(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Pretende-se construir um mosaico com o formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças, sendo duas delas triângulos retângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles. A figura apresenta cinco mosaicos formados por três peças.
Na figura, o mosaico que tem as caracterizas daquele que se pretende construir é o
A única opção que tem dois triângulos retângulos congruentes (I e II) e um triângulo isósceles (III) é a alternativa "B".
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma caixa contém uma cédula de R$ 5,00, uma de R$ 20,00 e duas de R$ 50,00 de modelos diferentes. Retira-se aleatoriamente uma cédula dessa caixa, anota-se o seu valor e devolve-se a cédula à caixa. Em seguida, repete-se o procedimento anterior.
A probabilidade de que a soma dos valores anotados seja pelo menos igual a R$ 55,00 é
Observe o esquema a seguir:
Os pontos assinalados com x correspondem ás somas maiores ou iguais a R$ 55,00. A probabilidade pedida é, portanto:
[tex] P = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma empresa registrou seu desempenho em determinado ano por meio do gráfico, com dados mensais do total de vendas e despesas.
O lucro mensal é obtido pela subtração entre o total de vendas e despesas, nesta ordem.
Quais os três meses do ano em que foram registrados os maiores lucros?
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um casal, ambos com 30 anos de idade, pretende fazer um plano de previdência privada. A seguradora pesquisada, para definir o valor do recolhimento mensal, estima a probabilidade de que pelo menos um deles esteja vivo daqui a 50 anos, tomando por base dados da população, que indicam que 20% dos homens e 30% das mulheres de hoje alcançarão a idade de 80 anos.
Qual é essa probabilidade?
Considere:
[tex]H_{V}[tex]: homem viver
[tex]M_{V}[tex]: mulher viver
[tex]H_{m}[tex]: homem morrer
[tex]M_{m}[tex]: mulher morrer
[tex] P = P(H_{V}\ e\ M_{V}) + P(H_{V}\ e\ M_{m}) + P(H_{m}\ e\ M_{V}) [tex]
[tex] P = \frac{20}{100} \cdot \frac{30}{100} + \frac{20}{100} \cdot \frac{70}{100} + \frac{80}{100} \cdot \frac{30}{100} [tex]
[tex] P = \frac{600}{10\ 000} + \frac{1\ 400}{10\ 000} + \frac{2\ 400}{10\ 000} [tex]
[tex] P = \frac{4\ 400}{10\ 000} = \frac{44}{100} = 44 \% [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Para que o pouso de um avião seja autorizado em um aeroporto, a aeronave deve satisfazer, necessariamente, as seguintes condições de segurança:
I. a envergadura da aeronave (maior distância entre as pontas das asas do avião) deve ser, no máximo, igual à medida da largura da pista;
II. o comprimento da aeronave deve ser inferior a 60 m;
III. a carga máxima (soma das massas da aeronave e sua carga) não pode exceder 110 t.
Suponha que a maior pista desse aeroporto tenha 0,045 km de largura, e que os modelos de aviões utilizados pelas empresas aéreas, que utilizam esse aeroporto, sejam dados pela tabela.
Os únicos aviões aptos a pousar nesse aeroporto, de acordo com as regras de segurança, são os de modelos
Pelas condições do problema, temos:
• Pela condição "carga máxima", não pode ser "C" e nem "E".
• Pelo "comprimento", não pode ser "D".
Assim, restam "A" e "B".
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3 s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s.
O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1 s.
Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60 s.
Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente.
Qual é o termo geral da sequência anotada?
Observe que:
i. Os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2s.
ii. Os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3s.
iii. Os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4s.
Observe que o mmc de 2, 3 e 4 é igual a 12. Logo, todos os alunos deveriam bater palmas juntos a cada 12s. Daí, temos a sequência:
1s, 13s, 25s, 37s e 49s
Logo, o termo geral da sequência (P.A) de razão 12 e primeiro termo 1 ([tex]a_{1} = 1[tex]), é:
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 12 [tex]
com [tex] n\in \mathbb{N} [tex] , tal que 1 ≤ n ≤ 5.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
A tabela apresenta parte do resultado de um espermograma (exame que analisa as condições físicas e composição do sêmen humano).
Para analisar o exame, deve-se comparar os resultados obtidos em diferentes datas com o valor padrão de cada característica avaliada.
O paciente obteve um resultado dentro dos padrões no exame realizado no dia
Para inferirmos a data em que o resultado está dentro dos padrões, basta compararmos os critérios, por data, com a coluna-padrão. Dessa forma,
O exame do dia 30/11/2009: é considerado fora do padrão por dois critérios (espermatozoide e leucócito);
O exame do dia 23/03/2010: é considerado fora do padrão por um critério (hemácia);
O exame do dia 09/08/2011: é considerado fora do padrão por dois critérios (pH e espermatozoide);
O exame do dia 06/03/2012: é considerado fora do padrão por quase todos os critérios, exceto hemácia.
Portanto, o exame procurado é o do dia 23/08/2011.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função [tex] y(t) = a^{t - 1}[tex], na qual y representa a altura da planta em metro, [tex]n[tex] é considerado em ano, e [tex]a[tex] é uma constante maior que 1. O gráfico representa a função y.
Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio. O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a
Cálculo da constante "[tex]a[tex]".
[tex] y(t) = a^{t - 1}[tex]
[tex] y(6) = a^{6 - 1}[tex]
[tex] 32 = a^{5}[tex]
[tex] 2^{5} = a^{5} [tex]
Logo, [tex]a = 2[tex]
Como crescem 7,5 m após o plantio e a altura inicial é de 0,5m, a altura no momento de corte será de 8m.
[tex] 8 = 2^{t - 1}[tex]
[tex] 2^{3} = 2^{t - 1}[tex]
Logo, [tex]t = 3 + 1 = 4 [tex] anos
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Alguns equipamentos eletrônicos podem “queimar” durante o funcionamento quando sua temperatura interna atinge um valor máximo TM . Para maior durabilidade dos seus produtos, a indústria de eletrônicos conecta sensores de temperatura a esses equipamentos, os quais acionam um sistema de resfriamento interno, ligando-o quando a temperatura do eletrônico ultrapassa um nível crítico TC , e desligando-o somente quando a temperatura cai para valores inferiores a Tm . O gráfico ilustra a oscilação da temperatura interna de um aparelho eletrônico durante as seis primeiras horas de funcionamento, mostrando que seu sistema de resfriamento interno foi acionado algumas vezes.
Quantas foram as vezes que o sensor de temperatura acionou o sistema, ligando-o ou desligando-o?
Basta observar que o sistema foi ligado 3 vezes (número de pontos do gráfico, onde a temperatura se eleva acima de [tex]T_{c}[tex]) e desligado 2 vezes (número de pontos onde a temperatura fica abaixo de [tex]T_{m}[tex]). Logo, chegamos à conclusão de que o número de vezes em que o sensor acionou o sistema, ligando-o ou desligando-o, foi de 5.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes.
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu?
Situação 01: Considerando os círculos A e C iguais.
Situação 02: Considerando os círculos A e C diferentes.
Portanto, o total de maneiras é:
12 + 6 = 18 maneiras
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
A diretoria de uma empresa de alimentos resolve apresentar para seus acionistas uma proposta de novo produto. Nessa reunião, foram apresentadas as notas médias dadas por um grupo de consumidores que experimentaram o novo produto e dois produtos similares concorrentes (A e B).
A característica que dá a maior vantagem relativa ao produto proposto e que pode ser usada, pela diretoria, para incentivar a sua produção é a
Analisando o gráfico, percebemos facilmente que o produto proposto (barra preta) leva maior vantagem em relação aos produtos A e B, na característica sabor.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O pacote de salgadinho preferido de uma menina é vendido em embalagens com diferentes quantidades.
A cada embalagem é atribuído um número de pontos na promoção:
“Ao totalizar exatamente 12 pontos em embalagens e acrescentar mais R$ 10,00 ao valor da compra, você ganhará um bichinho de pelúcia”.
Esse salgadinho é vendido em três embalagens com as seguintes massas, pontos e preços:
A menor quantia a ser gasta por essa menina que a possibilite levar o bichinho de pelúcia nessa promoção é
Embalagem de 50g:
6 x R$ 2,00 + R$ 10,00 = R$ 22,00
Embalagem de 100g:
3 x R$ 3,60 + R$ 10,00 = R$ 20,80
Embalagem de 200g:
2 x R$ 6,40 + R$ 10,00 = R$ 22,80
Assim, a menor quantia é dada a menina consumir 3 pacotes de 100 gramas.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O proprietário de um restaurante deseja comprar um tampo de vidro retangular para a base de uma mesa, como ilustra a figura.
Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa, tem a forma de um retângulo, cujos lados medem AC = 105 cm e AB = 120 cm.
Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos de opções de tampos, de diferentes dimensões, e todos com a mesma espessura, sendo:
Tipo 1: 110 cm × 125 cm
Tipo 2: 115 cm × 125 cm
Tipo 3: 115 cm × 130 cm
Tipo 4: 120 cm × 130 cm
Tipo 5: 120 cm × 135 cm
O proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se deve escolher o tampo de menor área possível que satisfaça a condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da borda externa da base da mesa, deve sobrar uma região, correspondendo a uma moldura em vidro, limitada por um mínimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base da mesa, de cada lado.
Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de vidro que o proprietário avaliou que deve ser escolhido?
O aumento no tamanho do vidro é, no mínimo, 8 cm e, no máximo, 16 cm.
Portanto, as dimensões 105 cm × 120 cm variam entre 113 cm × 128 cm e 121 cm × 136 cm.
Assim, as opções 3 e 4 se enquadram, mas como a área deve ser mínima, a opção 3 satisfaz esta condição.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma empresa farmacêutica fez um estudo da eficácia (em porcentagem) de um medicamento durante 12 h de tratamento em um paciente. O medicamento foi administrado em duas doses, com espaçamento de 6 h entre elas. Assim que foi administrada a primeira dose, a eficácia do remédio cresceu linearmente durante 1h, até atingir a máxima eficácia (100%), e permaneceu em máxima eficácia durante 2h. Após essas 2h em que a eficácia foi máxima, ela passou a diminuir linearmente, atingindo 20% de eficácia ao completar as 6h iniciais de análise. Nesse momento, foi administrada a segunda dose, que passou a aumentar linearmente, atingindo a máxima eficácia após 0,5h e permanecendo em 100% por 3,5h. Nas horas restantes da análise, a eficácia decresceu linearmente, atingindo ao final do tratamento 50% de eficácia.
Considerando as grandezas tempo (em hora), no eixo das abscissas; a eficácia do medicamento (em porcentagem), no eixo das ordenadas, qual é o gráfico que representa tal estudo?
Analisando o enunciado de forma cuidadosa, chegamos a conclusão que o gráfico localizado no item C melhor representa tal situação.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um terreno retangular de lados cujas medidas, em metro, são x e y será cercado para a construção de um parque de diversões. Um dos lados do terreno encontra-se às margens de um rio. Observe a figura.
Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7 500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados.
Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material podem ser relacionados pela equação
O perímetro do terreno é dado por: 2x + 2y.
Como o custo dos lados paralelos ao rio é de R$ 4,00 por metro e os demais é, R$ 2,00.
Assim, a expressão que traduz a situação é:
2x ∙ R$ 4,00 + 2y ∙ R$ 2,00 = 7 500
4(2x + y) = 7 500
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.
Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é
Veja a situação:
1° dia = 345
2° dia = 3 x 345
3° dia = 3² x 345
4° dia = 3³ x 345
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O recinto das provas de natação olímpica utiliza a mais avançada tecnologia para proporcionar aos nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das correntes provocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a piscina de competição tem uma profundidade uniforme de 3 m, que ajuda a diminuir a "reflexão" da água (o movimento contra uma superfície e o regresso no sentido contrário, atingindo os nadadores), além dos já tradicionais 50 m de comprimento e 25 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 20 m de largura e 2 m de profundidade de forma que passe a ter as mesmas dimensões das piscinas olímpicas.
Disponível em: http://desporto.publico.pt. Acesso em: 6 ago. 2012.
Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor mais próximo de
Para calcularmos o aumento percentual pedido, é necessário calcular os volumes antes e depois das mudanças.
[tex] V_{(original)} = 50 \cdot 20 \cdot 2 = 2\ 000\ m^{³} [tex]
[tex] V_{(final)} = 50 \cdot 25 \cdot 3 = 3\ 750\ m^{³} [tex]
Agora, o aumento percentual é:
2 000 --------- 100%
3 750 --------- x
[tex] x = \frac{100\ \cdot\ 3\ 750}{2\ 000} = 1,875 = 1 + 0,875 [tex]
Logo, o aumento foi de aproximadamente 88%.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O sódio está presente na maioria dos alimentos industrializados, podendo causar problemas cardíacos em pessoas que ingerem grandes quantidades desses alimentos. Os médicos recomendam que seus pacientes diminuam o consumo de sódio. Com base nas informações nutricionais de cinco marcas de biscoitos (A, B, C, D e E), construiu-se o gráfico, que relaciona quantidades de sódio com porções de diferentes biscoitos.
Qual das marcas de biscoito apresentadas tem a menor quantidade de sódio por grama do produto?
Observe:
[tex] Marca\ A: \frac{100}{25} = 4\ mg/g [tex]
[tex] Marca\ B: \frac{80}{40} = 2\ mg/g [tex]
[tex] Marca\ C: \frac{250}{50} = 5\ mg/g [tex]
[tex] Marca\ D: \frac{100}{80} = 1,25\ mg/g [tex]
[tex] Marca\ E: \frac{200}{100} = 2\ mg/g [tex]
Logo, a menor quantidade de Na é encontrada na marca D.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que punisse fraude em concursos públicos. Isso dificultava o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é considerado crime utilizar ou divulgar indevidamente o conteúdo sigiloso de concurso público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário público, a pena sofrerá um aumento de 1/3.
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012.
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, sua pena de reclusão poderá variar de
De acordo com as informações, temos:
I) Limite inferior da pena = [tex] 12 + 12 \cdot\ \frac{1}{3} = 16\ meses[tex].
II) Limite superior da pena = [tex] 48 + 48 \cdot\ \frac{1}{3} = 64\ meses[tex].
Portanto, sua pena de reclusão poderá variar de 16 a 64 meses.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma pessoa está disputando um processo de seleção para uma vaga de emprego em um escritório. Em uma das etapas desse processo, ela tem de digitar oito textos. A quantidade de erros dessa pessoa, em cada um dos textos digitados, é dada na tabela.
Nessa etapa do processo de seleção, os candidatos serão avaliados pelo valor da mediana do número de erros.
A mediana dos números de erros cometidos por essa pessoa é igual a
Colocando os elementos em ordem crescente:
0 - 2 - 2 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6
Portanto,
[tex] M_{d} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5 [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O gerente de um estacionamento, próximo a um grande aeroporto, sabe que um passageiro que utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 10,00 em combustível nesse trajeto. Ele sabe, também, que um passageiro que não utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 80,00 com transporte.
Suponha que os passageiros que utilizam seus próprios veículos deixem seus carros nesse estacionamento por um período de dois dias.
Para tornar atrativo a esses passageiros o uso do estacionamento, o valor, em real, cobrado por dia de estacionamento deve ser, no máximo, de
Considere x o valor, em real, cobrado por dia de estacionamento. Portanto, devemos ter:
[tex] 10 + 2x ≤ 80 [tex]
[tex] 2x ≤ 70 [tex]
[tex] x ≤ 35 [tex]
Então, x é, no máximo, R$ 35,00.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O Índice de Massa Corporal (IMC) pode ser considerado uma alternativa prática, fácil e barata para a medição direta de gordura corporal. Seu valor pode ser obtido pela fórmula [tex] IMC = \frac{massa}{(altura)^{2}} [tex], na qual a massa é em quilograma e a altura, em metro. As crianças, naturalmente, começam a vida com um alto índice de gordura corpórea, mas vão ficando mais magras conforme envelhecem, por isso os cientistas criaram um IMC especialmente para as crianças e jovens adultos, dos dois aos vinte anos de idade, chamado de IMC por idade.
O gráfico mostra o IMC por idade para meninos.
Uma mãe resolveu calcular o IMC de seu filho, um menino de dez anos de idade, com 1,20 m de altura e 30,92 kg.
Disponível em: http://saude.hsw.uol.com. Acesso em: 31 jul. 2012.
Para estar na faixa considerada normal de IMC, os valores mínimo e máximo que esse menino precisa emagrecer, em quilograma, devem ser, respectivamente,
Massa da criança: 30,92 kg.
Cálculo da massa da criança com o IMC mínimo:
[tex] 14 = \frac{massa_{1}}{1,2^{2}} \Longrightarrow massa_{1} = 20,16\ kg [tex]
Logo, deve reduzir 10,72 kg.
Cálculo da massa da criança com o IMC máximo:
[tex] 18 = \frac{massa_{2}}{1,2^{2}} \Longrightarrow massa_{2} = 25,92\ kg [tex]
Portanto, deve reduzir 5 kg.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um produtor de maracujá usa uma caixa-d’água, com volume V, para alimentar o sistema de irrigação de seu pomar. O sistema capta água através de um furo no fundo da caixa a uma vazão constante. Com a caixa-d’água cheia, o sistema foi acionado às 7 h da manhã de segunda-feira. Às 13 h do mesmo dia, verificou-se que já haviam sido usados 15% do volume da água existente na caixa. Um dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento do sistema quando o volume restante na caixa é de 5% do volume total, para reabastecimento.
Supondo que o sistema funcione sem falhas, a que horas o dispositivo eletrônico interromperá o funcionamento?
Pelo enunciado, temos o gráfico:
Assim,
[tex] \frac{85-100}{5-85} = \frac{6-0}{h-6} \Longrightarrow \frac{-15}{-80} = \frac{6}{h-6} [tex]
[tex] h = 38 [tex]
Como o sistema foi acionado às 7h de uma segunda-feira. Passaram 38h até ser interrompido, ou seja, o sistema foi interrompido às 21:00 da segunda-feira.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura.
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes informativos serão afixados por toda a fábrica. Para confeccioná-los, um programador utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um conjunto de desigualdades algébricas.
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da região de isolamento, são
Devemos encontrar, primeiramente, as equações de r e s. Daí, teremos:
• Para r: [tex] y = ax \Longrightarrow 4a = 9 \Longrightarrow a = \frac{9}{4}[tex].
Assim,
• [tex] y = \frac{9}{4}x \Longrightarrow 4y = 9x \Longrightarrow 4y - 9x = 0 [tex]
Como queremos a área sobreada, temos:
[tex] 4y - 9x ≤ 0 [tex]
• Para s: utilizaremos o mesmo raciocínio.
[tex]8y - 3x ≥ 0 [tex]
Agora, analisando o gráfico, temos, ainda, que:
[tex] x ≤ 8 \ e\ y ≤ 9 [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.
Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C.
Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos.
A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma caixa-d’água em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 4 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m de altura, necessita de higienização. Nessa operação, a caixa precisará ser esvaziada em 20 min, no máximo.
A retirada da água será feita com o auxílio de uma bomba de vazão constante, em que vazão é o volume do líquido que passa pela bomba por unidade de tempo.
A vazão mínima, em litro por segundo, que essa bomba deverá ter para que a caixa seja esvaziada no tempo estipulado é
O Volume da caixa-d’água é:
[tex] Volume = 3m \cdot 4m \cdot 2m = 24 m^{³} = 24\ 000\ L [tex]
Logo, a vazão é:
[tex] vazão = \frac{24\ 000}{20\ \cdot\ 60\ s} = 20\ L/s [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de [tex] \frac{1}{2}[tex], [tex] \frac{3}{8}[tex] e [tex] \frac{5}{4}[tex].
Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos
Como pelo enunciado, as medidas [tex] \frac{1}{2} [tex], [tex] \frac{3}{8} [tex] e [tex] \frac{5}{4} [tex], devem estar em ordem crescente.
[tex] \frac{1}{2} = \frac{4}{8} [tex]
e
[tex] \frac{5}{4} = \frac{10}{8} [tex]
Logo,
[tex] \frac{3}{8} < \frac{4}{8} < \frac{10}{8} \Longrightarrow \frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{5}{4} [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2.
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a
Para identificarmos as características pedidas, basta contarmos a partir da figura 2:
Face: 9 (5 originais e 4 oriundos dos cortes)
Aresta: 20 (8 originais e 12 oriundos dos cortes)
Vértice: 13 (1 original e 12 oriundos dos cortes)
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos e é também um dos campeões mundiais de desperdício. São produzidas por ano, aproximadamente, 150 milhões de toneladas de alimentos e, desse total, [tex]\frac{2}{3} [tex] são produtos de plantio. Em relação ao que se planta, 64% são perdidos ao longo da cadeia produtiva (20% perdidos na colheita, 8% no transporte e armazenamento, 15% na indústria de processamento, 1% no varejo e o restante no processamento culinário e hábitos alimentares).
Disponível em: www.bancodealimentos.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012.
O desperdício durante o processamento culinário e hábitos alimentares, em milhão de tonelada, é igual a
Como informado no enunciado, tem 150 milhões de toneladas de alimentos, sendo: [tex] \frac{2}{3}[tex] (para plantio): 100 milhões e [tex] \frac{1}{3}[tex] (outros fins): 50 milhões
Dos 100 milhões plantados, temos:
Portanto, [tex] \frac{20}{100}\ \cdot 100 = 20[tex] milhões de toneladas.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O veículo terrestre mais veloz já fabricado até hoje é o Sonic Wind LSRV, que está sendo preparado para atingir a velocidade de 3 000 km/h. Ele é mais veloz do que o Concorde, um dos aviões de passageiros mais rápidos já feitos, que alcança 2 330 km/h.
Para uma distância fixa, a velocidade e o tempo são inversamente proporcionais.
BASILIO, A. Galileu, mar. 2012 (adaptado).
Para percorrer uma distância de 1 000 km, o valor mais próximo da diferença, em minuto, entre os tempos gastos pelo Sonic Wind LSRV e pelo Concorde, em suas velocidades máximas, é
Para o LSRV:
3 000 km ------- 60 min
1 000 km ------- [tex]x_{1}[tex]
[tex]x_{1}[tex] = 20 min
Para o CONCORDE:
2 330 km ------- 60 min
1 000 km ------- [tex]x_{2}[tex]
[tex]x_{2} \cong 25,7\ min [tex]
Logo, a diferença de tempo é um valor mais próximo de 6 min.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio de 5cm, que tenha ficado encostado no bolim, de raio de 2 cm, conforme ilustra a Figura 2.
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d.
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
Veja o esquema a seguir:
Aplicando o teorema de Pitágoras:
[tex] d^{2} + 3^{2} = 7^{2} [tex]
[tex] d = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} [tex]
[tex] \frac{d}{2} = \sqrt{10} [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi representada por An.
Para n ≥ 2, o valor da diferença [tex] A_{n} - A_{(n-1)}[tex], em centímetro quadrado, é igual a
Observe que área é dada pelo quadrado do lado. Assim,
[tex] A_{n} - A_{(n-1)} = n^{2} - (n-1)^{2} = 2n - 1 [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um agricultor vive da plantação de morangos que são vendidos para uma cooperativa. A cooperativa faz um contrato de compra e venda no qual o produtor informa a área plantada.
Para permitir o crescimento adequado das plantas, as mudas de morango são plantadas no centro de uma área retangular, de 10 cm por 20 cm, como mostra a figura.
Atualmente, sua plantação de morangos ocupa uma área de 10 000 m², mas a cooperativa quer que ele aumente sua produção. Para isso, o agricultor deverá aumentar a área plantada em 20%, mantendo o mesmo padrão de plantio.
O aumento (em unidade) no número de mudas de morango em sua plantação deve ser de
O aumento no número de mudas dado por:
[tex] \frac{\frac{20}{100}\ \cdot\ 10\ 000\ m^{2}}{0,2m\ \cdot\ 0,1m } = 100\ 000 [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por [tex]\frac{4}{3} \cdot π\ \cdot R^{3}[tex].
Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base [tex] \frac{R}{3} [tex] , cujo volume será dado por [tex]π \cdot (\frac{R}{3})^{2} \cdot h [tex], sendo h a altura da nova embalagem.
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a
Pelo enunciado, temos:
Volume da esfera = [tex]\frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}[tex]
Volume do cilindro = [tex] π \cdot(\frac{R}{3})^{2} \cdot h = \frac{π \cdot R^{2} \cdot h}{9} [tex]
Como os volumes devem ser iguais, então:
[tex] \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3} = \frac{π \cdot R^{2} \cdot h}{9} [tex]
[tex] \frac{4R}{1} = \frac{h}{3} [tex]
[tex] h = 12R [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função [tex] f(t) = -2t^{2} + 120t [tex] (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.
A segunda dedetização começou no
Pelo enunciado, temos:
[tex] f(t) = -2t^{2} + 120t [tex]
[tex] 1600 = -2t^{2} + 120t [tex]
[tex] 0 = -2t^{2} + 120t - 1600 [tex] (:2)
[tex] 0 = -t^{2} + 60t - 800 [tex]
Δ = b² – 4ac = 3 600 – 3 200 = 400
[tex] t = \frac{60 \pm 20}{2} [tex]
t' = 20 ou t" = 40
Como a segunda dedetização será feita no dia em que o número de infectados atingir 1 600 pessoas, dessa forma, concluímos que a primeira vez que isso ocorre é no 20° dia.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Uma empresa europeia construiu um avião solar, como na figura, objetivando dar uma volta ao mundo utilizando somente energia solar. O avião solar tem comprimento AB igual a 20 m e uma envergadura de asas CD igual a 60 m.
Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez uma maquete desse avião. A escala utilizada pelos alunos foi de 3 : 400.
A envergadura CD na referida maquete, em centímetro, é igual a
Foi dado no texto-base que o valor de CD é 60 cm ou 6 000 cm.
Portanto, usando a escala dada, podemos calcular que o valor de CD na maquete, vale:
[tex] \frac{3}{400} = \frac{x}{6000} \Longrightarrow x = 45\ cm [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O gráfico mostra a média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, no período de 2004 a 2010.
Estimativas feitas naquela época indicavam que a média de produção diária de petróleo no Brasil, em 2012, seria 10% superior à média dos três últimos anos apresentados no gráfico.
Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
Se essas estimativas tivessem sido confirmadas, a média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, em 2012, teria sido igual a
Calculando a média dos três últimos anos apresentados, temos:
[tex] \overline{M} = \frac{1,85+1,97+2,0}{3} = \frac{5,82}{3} = 1,94 [tex]
Daí, como em 2012 a produção foi 10% superior a essa média, temos:
1,10 ∙ 1,94 = 2,134
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria.
Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
[tex] p(t) = 40 \cdot 2^{3t} [tex]
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será
Cálculo da população inicial:
[tex] p(0) = 40\ \cdot\ 2^{3\ \cdot\ 0} = 40\ \cdot\ 2^{0} = 40\ \cdot\ 1 = 40 [tex]
Agora, a populaçaõ após [tex] 20min = \frac{1}{3}\ h [tex] é:
[tex] P(\frac{1}{3}) = 40\ \cdot\ 2^{3\ \cdot\ \frac{1}{3}} = 80 [tex]
Portanto, a população duplicará.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um vendedor de assinaturas de TV a cabo teve, nos 7 primeiros meses do ano, uma média mensal de 84 assinaturas vendidas. Devido a uma reestruturação da empresa, foi exigido que todos os vendedores tivessem, ao final do ano, uma média mensal de 99 assinaturas vendidas. Diante disso, o vendedor se viu forçado a aumentar sua média mensal de vendas nos 5 meses restantes do ano.
Qual deverá ser a média mensal de vendas do vendedor, nos próximos 5 meses, para que ele possa cumprir a exigência da sua empresa?
Cálculo do números de assinaturas nos 7 primeiros meses:
[tex] \overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7 }}{7} = 84 [tex]
[tex] x_{1} + x_{2} + x_{3} + ... + x_{6} + x_{7} = 84 \cdot 7 = 588 [tex]
Agora, para os 12 primeiros meses:
[tex] \overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{11} + x_{12}}{12} = 99 [tex]
[tex] \underbrace{x_{1} +...+ x_{7}}_{588} + x_{8} + ... + x_{12} = 12 \cdot 99 = 1\ 188 [tex]
[tex] 588 + x_{8} + ... + x_{11} + x_{12} = 1\ 188 [tex]
[tex] x_{8} + ... + x_{11} + x_{12} = 1\ 188 - 588 [tex]
[tex] x_{8} + ... + x_{11} + x_{12} = 600 [tex]
Logo, a média dos 5 meses finais é:
[tex] \overline{x} = \frac{ x_{8} + ... + x_{11} + x_{12}}{5} = \frac{600}{5} = 120 [tex]
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Num mapa com escala 1 : 250 000, a distância entre as cidades A e B é de 13 cm. Num outro mapa, com escala 1 : 300 000, a distância entre as cidades A e C é de 10 cm.
Em um terceiro mapa, com escala 1 : 500 000, a distância entre as cidades A e D é de 9 cm. As distâncias reais entre a cidade A e as cidades B, C e D são, respectivamente, iguais a X, Y e Z (na mesma unidade de comprimento).
As distâncias X, Y e Z, em ordem crescente, estão dadas em
Distância X:
[tex] \frac{13}{D_{AB}} = \frac{1}{250\ 000} [tex]
[tex] D_{AB} = 3\ 250\ 000\ cm = 32\ 500\ m [tex]
Distância Y:
[tex] \frac{10}{D_{AC}} = \frac{1}{300\ 000} [tex]
[tex] D_{AC} = 3\ 000\ 000\ cm = 30\ 000\ m [tex]
Distância Z:
[tex] \frac{9}{D_{AD}} = \frac{1}{500\ 000} [tex]
[tex] D_{AD} = 4\ 500\ 000\ cm = 45\ 000\ m [tex]
Portanto, Y < X < Z.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um banco de sangue recebe 450 mL de sangue de cada doador. Após separar o plasma sanguíneo das hemácias, o primeiro é armazenado em bolsas de 250 mL de capacidade. O banco de sangue aluga refrigeradores de uma empresa para estocagem das bolsas de plasma, segundo a sua necessidade. Cada refrigerador tem uma capacidade de estocagem de 50 bolsas. Ao longo de uma semana, 100 pessoas doaram sangue àquele banco.
Admita que, de cada 60 mL de sangue, extraem-se 40 mL de plasma.
O número mínimo de congeladores que o banco precisou alugar, para estocar todas as bolsas de plasma dessa semana, foi
Cálculo da quantidade de plasma
60 mL (sangue)------ 40 mL (plasma)
100 ∙ 450 mL ----- x (plasma)
[tex] \frac{60}{45\ 000} = \frac{40}{x} [tex]
[tex] x = 300\ 000\ mL [tex]
Agora, o número de bolsas é:
n° de bolsas = [tex] \frac{30\ 000\ mL}{250\ mL} = 120\ bolsas [tex]
Portanto, são necessários 3 congeladores, pois cada um comporta até 50 bolsas.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros países em um dia de disputa nas Olimpíadas.
A ordenação é feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente.
Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas para formar um único país hipotético, qual a posição ocupada por esse país?
Todas de medalhas entre Brasil e Argentina.
Agora, a posição do país hipotético.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Na figura estão representadas três retas no plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x.
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações e duas incógnitas que
Para que um sistema tenha solução (x, y), é necessário que satisfaça todas as equações. Na análise do gráfico, não temos nenhum ponto que esteja, ao mesmo tempo, nas três retas, ou seja, não existe solução para o sistema.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.
A área para o público será cercada com dois tipos de materiais:
• nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00;
• nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00.
A empresa dispõe de R$ 5 000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público.
A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é
Nos lados paralelos ao palco (tela A), temos um gasto de:
2x ∙ 20 = 40x reais
Agora, para os outros dois lados (tela B), temos um gasto de:
2y ∙ 5 = 10y reais
Logo, pelo valor total, temos:
40x + 10y = 5 000
Agora, a área do terreno é dado por A = x ∙ y.
Daí,
[tex] \begin{cases}A = x\ \cdot\ y \\ 40x + 10y = 5000 \end{cases} [tex]
Então, isolando y na equação [tex] 40x + 10y = 5000 [tex] e, substituindo na outra equação, obtemos:
[tex] A = x\ \cdot\ (\frac{5000 - 40x}{10}) = \frac{5000x}{10} - \frac{40x^{2}}{10}= 500x - 2x^{2} [tex]
Como a área deve ser máxima, devemos calcular x do vértice ([tex] x_{v}[tex]):
[tex] x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{500}{2\ \cdot\ (-4)} = \frac{500}{8} = 62,5[tex]
Daí, se x = 62,5m, então, y = 250m.
Logo, a quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é 125 m da tela tipo A e 500 m da tela do tipo B.
(ENEM 2016 - 2ª Aplicação).
Um clube tem um campo de futebol com área total de 8 000 m², correspondente ao gramado. Usualmente, a poda da grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para o serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam juntas 200 m² por hora.
Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 5 h.
Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho?
Inicialmente, devemos perceber que as duas máquinas existentes no clube podam 8 000 m² em 40 horas, ou seja:
8 000 m² : 200 m²
Utilizando a ideia de regra de três simples, temos:
2 máquinas --------- 40 h
x máquinas ---------- 5 h
[tex] \frac{2}{x} = \frac{40}{5} \Longrightarrow x = 16 [tex]
Como já existem duas máquinas no clube, então, será necessária a solicitação de mais 14 máquinas.
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