Quando um número natural na
base 10 é divisivel por 2?
Sabemos que um número é divisível por 2 quando ele termina em 0, 2, 4,
6 ou 8. Mas, o que garante isso?
Vamos ver numa forma mais elaborada uma prova do critério de
divisibilidade por 2.
Primeiro vamos expressar alguns números na base 10. Veja alguns
exemplos abaixo:
25 = 2 x 101 + 5 x 100
170 = 1 x 102 + 7 x 101 + 0 x 100
12503 = 1 x 104 + 2 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100
25 = 2 x 101 + 5 x 100
170 = 1 x 102 + 7 x 101 + 0 x 100
12503 = 1 x 104 + 2 x 103 + 5 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100
E assim por
diante.
Agora, veja uma prova para qualquer
número na base 10 quando é divisível por 2.
“Um número natural W é divisível por 2 se, e
só se, na sua representação na base 10, seu algarismo das unidades é divisível
por 2. Ou seja, um número W é divisível por 2 se, e somente se, na sua
representação na base 10, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.”
De fato, vamos representar W na base por:
W = cn10n
+ cn-110n-1 +...+ c3103 + c2102
+ c110 + c0
(Suponha o número W = 256 = 2 x 102 + 5 x 101
+ 6 x 100 ==> c2
= 2; c1 = 5 e c0 = 6)
com cn,
cn-1, ..., c3, c2, c1, c0 inteiros não negativos, todos menores do
que 10 e c0 sendo o dígito da
unidades.
Se W é divisível por 2, então, explicitamos
o valor de c0 como sendo:
c0
= W – (cn10n + cn-110n-1
+...+ c3103 + c2102 + c110)
(Para o exemplo, W = 256, temos: 6 = 256 - 250)
Agora, observe que o número natural,
(cn10n
+ cn-110n-1 +...+ c3103 + c2102
+ c110)
é divisível por 2
porque é uma soma de números pares.
(Veja que: 250 = 2 x 102 + 5 x 101)
Logo,
c0 é divisível por 2, como diferença
de dois números divisíveis por 2.
(c0 = 6 = 256 - 250)
Se c0
é divisível por 2, nesse caso,
W = cn10n
+ cn-110n-1 +...+ c3103 + c2102
+ c110 + c0
é divisível por
2, pois é uma soma finita de números divisíveis por 2.
Assim,
todo número que terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 são divisíveis por 2.
Fonte: Regras de
divisibilidade
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