(MEC-CAED - ADF).
Uma fábrica de objetos de decoração criou miniaturas de globos terrestres que serão posicionadas no interior de cubos transparentes constituídos de acrílico. Observe a ilustração de uma dessas miniaturas, apresentada na figura abaixo.
/img1_quiz12_mat_2serie.png)
(Considere: [tex]π = 3[tex]).
Cada globo tem o formato de uma esfera maciça cujo raio mede 2 cm, e cada cubo possui volume interno de [tex]66\ cm^{3}[tex]. O fabricante pretende preencher todo o espaço interno do cubo que não é ocupado pelo globo utilizando uma resina líquida.
Quantos centímetros cúbicos dessa resina serão necessários para preencher esse espaço interno do cubo de acrílico que não é ocupado pelo globo?
Primeiro, calcular o volume da esfera:
[tex]V_{(esfera)} = \frac{4\ \cdot\ π\ \cdot\ R^{3}}{3} [tex]
[tex]V_{(esfera)} = \frac{4\ \cdot\ 3\ \cdot\ 2^{3}}{3} [tex]
[tex]V_{(esfera)} = \frac{4\ \cdot\ \color{Red}{3}\ \cdot\ 2^{3}}{\color{Red}{3}} [tex]
[tex]V_{(esfera)} = 4\ \cdot\ 8\ = 32 [tex]
Agora, encontrar o volume da resina líquida sabendo que o volume interno do cubo é [tex]66\ cm^{3}[tex]:
[tex]V_{(resina)} = V_{(cubo)} - V_{(esfera)} [tex]
[tex]V_{(resina)} = 66 - 32 [tex]
[tex]V_{(resina)} = 34\ cm^{3} [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe a figura representada na malha quadriculada abaixo.
/img2_quiz12_mat_2serie.png)
Essa figura será rotacionada 90° no sentido horário em relação ao ponto P.
A posição dessa figura na malha quadriculada, após a rotação, está indicada em
Após uma rotação de 90° no sentido horário na figura em relação ao ponto P, obtemos a figura da A.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Antônio irá montar um escorregador para suas filhas, que será acoplado em uma cama-beliche. Observe, na figura abaixo, um esboço desse escorregador com algumas medidas indicadas.
/img8_quiz12_mat_2serie.png)
Para a montagem desse escorregador, Antônio irá encomendar, em uma serraria, uma tábua com proteções nas laterais, que irá ocupar a posição indicada na figura e terá o custo de R$ 80,00 por metro linear.
Qual é o valor, em reais, que Antônio deverá pagar por essa tábua?
Primeiro encontrar o comprimento da tábua.
[tex]cos\ 36° = \frac{cateto\ adjacente}{hipotenusa} [tex]
[tex]0,8 = \frac{2}{Comp.\ Tábua} [tex]
[tex]Comp.\ Tábua = \frac{2}{0,8} [tex]
[tex]Comp.\ Tábua = 2,5\ metros [tex]
Como cada metro da tábua custa R$ 80,00. Logo:
[tex]= 2,5 \cdot R \$\ 80,00 [tex]
[tex]= R \$\ 200,00 [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
/img9_quiz12_mat_2serie.png)
/img15_quiz12_mat_2serie.png)
(MEC-CAED - ADF).
Fernanda construiu uma ampulheta a partir de dois recipientes cônicos idênticos que foram conectados. A quantidade de areia utilizada na ampulheta corresponde ao volume de um dos cones e são transferidos [tex]2\ cm^{3}[tex] de areia do cone superior para o cone inferior a cada segundo. Observe, na figura abaixo, um esboço dessa ampulheta com as medidas do raio da base e da altura do cone inferior indicadas.
/img16_quiz12_mat_2serie.png)
(Considere: [tex]π = 3[tex]).
Fernanda deseja determinar o tempo decorrido desde o instante em que o cone superior estava completamente cheio até o momento em que o cone inferior ficará completamente cheio.
Esse tempo que Fernanda deseja determinar, em segundos, corresponde a
Primeiro encontrar o volume de um cone (quantidade de areia).
[tex]V_{(cone)} = \frac{π\ \cdot\ R^{2}\ \cdot h}{3} [tex]
[tex]V_{(cone)} = \frac{3\ \cdot\ 6^{2}\ \cdot 12}{3} [tex]
[tex]V_{(cone)} = \frac{\color{Red}{3}\ \cdot\ 36\ \cdot\ 12}{\color{Red}{3}} [tex]
[tex]V_{(cone)} = 36 \cdot 12 = 432\ cm^{3} [tex]
Agora, encontrar o tempo que Fernanda deseja determinar:
[tex]Tempo = \frac{432\ cm^{3}}{2\ cm^{3}/s} [tex]
[tex]Tempo = 216\ s [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Juliano é responsável por monitorar a velocidade média de transferência de arquivos em uma rede. Essa velocidade média é dada pela razão entre o tamanho dos arquivos transferidos, em megabits (Mb), e o tempo decorrido na transferência, em segundos (s). Em um primeiro teste, ele verificou que foram transferidos 60 Mb de arquivos a uma velocidade média de 5 Mb/s. Para confirmar a estabilidade da rede, Juliano fará uma nova transferência de arquivos com 20 segundos de duração a mais que a do primeiro teste.
Nessas condições, quantos segundos deverá durar essa nova transferência de arquivos?
Como a velocidade média é a razão entre o tamanho dos arquivos transferidos, em megabits (mb), e o tempo decorrido na transferência, em segundos (s). Então, o tempo decorrido:
[tex]V_{(m)} = \frac{Arquivo\ (mb)}{Tempo\ (s)} [tex]
[tex]5 = \frac{60}{Tempo(s)} [tex]
[tex]Tempo(s) = \frac{60}{5} [tex]
[tex]Tempo(s) = 12\ segundos [tex]
Como a duração da transferência de arquivos do segundo teste terá 20 segundos a mais de duração que a primeira, Logo:
[tex]12s + 20s = 32s [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
O plano cartesiano abaixo contém uma figura que foi transladada 4 unidades no sentido positivo do eixo x.
/img17_quiz12_mat_2serie.png)
Qual é o plano cartesiano que contém essa figura na posição que ela ocupava antes dessa translação?
O plano cartesiano que contém essa figura na posição que ela ocupava antes dessa translação é o "D".
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Uma indústria fabrica esferas maciças de metal, com diâmetro de [tex]2\ cm[tex], para utilizar em rolamentos. Uma barra com [tex]836\ cm^{3}[tex] de metal será derretida e utilizada na fabricação desse tipo de esfera.
(Considere: [tex]π = 3[tex]).
Quantas dessas esferas, no máximo, podem ser produzidas a partir dessa barra de metal?
Primeiro encontrar o volume de uma esfera, sabendo que o raio (r = 1):
[tex] V = \frac{4\ \cdot\ π\ \cdot\ R^{3}}{3} [tex]
[tex] V = \frac{4\ \cdot\ \color{Red}{3}\ \cdot\ 1^{3}}{\color{Red}{3}} [tex]
[tex] V = 4\ cm^{3} [tex]
Agora, para obter a quantidade de esferas que podem ser fabricadas a partir dessa barra, deve-se dividir o volume da barra pelo volume de cada esfera. Logo:
[tex]= \frac{Volume-barra}{Volume-esfera} [tex]
[tex]= \frac{836\ cm^3}{4\ cm^3} [tex]
[tex]= 209\ esferas [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe, na figura abaixo, um esboço da planta de um salão que terá o solo revestido com piso de cerâmica.
/img23_quiz12_mat_2serie.png)
Além do revestimento do solo, será instalado um rodapé na borda inferior das paredes. Para fazer esse rodapé, serão necessários [tex]0,1\ m^{2}[tex] de piso de cerâmica para cada metro linear do perímetro desse salão, devendo ser desconsiderada a linha tracejada, que indica o local reservado para a instalação de uma porta.
Nessas condições, serão utilizados, no mínimo, quantos metros quadrados de piso de cerâmica para a realização desses dois serviços?
Primeiro determinar a área do terreno:
[tex]A = \frac{(B\ +\ b)\ \cdot\ h}{2} [tex]
[tex]A = \frac{(11\ +\ 6)\ \cdot\ 12}{2} [tex]
[tex]A = \frac{(11\ +\ 6)\ \cdot\ \color{Red}{12}}{\color{Red}{2}} [tex]
[tex]A = 17 \cdot 6 [tex]
[tex]A = 102\ m^{2} [tex]
Em seguida, calcular o perímetro do salão, desconsiderando a região da porta.
[tex]P = (10 + 6 + 13 + 11)\ m[tex]
[tex]P = 40\ m[tex]
Como toda a área do piso será revestida nas laterais, serão gastos [tex]0,1\ m^{2}[tex] de piso a cada metro desse perímetro.
[tex] = 102 + 40 \cdot 0,1[tex]
[tex] = 102 + 4[tex]
[tex] = 106\ m^{2}[tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe a figura apresentada na malha quadriculada abaixo.
/img24_quiz12_mat_2serie.png)
Essa figura será rotacionada 180° no sentido horário em relação ao ponto P.
A posição dessa figura na malha quadriculada, após a rotação, está indicada em
A posição dessa figura na malha quadriculada, após a rotação, está indicada em na figura "E"
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
O engenheiro responsável pelo projeto de ampliação de uma linha subterrânea de metrô precisa determinar a quantidade de concreto necessário para a construção de uma estrutura que é composta por duas estações e um túnel que as interliga. Observe, na figura abaixo, um esboço desse projeto, onde há a ilustração de dois cubos iguais que correspondem às estações, um cilindro reto, com 6 m de diâmetro, que corresponde ao túnel e dois círculos iguais, coloridos de cinza, que representam as outras entradas para essas estações.
/img30_quiz12_mat_2serie.png)
Para a construção desta estrutura, será utilizado 0,5 metro cúbico de concreto a cada metro quadrado de sua superfície.
Considere: [tex]π = 3[tex].
Qual é a quantidade mínima de concreto, em metros cúbicos, que será utilizada na construção dessa estrutura?
• Cálculo da área dos dois cubos:
[tex] = 2 \cdot A_{(cubo)}[tex]
[tex] = 2 \cdot (16 \cdot 16 \cdot 6)[tex]
[tex] = 2 \cdot 1\ 536 = 3\ 072\ m^{2}[tex]
• Cálculo da área das bases do cilindro:
[tex] = 4 \cdot A_{(base\ cilindro)}[tex]
[tex] = 4 \cdot πR^{2}[tex]
[tex] = 4 \cdot 3 \cdot 3^{2}[tex]
[tex] = 12 \cdot 9[tex]
[tex] = 108\ m^{2}[tex]
• Cálculo da área da superfície lateral do cilindro:
[tex] = 2πR \cdot h[tex]
[tex] = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (1\ 500\ -\ 32)[tex]
[tex] = 18 \cdot 1\ 468[tex]
[tex] = 26\ 424\ m^{2}[tex]
• Cálculo da área total da superfície:
[tex] = 3\ 072 + 26\ 424 - 108[tex]
[tex] = 29\ 388\ m^{2}[tex]
Portanto, serão necessários [tex]0,5\ × 29\ 388 = 14\ 694\ m^{3}[tex] de concreto para contenção da estrutura entre essas duas estações.
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Fernanda, Gabriel e Marcela compraram alguns bombons em uma mesma loja. Nessa loja, todos os bombons de mesmo sabor são vendidos por um mesmo preço. Fernanda comprou dois bombons de coco, dois de morango e um de brigadeiro, e gastou R$ 20,00 com essa compra. Gabriel comprou quatro bombons, sendo três de morango e um de brigadeiro, gastando R$ 17,00 ao todo. Marcela comprou dois bombons de morango e um a mais de brigadeiro do que a quantidade que Gabriel comprou desse sabor, gastando um total de R$ 18,00.
Qual foi o valor, em reais, que Fernanda pagou pelos bombons de coco que comprou nessa loja?
Equacionando o problema: denominaremos os preços de cada produto de [tex]c = bombons\ de\ coco[tex], [tex]m = morango[tex] e [tex]b = brigadeiro[tex].
Fernanda: [tex] 2c + 2m + b = 20[tex]
Gabriel: [tex] 3m + b = 17[tex]
Marcela: [tex] 2m + 2b = 18[tex]
Logo:
[tex] \begin{cases} 2c + 2m + b = 20 (I)\\ 3m + b = 17 (II)\\ 2m + 2b = 18 (III) \end{cases} [tex]
Multiplicando a equação (II) por ([tex]-2[tex]) e somando com a equação (III):
[tex] \underline{ \begin{cases} -\ 6m - 2b = -\ 34 \\ 2m + 2b = 18 \\ \end{cases}} [tex]
[tex] -\ 4m = - 16 [tex]
[tex] m = R \$\ 4,00[tex]
Agora, encontrar o preço do bombons substuindo na equação (II).
[tex] 3m + b = 17 [tex]
[tex] 3 \cdot 4 + b = 17 [tex]
[tex]12 + b = 17 [tex]
[tex] b = 17 - 12 [tex]
[tex] b = R \$\ 5,00 [tex]
Por último, encontrar o preço do bombons de coco substuindo na equação (I).
[tex] 2c + 2m + b = 20 [tex]
[tex] 2c + 2 \cdot 4 + 5 = 20 [tex]
[tex] 2c + 8 + 5 = 20 [tex]
[tex] 2c = 20 - 13 [tex]
[tex] 2c = 7 [tex]
[tex] c = R \$\ 3,50 [tex]
Logo, Fernanda pagou pelos dois bombons de coco:
[tex] = 2 \cdot R \$\ 3,50 [tex]
[tex] = R \$\ 7,00 [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
