos de N, diferentes de N, é (x + 1)∙(y + 1)∙(z + 1) – 1.
Observações:
I) É importante destacar que o exercício na realidade pede o número de divisores positivos de N.
II) Como N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7, podemos concluir que x ≠ 0, y ≠ 0 e z = 0.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo do mesmo comprimento. Cada triangulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é
De acordo com o enunciado, o perímetro do triângulo será 17 palitos.
Assim, sendo x palitos a medida do maior lado do triângulo, temos: [tex] \frac{17}{3} ≤ x ≤ \frac{17}{2} [tex] e, portanto, os possíveis valores de x são 6; 7 e 8.
Como um dos lados do triângulo deve medir 6 palitos, podemos montar a seguinte tabela:
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é o paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é uma semicircunferência com centro na origem e raio 2, com y < 0 e – 2 < x < 2.
Assim,
[tex] x^{2} + y^{2} = 22 \Longrightarrow y = -\sqrt{4 - x^{2}} [tex]
e, portanto, a curva é parte do gráfico da função
[tex] y = -\sqrt{4 - x^{2}} [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em [tex]\frac{1}{8}[tex], preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.
A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é
Suponhamos que a largura e a altura da porta original sejam x e y e que as dimensões da porta mais alta sejam x' e y'. Além disso, consideremos z a espessura de ambas as portas.
Como a altura aumentou em [tex]\frac{1}{8}[tex] , segue que:
[tex]x' = (\frac{1}{8} + 1)\cdot x \iff x' = \frac{9}{8}\cdot x [tex]
Para que tenhamos o mesmo lado, o volume de ambas deve ser o mesmo, portanto:
[tex]x \cdot y \cdot z = x' \cdot y' \cdot z [tex]
[tex]x \cdot y = \frac{9}{8}x \cdot y' [tex]
[tex] \frac{y'}{y} = \frac{8}{9} [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente,
* 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes.
* 33% são utilizados em descarga de banheiro.
* 27% são para cozinhar e beber.
* 15% são para demais atividades.
No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia.
O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades.
Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água,
De acordo com o enunciado, podemos construir a seguinte tabela para o consumo médio de 200 litros de água por dia.
Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro do enunciado, economizará, em média, em litros de água:
I) Para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes: 50 – (24 + 3,2 + 2,4) = 20,4
II) Para dar a descarga: 66 – 18 = 48
III) Para beber e cozinhar: 54 – 22 = 32
Logo, economizará diariamente, em média, em litros: 20,4 + 48 + 32 = 100,4.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior.
O candidato aprovado será
Colocando as notas em ordem crescente, temos:
O candidato com maior mediana é N
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma trapezoidal, conforme mostrado na figura.
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012. (adaptado)
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é
Se, para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo, então em 2 m de altura do silo a largura do topo tem 2 × 0,5 m = 1 m a mais do que a largura do fundo.
Desta forma, a largura do fundo é de (6 – 1) m = 5 m.
O volume do silo, em metros cúbicos, é
[tex] V = \frac{(6 + 5)\ \cdot\ 2}{2} \cdot 20 = 220 [tex]
Se, após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m³ desse tipo de silo, então cabem no silo:
[tex] \frac{220\ m^{3}}{2\ m^{3}/t} = 110\ toneladas [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.
Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima?
A quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima na terça-feira, num total de 800 + 1100 = 1 900, pois nos demais dias, temos:
Segunda: 350 + 1250 = 1 600
Quarta: 300 + 1 450 = 1 750
Quinta: 850 + 650 = 1 500
Sexta: 300 + 1 400 = 1 700
Sábado: 290 + 1 000 = 1 290
Domingo: 0 + 1 350 = 1 350
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?
Sendo [tex]a[tex] e [tex]2a[tex] as medidas das arestas dos cubos pequeno e grande, respectivamente, e sendo [tex]V_{p}[tex] e [tex]V_{g}[tex] os respectivos volumes desses cubos, temos:
[tex] V_{p} = a^{3} [tex] e [tex] V_{g} = (2a)^{3} = 8a^{3} [tex]
O volume total do depósito é
[tex] V = V_{p} + V_{g} = a^{3} + 8a^{3} = 9a^{3} [tex]
Se, para encher a metade do cubo grande, a torneira levou 8 minutos, ela enche, a cada minuto,
[tex] \frac{4a^{3}}{8} = \frac{a^{3}}{2} [tex]
O tempo, em minutos, para encher a parte que falta do reservatório, será
[tex] \frac{9a^{3}\ -\ 4a^{3}}{\frac{a^{3}}{2}} = 10 [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh.
Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome.
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?
A cada célula retangular de dimensões 6 cm × 8 cm, a diagonal mede 10 cm.
Assim, cada célula produz ao longo do dia 10 × 24Wh = 240Wh e 100 células produzem 100 x 240Wh = 24 000 Wh.
Temos então, em kWh, 24 000 – 20 160 = 3 840 a mais que o consumo inicial estabelecido, o que equivale a 16 placas, pois,
[tex] \frac{3\ 840\ Wh}{240\ Wh} = 16 [tex]
E, desta forma, é necessário retirar 16 células.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada.
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era
Seja x a quantidade comprada semanalmente por esta pessoa antes do aumento.
A quantia que ela estava acostumada a levar, em reais, é 10x + 6.
Após o aumento, cada unidade passou a custar 1,20 ∙ R$10,00 = R$12,00.
Com isto, a pessoa só conseguiu comprar (x – 2) unidades.
Assim,
12(x – 2) = 10x + 6 ⇔ 2x = 30 ⇔ x = 15.
Desta forma, a pessoa levava semanalmente (10 × 15 + 6) reais = 156 reais.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais).
Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A).
Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s)
Admitindo-se que o tempo de voo de ida e volta seja o mesmo (6h), quando o executivo decolou de A às 15h, a hora local em B era 18h – 6h = 12h.
Assim, entre as cidades A e B, há uma diferença de fuso horário de 3 horas.
Quando em A forem 13h, em B serão 10h da manhã.
Para chegar nesse horário, considerando as 6h de voo, deverá decolar de B às 4h.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicionai: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para representar o “zero" em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.
Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.
O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é
O quipus da figura 2 representa o número 3064, pois
3000 + 0 + 60 + 4 = 3064
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado.
Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina?
A área da piscina é de 8 hectares = 8 × 10 000 = 80 000 metros quadrados.
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Durante uma epidemia de uma gripe viral, o secretário de saúde de um município comprou 16 galões de álcool em gel, com 4 litros de capacidade cada um, para distribuir igualmente em recipientes para 10 escolas públicas do município. O fornecedor dispõe à venda diversos tipos de recipientes, com suas respectivas capacidades listadas:
* Recipiente I : 0,125 litro
* Recipiente II : 0,250 litro
* Recipiente III : 0,320 litro
* Recipiente IV : 0,500 litro
* Recipiente V : 0,800 litro
O secretário de saúde comprará recipientes de um mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada escola, abastecidos com álcool em gel na sua capacidade máxima, de forma a utilizar todo o gel dos galões de uma só vez.
Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve comprar?
Entendendo “16 galões de álcool” como “16 vasilhames contendo álcool em gel”, pois galão é uma unidade de medida de capacidade (e não é equivalente a 4 litros), temos, ao todo, 16 × 4 = 64 litros de álcool gel.
Se cada uma das 10 escolas públicas do município receberá 20 recipientes, então a capacidade de cada recipiente deverá ser de
[tex] \frac{64 \ell}{10\ \cdot\ 20} = 0,32 \ell [tex]
(ENEM 2014 - 1ª Aplicação).
Os vidros para veículos produzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros desse fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e a película.
De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é
Porcentagem mínima de luz externa que atravessa o vidro e a película:
P = 0,5 × 0,7 Luz = 0,35 Luz
Porcentagem máxima de luz externa que atravessa o vidro e a película:
P = 0,7 × 0,9 Luz = 0,63 Luz
Assim, [tex] P \in [35; 63][tex]
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