(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um empresário pretende fazer a propaganda de seus produtos em um canal de televisão. Para isso, decidiu consultar o quadro com a pontuação de audiência, nos últimos três meses, de cinco emissoras de televisão em determinado horário e calcular a média aritmética para escolher aquela com a maior média de audiência nesse período.
De acordo com o critério do empresário, que emissora deve ser escolhida?
Calcular as médias das emissoras:
[tex] Emissora\ (I) = \frac{11+19+13}{3} = \frac{43}{3} = 14,33... [tex]
[tex] Emissora\ (II) = \frac{12+16+17}{3} = \frac{45}{3} = 15 [tex]
[tex] Emissora\ (III) = \frac{14+14+18}{3} = \frac{46}{3} = 15,33 ... [tex]
[tex] Emissora\ (IV) = \frac{15+11+15}{3} = \frac{41}{3} = 13,66 ... [tex]
[tex] Emissora\ (V) = \frac{14+14+14}{3} = \frac{44}{3} = 14 [tex]
Logo, a emissora escolhida será a III.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Em 2011, a costa nordeste do Japão foi sacudida por um terremoto com magnitude de 8,9 graus na escala Richter. A energia liberada E por esse terremoto, em kWh, pode ser calculada por
sendo E₀ = 7 x 10⁻³ kWh e R a magnitude desse terremoto na escala Richter. Considere 0,84 como aproximação para log 7.
Disponível em: http://oglobo.globo.com. Acesso em: 2 ago. 2012.
A energia liberada pelo terremoto que atingiu a costa nordeste do Japão em 2011, em KWh, foi de
Vamos substituir [tex] R = 8,9[tex] e [tex] E_{0} = 7 \ \cdot\ 10^{-3} [tex] na expressão:
[tex] R = \frac{2}{3}log(\frac{E}{E_{0}}) [tex]
[tex] 8,9 = \frac{2}{3}log(\frac{E}{E_{0}}) [tex]
[tex] \frac{3\ \cdot\ 8,9}{2} = log(\frac{E}{E_{0}}) [tex]
[tex] 13,35 = log(\frac{E}{E_{0}}) [tex]
[tex] 13,35 = log(E)\ -\ log(7\ \cdot\ 10^{-3}) [tex]
[tex] 13,35 = log(E)\ -\ [log(7) +\ log(10^{-3})] [tex]
[tex] 13,35 = log(E)\ -\ 0,84 -\ (-3) log(10) [tex]
[tex] 13,35 = log(E)\ -\ 0,84 + 3 [tex]
[tex] 13,35 - 2,16 = log(E) [tex]
[tex] 11,19 = log(E) [tex]
[tex] E = 10^{11,19} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um jogo de boliche consiste em arremessar uma bola sobre uma pista com o objetivo de atingir e derrubar o maior número de pinos. Para escolher um dentre cinco jogadores para completar sua equipe, um técnico calcula, para cada jogador, a razão entre o número de arremessos em que ele derrubou todos os pinos e o total de arremessos efetuados por esse jogador.
O técnico escolherá o jogador que obtiver a maior razão.
O desempenho dos jogadores está no quadro.
Deve ser escolhido o jogador
Cálculos das razões:
[tex] Jogador\ I:\ razão = \frac{50}{85} = 0,588 ... [tex]
[tex] Jogador\ II:\ razão = \frac{40}{65} = 0,615 ... [tex]
[tex] Jogador\ III:\ razão = \frac{20}{65} = 0,307 ... [tex]
[tex] Jogador\ IV:\ razão = \frac{30}{40} = 0,75 [tex]
[tex] Jogador\ V:\ razão = \frac{48}{90} = 0,533... [tex]
Logo, deverá escolher o jogador (IV).
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo α, e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura.
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.
Uma estimativa para o ângulo de inclinação α, quando dado em grau, é tal que
Segue de imediato que
[tex] sen\ α = \frac{1,8}{60} [tex]
[tex] sen\ α = 0,03[tex]
Portanto, de acordo com as informações da tabela, podemos afirmar que [tex] α\ \in [1,5 ; 1,8[ [tex].
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Para divulgar sua marca, uma empresa produziu um porta-canetas de brinde, na forma do sólido composto por um cilindro e um tronco de cone, como na figura.
Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa empresa encontrará um adesivo na forma planificada dessa superfície.
Que formato terá esse adesivo?
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Passar trote nos telefones de emergência da Polícia Militar, Corpo de Bombeiros e Serviço de Atendimento Móvel de Urgência (Samu) pode resultar em multa para o dono do telefone de onde partiu a ligação. Para exemplificar a seriedade dessa questão, em uma cidade brasileira, um jornal local publicou a tabela a seguir, mostrando o número de trotes telefônicos recebidos pelos bombeiros da cidade, ao longo de um semestre.
Qual o valor mediano da quantidade de trotes recebidos nesse semestre?
Colocando em ordem crescente:
14 - 16 - 16 - 18 - 20 - 30
[tex] Mediana = \frac{16 + 18}{2} = \frac{34}{2} = 17 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
A figura ilustra uma sequência de formas geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra.
Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o décimo termo da sequência?
Dados:
[tex] a_{1} = 3 [tex]
[tex] a_{2} = 7 [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 7 - 3 = 4 [tex]
[tex] a_{n} = ? [tex]
[tex] n = 10 [tex]
Logo,
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot\ r [tex]
[tex] a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot\ 4 [tex]
[tex] a_{10} = 3 + 9 \cdot\ 4 [tex]
[tex] a_{10} = 3 + 36 [tex]
[tex] a_{10} = 39 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco.
Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2.
A equação que descreve a parábola é
Função quadrática é da forma [tex]y = ax² + bx + c[tex].
Pelo gráfico, para x = 0, temos y = 10:
[tex] 10 = a \cdot 0² + b \cdot 0 + c[tex]
c = 10
Também pelo gráfico, temos para x = 5 ou x = –5 a imagem y = 0. Assim,
[tex] 0 = a \cdot 5² + b \cdot 5 + 10\ →\ 25a + 5b =\ –10 [tex] (I)
ou
[tex] 0 = a \cdot (-5)² + b \cdot (-5) + 10\ →\ 25a - 5b =\ –10 [tex] (II)
Agora, resolvendo o sistema pelo método da adição temos:
[tex] \begin{cases}25a + 5b = -10 \\ 25a - 5b = -10\end{cases} [tex]
[tex] 50a =\ – 20 [tex]
[tex] a = \frac{-20}{50} = -\frac{2}{5} [tex]
Agora, o valor do coeficiente b.
[tex] 25\ \cdot\ (\frac{-2}{5}) + 5b = -10 [tex]
[tex] 5\ \cdot\ (-2) + 5b = -10 [tex]
[tex] -10 + 5b = -10 [tex]
[tex] 5b = 0 [tex]
[tex] b = 0 [tex]
Portanto,
[tex]y = ax² + bx + c[tex]
[tex]y = ax² + bx + c[tex]
[tex] y = (\frac{-2}{5}) x² + 0\ \cdot\ x + 10 [tex]
[tex] y = (\frac{-2}{5}) x² + 10 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma competição automobilística prevê a realização de uma viagem entre as cidades X e Y, com uma parada na cidade intermediária Z, onde os competidores passarão a noite. O navegador de uma equipe decide fazer um mapa contendo uma rota que passa por essas três cidades.
Nesse mapa é utilizada uma escala tal que a distância entre as cidades X e Z é de 12 centímetros, e a distância entre as cidades Z e Y é de 18 centímetros. Sabe-se que a distância real de X e Y é de 870 quilômetros, e que as três cidades são representadas, no mapa, ao longo de uma mesma linha reta.
A distância de X e Z, em quilômetro, é igual a
870 km --------- 30 cm
x km --------- 12 cm
[tex]30x = 870 \cdot 12 [tex]
[tex]30x = 10 440 [tex]
[tex] x = \frac{10 440}{30} = 384 [tex] km
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma distribuidora possui 40 mil litros de combustível em estoque. Tal combustível é resultante da mistura de etanol e gasolina pura, de acordo com os percentuais de 25% de etanol e 75% de gasolina pura. Para atender aos novos parâmetros nacionais na mistura dos combustíveis, o dono da distribuidora precisará alterar os percentuais de composição do combustível presente no tanque para 20% de etanol e 80% de gasolina pura.
Se o dono da distribuidora irá adequar o combustível em estoque ao novo padrão adicionando gasolina pura aos 40 mil litros existentes, a quantia de gasolina, em litro, a ser adicionada será
Etanol: 0,25 ∙ 40 = 10 L
Gasolina: 0,75 ∙ 40 = 30 L
Agora,
[tex] 0,20(40 + x) = 10 [tex]
[tex] 8 + 0,2x = 10 [tex]
[tex] 0,2x = 10 – 8 [tex]
[tex] x = \frac{2}{0,2} [tex]
[tex] x = 10 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço.
Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês.
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de
Equacionando o problema, temos que a cada real cobrado diminui 10 clientes dos 200. Então vamos considerar essa quantidade de reajuste como x. Então ficaria assim:
[tex] y = (10 + x) \cdot ( 200\ – 10x) [tex]
[tex] y = 2000\ – 100x + 200x\ – 10x² [tex]
[tex] y = 2000 + 100x\ – 10x² [tex]
Fazendo a fórmula do x do vértice iremos descobrir o quanto será acrescido
[tex] x_{v} = \frac{-b}{2a} [tex]
Então ficará:
[tex] x_{v} = \frac{-100}{2 \cdot (-10)} [tex]
[tex] x_{v} = \frac{-100}{-20} [tex]
[tex] x_{v} = 5 [tex]
Assim, x = 5.
Agora, basta adicionarmos esse valor ao já existente para ter o novo preço:
10 + 5 = 15
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
A Chlamydia, a menor bactéria do mundo, mede cerca de 0,2 micrômetro (1 micrômetro equivale à milionésima parte de um metro). Para ter uma noção de como é pequena a Chlamydia, uma pessoa resolveu descrever o tamanho da bactéria na unidade milímetro.
A medida da Chlamydia, em milímetro, é
Vamos converter 1 micrômetro em metros:
[tex] 1\ micrômetro = \frac{1\ m}{1 000 000} = \frac{1 000\ mm}{1 000 000} = 1 \cdot 10^{-3} [tex]
Assim,
[tex] 0,2\ micrômetro = 0,2 \cdot 1 \cdot 10^{-3} = 0,2 \cdot 10^{-3} [tex]
[tex] 0,2\ micrômetro = 2 \cdot 10^{-4} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma padaria fabrica biscoitos que são embalados em pacotes com dez unidades, e cada pacote pesa 85 gramas. Na informação ao consumidor lê-se: "A cada 15 gramas do biscoito correspondem 90 quilocalorias".
Quantas quilocalorias tem um desses biscoitos?
Encontrando a quantidade de kcal de cada pacote de biscoito:
15 g --------- 90 kcal
85 g ----------- x kcal
[tex] 15x = 7 650 [tex]
[tex] x = \frac{7650}{15} [tex]
[tex]x = 510\ kcal[tex]
Agora, encontrar de kcal de cada biscoito:
10 biscoito -------- 510 kcal
1 biscoito --------- x kcal
[tex] x = \frac{510}{10} [tex]
[tex] x = 51\ kcal[tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma indústria utiliza um índice de desempenho para as suas máquinas que é diretamente proporcional à quantidade total de peças produzidas e inversamente proporcional ao quadrado da quantidade de peças defeituosas produzidas. Em um semestre, cinco máquinas produziam a mesma quantidade T de peças, sendo D delas defeituosas. No semestre seguinte, houve uma alteração na quantidade total de peças produzidas por cada máquina e também na quantidade de peças defeituosas, de acordo com o quadro.
A máquina que manteve o mesmo índice de desempenho do semestre anterior foi a
Para o 1° Semestre, temos:
[tex] i = k \cdot \frac{T}{D^{2}} [tex]
Agora, verificando a transformação da proporcionalidade para cada máquina:
i = índice
n = quantidade total de peças produzidas
D = quantidade de peças defeituosas produzidas
k = constante de proporcionalidade
[tex] i = k \cdot \frac{n}{D^{2}} [tex]
Máquina I:
[tex] i = k \cdot \frac{1,07T}{(1,07 \cdot D)^{2}} = k \cdot \frac{1,07T}{1,07^{2} \cdot D^{2}} = k \cdot \frac{T}{1,07 \cdot D} [tex]
Máquina II:
[tex] i = k \cdot \frac{1,4T}{(0,7 \cdot D)^{2}} = k \cdot \frac{1,4T}{0,7^{2} \cdot D^{2}} = k \cdot \frac{1,4T}{0,49 \cdot D^{2}} [tex]
Máquina III:
[tex] i = k \cdot \frac{0,7T}{(1,4 \cdot D)^{2}} = k \cdot \frac{0,7T}{{1,96} \cdot D^{2}} [tex]
Máquina IV:
[tex] i = k \cdot \frac{1,07T}{(1,07^{2} \cdot D)^{2}} = k \cdot \frac{T}{{1,07^{3}} \cdot D^{2}} [tex]
Máquina V:
[tex] i = k \cdot \frac{1,07^{2}T}{(1,07 \cdot D)^{2}} = k \cdot \frac{1,07^{2}\ T}{{1,07^{2}} \cdot D^{2}} = k \cdot \frac{T}{D^{2}} [tex]
Portanto, a máquina que manteve o mesmo índice de desempenho do semestre anterior foi a máquina V.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Para a construção de um edifício, o engenheiro responsável decidiu utilizar um novo elevador de carga, com o objetivo de transportar as lajotas do solo até o andar superior com maior eficiência.
Testaram-se dois modelos de elevadores: o primeiro carrega 40 peças de lajotas por vez e demora 15 minutos para ir ao topo e retornar ao solo; o segundo carrega 60 peças de lajotas por vez e demora 21 minutos para percorrer o mesmo trajeto.
O engenheiro decide verificar quanto tempo o primeiro demora para carregar 280 lajotas até o topo e voltar.
Em seguida, decide calcular a quantidade máxima de lajotas que o segundo elevador carregaria nesse mesmo tempo.
Nessas condições, a quantidade máxima de lajotas que o segundo elevador pode carregar é
Veja que:
40 peças ------- 15 min
280 peças --------- t min
[tex]40t = 4 200 [tex]
[tex] t = \frac{4200}{40} [tex]
[tex]t = 105\ min [tex]
Agora,
60 peças -------- 21 min
n peças -------- 105 min
[tex]21 n = 6 300 [tex]
[tex] n = \frac{6300}{21} [tex]
[tex]n = 300\ lajotas [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma empresa de manutenção de jardins foi contratada para plantar grama em um campo de futebol retangular cujas dimensões são 70 m x 100 m. A grama que será utilizada é vendida em tapetes retangulares de dimensões 40 cm x 125 cm.
Quantos tapetes de grama, no mínimo, serão necessários para cobrir todo o campo de futebol?
Cálculo da área do campo de futebol:
[tex] A_{(campo)} = 70 m \cdot 100 m = 7\ 000\ m^{2} [tex]
Agora, a área de um tapete de grama:
[tex]A_{(tapete)} = 40 cm \cdot 125 cm = 0,4 m \cdot 1,25 m = 0,5\ m^{2} [tex]
Logo, a quantidade de tapetes (Q) de grama será:
[tex]Q = \frac{7000}{0,5} [tex]
[tex] Q = 14\ 000\ tapetes [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
O cartão Micro SD é um tipo de mídia utilizada para armazenamento de dados (arquivos, fotos, filmes, músicas etc.). Um usuário tem um cartão Micro SD de 16 GB e, utilizando seu computador, visualiza, em termos percentuais, os dados armazenados no cartão, conforme o gráfico.
O usuário adquiriu um cartão do mesmo tipo, mas de 32 GB, com o objetivo de gravar os dados do seu cartão de 16 GB em seu novo cartão de 32 GB. No entanto, para aumentar o espaço de armazenamento disponível, decidiu não gravar suas músicas no novo cartão.
Analisando o gráfico, o espaço disponível no novo cartão de 32 GB, em termos percentuais, é igual a
No cartão antigo está ocupado por: 25% + 13% + 22% = 60%. Assim,
Espaço ocupado:
60% -------- 16 GB
x ---------- 32 GB
[tex]16x = 1 920 [tex]
[tex] x = \frac{1920}{16} [tex]
[tex]x = 30 [tex]%
Portanto, o espaço disponível será:
100 % – 30 % = 70%
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Em uma plataforma de exploração de petróleo, localizada no mar, ocorreu um vazamento. A equipe técnica de operação dessa plataforma percebeu que a mancha de óleo espalhado na superfície do mar tinha formato circular e estimou, visualmente, que a área atingida era de aproximadamente 100 km².
Utilize 3 como aproximação para π.
O valor inteiro mais próximo do raio da mancha de óleo formada, em km, é
Cálculo do raio de manha de petróleo.
[tex] A = π R^{2} [tex]
[tex]100 = 3 R^{2} [tex]
[tex] \frac{100}{3} = R^{2} [tex]
[tex] R^{2} = 33,33... [tex]
[tex] R = {\sqrt{33,33...}} [tex]
[tex] R = 5,77... [tex]
Logo, o valor inteiro mais próximo do raio é 6 km.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Para fazer uma campanha contra o tabagismo, um empresário encomendou uma pesquisa com pessoas que trabalham em suas cinco empresas para saber quantas fumam. O gráfico mostra o número de pessoas entrevistadas e quantas responderam ser fumantes em cada uma das empresas.
A empresa que possui o menor percentual de pessoas fumantes é
Calculando o percentual de cada empresa:
[tex] Empresa\ I:\ \frac{6}{40} = 0,15 = 15 [tex]%
[tex] Empresa\ II:\ \frac{3}{15} = 0,2 = 20 [tex]%
[tex] Empresa\ III:\ \frac{2}{16} = 0,125 = 12,5 [tex]%
[tex] Empresa\ IV:\ \frac{5}{23} = 0,217 = 21,7 [tex]%
[tex] Empresa\ V:\ \frac{3}{28} = 0,107 = 10,7 [tex]%
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um jovem deseja comprar um carro novo, usá-lo por 8 anos e depois revendê-lo. O quadro mostra, em real, para cinco modelos de carro, o preço de compra, a despesa estimada de uso do carro por ano (combustível, seguro, manutenção etc.) e o valor estimado de revenda do carro após 8 anos de uso.
Considerando os valores apresentados, o carro que resultaria em menor despesa total é
Despesa total do carro é dado por:
Preço de compra + 8 ∙ despesa anual – valor de revenda
= 46 000 + (8 ∙ 4 200) – 14 000 = 46 000 + 33 600 – 14 000 = 65 600
= 55 000 + (8 ∙ 4 000) – 10 000 = 55 000 + 32 000 – 10 000 = 77 000
= 56 000 + (8 ∙ 4 900) – 16 000 = 56 000 + 39 200 – 16 000 = 79 200
= 45 000 + (8 ∙ 5 000) – 7 000 = 45 000 + 40 000 – 7 000 = 78 000
= 40 000 + (8 ∙ 6 000) – 15 000 = 40 000 + 48 000 – 15 000 = 73 000
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um sítio foi adquiro por R$ 200 000,00. O proprietário verificou que a valorização do imóvel, após sua aquisição, cresceu em função do tempo conforme o gráfico, e que essa tendência de valorização se manteve nos anos seguintes.
O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, em real, será de
Observe:
[tex] \frac{y_{1} -\ 240\ 000}{240\ 000\ -\ 200\ 000} = \frac{10\ -\ 2}{2\ -\ 0} [tex]
[tex] \frac{y_{1} -\ 240\ 000}{40\ 000} = \frac{8}{2} [tex]
[tex] \frac{y_{1} -\ 240\ 000}{40\ 000} = 4 [tex]
[tex] y_{1} -\ 240\ 000 = 40\ 000 \cdot 4 [tex]
[tex] y_{1} -\ 240\ 000 = 160\ 000 [tex]
[tex] y_{1} = 160\ 000 +\ 240\ 000 [tex]
[tex] y_{1} = 400\ 000 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
César Augusto Cielo Filho é um nadador brasileiro, campeão olímpico e detentor de várias medalhas nacionais e internacionais.
Em 2013, no Campeonato Mundial de Barcelona, na Espanha, César Cielo obteve o primeiro lugar no estilo livre, nadando 50 metros em 21,320 segundos.
Disponível em: http://pt.wikipedia.org. Acesso em: 20 mar. 2014.
A posição ocupada pelo algarismo 3 nesse registro de tempo corresponde a
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 43,18 segundos.
Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é
[tex] 43,18 \cdot 10^{0} = 4,318 \cdot 10^{1} \cdot 10^{0} = 4,318 \cdot 10^{1} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
"Veja os algarismos: não há dois que façam o mesmo ofício; 4 é 4, e 7 é 7. E admire a beleza com que um 4 e um 7 formam esta coisa que se exprime por 11.
Agora dobre 11 e terá 22; multiplique por igual número, dá 484, e assim por diante."
ASSIS, M. Dom Casmurro. Olinda: Livro Rápido, 2010.
No trecho anterior, o autor escolheu os algarismos 4 e 7 e realizou corretamente algumas operações, obtendo ao final o número 484.
A partir do referido trecho, um professor de matemática solicitou aos seus alunos que escolhessem outros dois algarismos e realizassem as mesmas operações.
Em seguida, questionou sobre o número que foi obtido com esse procedimento e recebeu cinco respostas diferentes.
Quais alunos apresentaram respostas corretas, obedecendo ao mesmo princípio utilizado nas operações matemáticas do autor?
Vamos proceder o inverso das operações feitas pelo aluno:
[tex] \sqrt{121} = 11,\ \frac{11}{2} = 5,5 [tex]. Não é inteiro.
[tex] \sqrt{242} = 15,5, [tex]. Não é inteiro.
[tex] \sqrt{324} = 18,\ \frac{18}{2} = 9 [tex]. Assim, 4 e 5 = 9; 9 × 2 = 18 e 18 × 18 = 324.
[tex] \sqrt{625} = 25, \ \frac{25}{2} = 12,5 [tex]. Não é inteiro.
[tex] \sqrt{784} = 28,\ \frac{28}{2} = 14 [tex]. Assim, 9 e 5 = 14; 14 × 2 = 28 e 28 × 28 = 728.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
A base de cálculo do imposto de renda é a parte dos rendimentos recebidos pelo contribuinte sobre a qual incide o imposto. Ela é obtida após serem descontadas, dos rendimentos, as deduções legais.
No ano de 2008, se a base de cálculo de um contribuinte teve um valor de até R$ 16 473,72, o contribuinte foi isento do imposto de renda. Se a base de cálculo ficou entre R$ 16 473,72 e R$ 32 919,00, o imposto devido foi de 15% sobre o que excedeu R$ 16 473,72. Por fim, se a base de cálculo ultrapassou R$ 32 919,00, o imposto devido é dado pela soma de R$ 2 466,79 (correspondendo a 15% da diferença 32 919,00 – R$ 16 473,72) mais 27,5% do que excedeu R$ 32 919,00.
O gerente de um escritório de contabilidade pediu a um estagiário que identificasse o gráfico que descrevia o valor do imposto devido, para o ano de 2008, como função da base de cálculo, apresentando-lhe cinco gráficos, sem qualquer outra informação ou valores numéricos.
Admitindo que um desses gráficos corresponda ao pedido do gerente, qual é esse gráfico?
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
As ruas de uma cidade estão representadas por linhas horizontais e verticais na ilustração. Para um motorista trafegando nessa cidade, a menor distância entre dois pontos não pode ser calculada usando o segmento ligando esses pontos, mas sim pela contagem do menor número de quadras horizontais e verticais necessárias para sair de um ponto e chegar ao outro. Por exemplo, a menor distância entre o ponto de táxi localizado no ponto O e o cruzamento das ruas no ponto A, ambos ilustrados na figura, é de 400 metros.
Um indivíduo solicita um táxi e informa ao taxista que está a 300 metros do ponto O, segundo a regra de deslocamentos citada, em uma determinada esquina.
Entretanto, o motorista ouve apenas a informação da distância do cliente, pois a bateria de seu celular descarregou antes de ouvir a informação de qual era a esquina.
Quantas são as possíveis localizações desse cliente?
Vamos dividir em quatro quadrantes: no primeiro quadrante tem 3 possibilidades:
Portanto,
4 × 3 = 12 possibilidades.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma empresa vende xarope de guaraná a uma distribuidora de bebidas por R$ 1,60 o litro. O transporte desse xarope é feito por meio de caminhões-tanque que transportam 20 000 litros a cada viagem. O frete de um desses caminhões é de R$ 2 500,00 por viagem, pago pelo dono da distribuidora. Ele pretende estabelecer o preço do litro do xarope de guaraná para revenda de modo a obter um lucro de R$ 0,25 por litro.
Qual é o valor mais próximo, em real, para o preço de venda do litro de xarope de guaraná a ser estabelecido pelo dono da distribuidora?
O dono da distribuidora compra o xarope por 1,60 reais o litro. Ele paga 2500 para levar 20000 litros de xarope. O preço por litro é
[tex] \frac{2\ 500}{20\ 000} = 0,125\ reais [tex]
O gasto dele com produção + transporte é igual a:
[tex] 1,60 + 0,125 = 1,725\ reais [tex]
Como ele quer o lucro de 0,25 reais por litro, é só somar esses 0,25 aos 1,725 = 1,975 reais.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Uma família possui um terreno retangular com 18 metros de largura e 24 metros de comprimento. Foi necessário demarcar nesse terreno dois outros iguais, na forma de triângulos isósceles, sendo que um deles será para o filho e o outro para os pais.
Além disso, foi demarcada uma área de passeio entre os dois novos terrenos para o livre acesso das pessoas.
Os terrenos e a área de passeio são representados na figura.
A área de passeio calculada pela família, em metro quadrado, é de
Cálculo da área do retângulo:
[tex] A = 24 \cdot 18 = 432\ m^{2} [tex]
Agora, a área do triângulo isósceles:
[tex] A = \frac{b\ \cdot\ h}{2} = \frac{18\ \cdot\ 18}{2} = 18 \cdot 9 = 162\ m^{2} [tex]
Por último, a área do passeio é igual a :
[tex] A_{(passeio)} = A_{(retângulo)} -\ 2 \cdot A_{(triângulo)} [tex]
[tex] A_{(passeio)} = 432 -\ 2 \cdot 162 [tex]
[tex] A_{(passeio)} = 432 -\ 324 [tex]
[tex] A_{(passeio)} = 108\ m^{2} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um reservatório de água com capacidade para 20 mil litros encontra-se com 5 mil litros de água num instante inicial (t) igual a zero, em que são abertas duas torneiras. A primeira delas é a única maneira pela qual a água entra no reservatório, e ela despeja 10 L de água por minuto; a segunda é a única maneira de a água sair do reservatório. A razão entre a quantidade de água que entra e a que sai, nessa ordem, é igual a [tex]\frac{5}{4} [tex].
Considere que Q(t) seja a expressão que indica o volume de água, em litro, contido no reservatório no instante t, dado em minuto, com t variando de 0 a 7 500.
A expressão algébrica para Q(t) é
Sabemos que entra 10 litros de água por minuto e que a razão entre o volume de água que e o que sai é igual a [tex]\frac{5}{4} [tex].
Se x é a quantidade de água que sai:
[tex] \frac{10}{x} = \frac{5}{4} [tex]
[tex] 5x = 40[tex]
[tex] x = 8 [tex]
Se entram 10 litros por minuto, mas saem 8, então, o reservatório enche 2 litros por minuto.
Logo, ele terá 5000 + 2t litros após t minutos.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um projeto para incentivar a reciclagem de lixo de um condomínio conta com a participação de um grupo de moradores, entre crianças, adolescentes e adultos, conforme dados do quadro.
Uma pessoa desse grupo foi escolhida aleatoriamente para falar do projeto. Sabe-se que a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma criança é igual a dois terços.
Diante disso, o número de crianças que participa desse
Note que a probabilidade de ser criança é de:
[tex] P(C) = \frac{2}{3} [tex]
Com os dados da tabela então podemos calcular essa probabilidade em função de x .
Sendo x os casos favoráveis e o conjunto universo o total (x+5+10) , portanto:
[tex] P(C) = \frac{x}{x\ +\ 5\ +\ 10} = \frac{2}{3} [tex]
[tex] 3x = 2(x + 15) [tex]
[tex] 3x = 2x + 30 [tex]
[tex] 3x - 2x = 30 [tex]
[tex] x = 30 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um estudante elaborou uma planta baixa de sua sala de aula. A sala, com forma de retângulo, tem lados medindo 9 m e 5,5 m. No desenho feito pelo estudante, os lados da figura mediam 18 cm e 11 cm.
A fração que representa a razão entre as medidas dos lados da figura desenhada e as medidas dos lados do retângulo que representa a sala original é
Razão é:
[tex] Razão_{(comprimento)} = \frac{18\ cm}{9\ m} = \frac{18\ cm}{900\ cm} [tex]
[tex] = \frac{18}{18\ \cdot\ 50} = \frac{1}{50} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um andarilho subiu uma montanha por uma trilha sinuosa. Essa trilha possui 100 metros de trechos íngremes e 1 400 metros de trechos suaves. Um escalador subiu essa mesma montanha por uma via de escalada vertical de 400 metros e uma trilha de trecho suave de 100 metros.
A razão entre a distância de subida da montanha do escalador em relação à do andarilho é
É necessário ver quanto cada um andou, depois é dividir o valor do deslocamento do escalador pelo do andarilho.
Andarilho: 100 m + 1 400 m = 1 500 m
Escalador: 400 m + 100 m = 500 m
[tex] Razão = \frac{500}{1500} = \frac{1}{3} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Com o objetivo de reformar os tambores cilíndricos de uma escola de samba, um alegorista decidiu colar adereços plásticos na forma de losango, como ilustrado na Figura 1, nas faces laterais dos tambores. Nesta colagem, os vértices opostos P e Q do adereço deverão pertencer às circunferências do topo e da base do tambor cilíndrico, respectivamente, e os vértices opostos R e S deverão coincidir após a colagem do adereço no tambor, conforme ilustra a Figura 2. Considere que o diâmetro do cilindro correspondente ao tambor meça 0,4 metro. Utilize 3,1 como aproximação para π.
A diagonal RS do adereço a ser confeccionado pelo alegorista deve medir, em metro,
A diagonal RS é:
[tex] C = π \cdot D [tex]
[tex] C = 3,1 \cdot 0,4 [tex]
[tex] C = 1,24 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Atualmente, a massa de uma mulher é 100 kg. Ela deseja diminuir, a cada mês, 3% da massa que possuía no mês anterior. Suponha que ela cumpra sua meta.
A sua massa, em quilograma, daqui a dois meses será
1° mês:
100 kg ∙ (100% – 3%) = 100 kg ∙ 97% = 100 ∙ 0,97 = 97 kg
2° mês:
97 kg ∙ (100% – 3%) = 97 kg ∙ 97% = 97 ∙ 0,97 = 94,09 kg
Logo, opção C.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Medir distâncias sempre foi uma necessidade da humanidade. Ao longo do tempo fez-se necessária a criação de unidades de medidas que pudessem representar tais distâncias, como, por exemplo, o metro.
Uma unidade de comprimento pouco conhecida é a Unidade Astronômica (UA), utilizada para descrever, por exemplo, distâncias entre corpos celestes. Por definição, 1 UA equivale à distância entre a Terra e o Sol, que em notação científica é dada por 1,496 × 10² milhões de quilômetros.
Na mesma forma de representação, 1 UA, em metro, equivale a
Expressando esse número em metros:
[tex] 1,496 × 10^{2} [tex] milhões de quilômetros.
[tex]1,496 × 10^{2} × 10^{6} × 10^{3} [tex]
[tex]1,496 × 10^{11} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Foi utilizado o plano cartesiano para a representação de um pavimento de lojas. A loja A está localizada no ponto A(1; 2). No ponto médio entre a loja A e a loja B está o sanitário S, localizado no ponto S (5; 10).
Determine as coordenadas do ponto de localização da loja B.
Dados:
S = (5, 10)
A = (1, 2)
B = (x, y)
Vamos encontrar as coordenadas do ponto B.
[tex] x_{S} = \frac{x_{A}\ +\ x_{B}}{2} [tex]
[tex] 5 = \frac{1\ +\ x}{2} [tex]
[tex] x = 9 [tex]
e
[tex] y_{S} = \frac{y_{A}\ +\ y_{B}}{2} [tex]
[tex] 10 = \frac{2\ +\ y}{2} [tex]
[tex] y = 18 [tex]
Logo, opção D.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um modelo de automóvel tem seu valor depreciado em função do tempo de uso segundo a função [tex] f(n) = b \cdot a^{n}[tex], com n em ano. Essa função está representada no gráfico.
Qual será o valor desse automóvel, em real, ao completar dois anos de uso?
Cálculo da constante "b".
[tex] f(n) = b \cdot a^{n}[tex]
[tex] 60\ 000 = b \cdot a^{0} [tex]
[tex] 60\ 000 = b \cdot 1 [tex]
[tex] b = 60\ 000 [tex]
Cálculo da constante "a".
[tex] f(n) = b \cdot a^{n}[tex]
[tex] 54\ 000 = 60\ 000 \cdot a^{1}[tex]
[tex] 54\ 000 = 60\ 000 \cdot a [tex]
[tex] a = \frac{54000}{60000} [tex]
[tex] a = \frac{9}{10} [tex]
[tex] a = 0,9 [tex]
Agora, encontrar o valor do automóvel em dois anos.
[tex] f(n) = b \cdot a^{n}[tex]
[tex] f(2) = 60\ 000 \cdot 0,9^{2}[tex]
[tex] f(2) = 60\ 000 \cdot 0,81[tex]
[tex] f(2) = 48\ 600 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Na bula de um analgésico, encontra-se o quadro com a dosagem desse remédio, de acordo com a massa corporal do paciente.
Estão relacionados alguns pacientes e suas respectivas massas corporais, quantidade de gotas por dose e quantidade de vezes que tomaram o remédio em um determinado dia:
Paciente I: 16 kg, 15 gotas, 5 vezes ao dia.
Paciente II: 24 kg, 80 gotas, uma vez ao dia.
Paciente III: 40 kg, 45 gotas, 2 vezes ao dia.
Paciente IV: 46 kg, 15 gotas, 3 vezes ao dia.
Paciente V: 60 kg, 60 gotas, uma vez ao dia.
Qual paciente tomou o remédio de acordo com a bula, levando em consideração a relação de dependência entre a massa corporal, quantidade de gotas por dose e dosagem máxima diária?
Calculando a razão para cada paciente:
Paciente I: 15 gotas × 5 = 75 gotas em dia (não)
Paciente II: 80 gotas (não), pode somente 8 a 20 gotas por dia
Paciente III: 45 gotas (não), pode somente 10 a 30 gotas por dia.
Paciente IV: Ok
Paciente V: 60 gotas (não), pode somente de 20 a 40 gotas por dia.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Para incentivar a reciclagem e evitar lixo espalhado durante as festas de final de ano, a prefeitura de uma cidade fez uma campanha com sorteio de prêmios.
Para participar do sorteio, era necessário entregar cinco latinhas de alumínio ou três garrafas de vidro vazias para ter direito a um cupom. Um grupo de estudantes de uma escola trocou suas latinhas e garrafas de vidro e com isso adquiriram dez cupons; outro grupo trocou o triplo das garrafas e a mesma quantia de latinhas do primeiro grupo, conseguindo vinte cupons.
Quantas garrafas de vidro e quantas latinhas, respectivamente, o segundo grupo trocou?
Equacionando o problema:
L = latinhas
v = garrafas de vidro
[tex] \begin{cases} \frac{L}{5}+ \frac{v}{3} = 10 (I) \\ \frac{L}{5} + v = 20 (II) \end{cases} [tex]
Subtraindo as equações (II) – (I).
[tex] \frac{L}{5} +\ v\ -\ \frac{L}{5} -\ \frac{v}{3} = 20 - 10 [tex]
[tex] v\ -\ \frac{v}{3} = 10 [tex]
[tex] \frac{2v}{3} = 10 [tex]
[tex] 2v = 30 [tex]
[tex] v = 15 [tex]
Portanto, 2 grupos = 15 × 3 = 45
e,
[tex] \frac{L}{5} + v = 20 [tex]
[tex] \frac{L}{5} + 15 = 20 [tex]
[tex] \frac{L}{5} = 20 - 15 [tex]
[tex] \frac{L}{5} = 5 [tex]
[tex] L = 25 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um atacadista compra de uma fábrica um produto por R$ 10,00 e repassa às lojas por um preço 50% superior. Para obterem um lucro suficiente com o produto, os lojistas fazem a revenda com acréscimo de preço de 100% do valor pelo qual compraram.
Qual é o preço final, em real, de um produto que passou pelas três etapas listadas?
Veja que:
10 ∙ (1 + 50%) ∙ (1 + 100%) =
10 ∙ (1 + 0,5) ∙ (1 + 1) =
10 ∙ 1,5 ∙ 2 =
10 ∙ 1,5 ∙ 2 =
30
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
O Código de Endereçamento Postal (CEP) é um código numérico constituído por oito algarismos. Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o tratamento e a distribuição de objetos postados nos Correios. Ele está estruturado segundo o sistema métrico decimal, sendo que cada um dos algarismos que o compõe codifica região, sub-região, setor, subsetor, divisão de subsetor e identificadores de distribuição, conforme apresenta a ilustração.
O Brasil encontra-se dividido em dez regiões em dez sub-regiões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez setores. Cada setor, dividido em dez subsetores. Por fim, cada subsetor foi dividido em dez divisores de subsetor. Além disso, sabe-se que os três últimos algarismos após o hífen são denominados de sufixos e destinam-se à identificação individual de localidades, logradouros, códigos especiais e unidades dos Correios.
A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros brasileiros inicia em 000 e termina em 899.
Disponível em: www.correios.com.br. Acesso em: 22 ago. 2014 (adaptado).
Quantos CEPs podem ser formados para a codificação de logradouros no Brasil?
___ ___ ___ ___ ___ – ___ ___ ___
10 10 10 10 10 9 10 10
Logo, temos:
[tex] 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 9 × 10 × 10 = 9 × 10^{7} [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um paciente recebeu uma prescrição médica para tomar um antibiótico 3 vezes a cada 24 horas, em intervalos de tempo iguais. O primeiro comprimido foi ingerido às 15 h.
Esse paciente deverá tomar o próximo comprimido às
O paciente deverá tomar o medicamento em:
[tex] \frac{24}{3} [tex] = 8 (8 horas em 8 horas)
Sendo assim,
15h + 8 h = 23h
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Um laboratório está desenvolvendo um teste rápido para detectar a presença de determinado vírus na saliva. Para conhecer a acurácia do teste é necessário avaliá-lo em indivíduos sabidamente doentes e nos sadios. A acurácia de um teste é dada pela capacidade de reconhecer os verdadeiros positivos (presença de vírus) e os verdadeiros negativos (ausência de vírus).
A probabilidade de o teste reconhecer os verdadeiros negativos é denominada especificidade, definida pela probabilidade de o teste resultar negativo, dado que o indivíduo é sadio. O laboratório realizou um estudo com 150 indivíduos e os resultados estão no quadro.
Considerando os resultados apresentados no quadro, a especificidade do teste da saliva tem valor igual a
A questão pede a especificidade do teste da saliva, durante o texto ele diz que especificidade trata-se dos que o resultado dá negativo e que o indivíduo seja sadio.
Logo, vê-se que o Espaço Amostral é o total de sadios, 90, e o evento seriam os negativos sadios, 80.
Sendo assim,
[tex] P = \frac{80}{90} [tex]
[tex] P = 0,8888888... [tex]
[tex] P ≈ 0,89 [tex]
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Atualmente, muitas pessoas procuram realizar uma dieta mais saudável. Um dos principais objetivos é a redução do consumo calórico.
O gráfico fornece o valor energético, em kcal, em função do volume da porção, em mL, para cinco diferentes tipos de bebidas: A, B, C, D e E.
Entre esses cinco tipos de bebidas, qual deles deve ser escolhido por uma pessoa que deseja reduzir o seu consumo calórico?
Calcular a razão entre o valor energético e a porção de cada bebida:
[tex] Bebida\ A = \frac{40}{50} = 0,8 [tex]
[tex] Bebida\ B = \frac{30}{100} = 0,3 [tex]
[tex] Bebida\ C = \frac{150}{150} = 1 [tex]
[tex] Bebida\ D = \frac{60}{300} = 0,2 [tex]
[tex] Bebida\ E = \frac{150}{400} = 0,375 [tex]
Logo, deverá ser escolhido a bebida D.
(ENEM 2017 - 3ª Aplicação).
Para determinar a ordem de largada numa corrida de automóveis, dez pilotos participarão de um treino classificatório no dia anterior à corrida. Pelo regulamento, para cada piloto, faz-se a tomada de tempo em três voltas no circuito, e a primeira posição no grid de largada pertencerá àquele piloto que obtiver a menor média desses três tempos. Nove pilotos já terminaram as voltas classificatórias no circuito, e o piloto X ainda vai realizar sua última volta. Os dados e a média de cada piloto estão na tabela.
Qual o tempo, em minuto, a ser batido pelo último piloto, na terceira volta, que lhe garanta a primeira posição no grid de largada?
[tex] Média < \frac{\Sigma\ n}{n} [tex]
[tex] 1,49 < \frac{1,57\ +\ 1,50\ +\ x}{3} [tex]
[tex] 4,47 < 3,07\ +\ x [tex]
[tex] 4,47 - 3,07 < x [tex]
[tex] x > 1,40 [tex]
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