(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Para confeccionar, em madeira, um cesto de lixo que comporá o ambiente decorativo de uma sala de aula, um marceneiro utilizará, para as faces laterais, retângulos e trapézios isósceles e, para o fundo, um quadrilátero, com os lados de mesma medida e ângulos retos.
Qual das figuras representa formato de um cesto que possui as características estabelecidas?
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
A figura seguinte representa um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.
Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. Afim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto.
O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:
A menor distância entre dois pontos no plano, nessa situação, será na única imagem em que eles são colineares, ou seja, pertencem à mesma reta.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais?
De acordo com o texto, gasta-se R$ 0, 26 para produzir uma moeda de um real e apenas R$ 0,17 para produzir uma nota de mesmo valor. Para saber quantas moedas ou cédulas podem ser produzidas com determinado valor, basta fazer o quociente entre o valor empregado e o custo da moeda ou da cédula. Claramente podemos ver que, com um mesmo investimento, podem ser produzidas mais cédulas do que moedas.
Para determinar quantas cédulas seriam produzidas a mais (x), vamos determinar a diferença entre o quociente das cédulas e das moedas. De forma simplificada, temos a seguinte equação:
[tex] x = \frac{valor\ empregado}{custo\ por\ cédula} - \frac{valor\ empregado}{custo\ por\ moeda} [tex]
O enunciado informa que o valor empregado é de R$ 1 000,00. Já sabemos que o custo por moeda é de R$ 0,26 e por cédula é de R$ 0,17. Sendo assim, temos:
[tex] x = \frac{100}{0,17} - \frac{1000}{0,26} [tex]
[tex] x = 5\ 882,34 - 3\ 846,14 \cong 2\ 036,2 [tex]
Portanto, com R$ 1 000,00, podem ser produzidas cerca de 2 036 cédulas a mais do que moedas de um real.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a área calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros.
Revista Cláudia. Abr. 2010 (adaptado).
De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura
Como o garoto pode crescer até 30 cm, ou seja, 0,3m.
Logo,
1,45m + 0,3m = 1,75m
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na figura seguinte:
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução.
Sabendo que na figura os pontos B, C, F e G são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:
Girando em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete. Observe:
Percebemos que a decomposição do foguete da ponta para a cauda, é formada pela sequência de sólidos: cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Nos últimos anos a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.
Disponível em . Último acesso em: 28 abril. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até atingir, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino.
Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente,
As distâncias percorridas pelo corredor constituem a progressão aritmética:
[tex] a_{1} = 3 [tex]
[tex] a_{2} = 3,5 [tex]
[tex] a_{3} = 4 [tex]
⁞
[tex]a_{n} = 10[tex]
[tex]r = a_{2} – a_{1} = 3,5 – 3 = 0,5[tex]
n = ? (dias)
Se "n" denota o número de dias para que o planejamento seja executado, temos que:
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex]10 = 3 + (n - 1) \cdot 0,5 [tex]
[tex]10 – 3 = 0,5n - 0,5 [tex]
[tex]7 + 0,5 = 0,5n[tex]
[tex] n = \frac{7,5}{0,5} = 15\ dias [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Um foguete foi lançado do marco zero de uma estação e após alguns segundos atingiu a posição (6, 6, 7) no espaço, conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em quilômetros.
Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km para frente na direção do eixo-x, 3 km para trás na direção do eixo-y, e 11 km para frente, na direção do eixo-z, então o foguete atingiu a posição
Supondo que “para trás” signifique um deslocamento no sentido negativo, e “para frente” corresponda a um deslocamento no sentido positivo de cada eixo, segue que a posição atingida pelo foguete é dada por:
(6 + 2, 6 – 3, 7 + 11) = (8, 3, 18).
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
FONTES ALTERNATIVAS
Há um novo impulso para produzir combustível a partir de gordura animal. Em abril, a High Plains Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria próxima a uma fábrica de processamento de carne suína em Guymon, Oklahoma. A refinaria converte a gordura do porco, juntamente com o óleo vegetal, em biodiesel. A expectativa da fábrica é transformar 14 milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de litros de biodiesel.
Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 (adaptado).
Considere que haja uma proporção direta entre a massa de banha transformada e o volume de biodiesel produzido.
Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a massa de banha necessária, em quilogramas, será de, aproximadamente,
Se a massa "m" de banha é diretamente proporcional ao o volume "v" de biodiesel, então:
m = k ∙ v
em que k é a constante de proporcionalidade. Assim,
[tex] m = k \cdot v [tex]
[tex] 14 \cdot 10^{6} = k \cdot 112 \cdot 10^{6} [tex]
[tex] k = \frac{14 \cdot 10^{6}}{112 \cdot 10^{6}} [tex]
[tex] k = \frac{1}{8} [tex]
Portanto, para produzir 48 milhões de litros de biodiesel serão necessários:
[tex] m' = \frac{1}{8} \cdot 48 \cdot 10^{6} [tex]
[tex] m' = 6\ milhões\ de\ kg\ de\ banha [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde.
Números da campanha contra a gripe A “H1N1”
De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de
A categoria que está mais exposta é aquela que apresenta o menor percentual de indivíduos imunizados. Portanto, do gráfico, temos que os adultos entre 20 e 29 anos estão mais expostos ao vírus da gripe A-H1N1.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade.
Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João
Sejam r e h, respectivamente, o raio e a espessura das moedas de chocolate fabricadas atualmente. Logo, o volume V de chocolate de uma moeda é:
[tex] V = πR^{2}h [tex]
De acordo com a sugestão de Pedro, o volume V' de chocolate empregado na fabricação de uma moeda com 8 cm de diâmetro seria:
[tex] V' = π(2R)^{2}h = 4 \underbrace{πR^{2}h}_{V} = 4V [tex]
Supondo que o preço p da moeda seja diretamente proporcional ao volume de chocolate, segue que:
[tex] p = k \cdot V = R \$\ 1,50 [tex]
em que k é a constante de proporcionalidade.
Assim, o preço p' da moeda sugerida por Pedro deveria ser de
[tex] p' = k \cdot V' = k \cdot 4V = 4 \cdot 1,50 = R \$\ 6,00 [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Uma torneira gotejando diariamente é responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico que indica o desperdício de uma torneira.
Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é:
Seja [tex] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [tex] a função linear definida por [tex] f(x) =ax [tex], em que [tex] f(x) [tex] representa o desperdício de água, em litros, após x dias.
A taxa de variação da função f é dada por
[tex] a = \frac{600 - 0}{10-0} = 60 [tex]
Portanto, segue que
[tex] f(x) = y = 60x [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
O hábito de comer um prato de folhas todo dia faz proezas para o corpo. Uma das formas de variar o sabor das saladas é experimentar diferentes molhos.
Um molho de iogurte com mostarda contém 2 colheres de sopa de iogurte desnatado, 1 colher de sopa de mostarda, 4 colheres de sopa de água, 2 colheres de sopa de azeite.
DESGUALDO. P. Os Segredos da Supersalada. Revista Saúde. Jan. 2010.
Considerando que uma colher de sopa equivale a aproximadamente 15 mL, qual é o número máximo de doses desse molho que se faz utilizando 1,5 L de azeite e mantendo a proporcionalidade das quantidades dos demais ingredientes?
Com 1,5 L = 1500 mL de azeite é possível obter [tex] \frac{1500}{15} = 100 [tex] colheres de sopa de azeite.
Portanto, de acordo com a receita, será possível fazer [tex] \frac{100}{2} = 50 [tex] doses do molho.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
No dia 12 de janeiro de 2010, o governo da Venezuela adotou um plano de racionamento de energia que previa cortes no fornecimento em todo o país.
O ministro da Energia afirmou que uma das formas mais eficazes de se economizar energia nos domicílios seria o uso de lâmpadas que consomem 20% menos da energia consumida por lâmpadas normais.
Disponível em: http://www.bbc.co.uk. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
Em uma residência, o consumo mensal de energia proveniente do uso de lâmpadas comuns é de 63 kWh.
Se todas as lâmpadas dessa residência forem trocadas pelas lâmpadas econômicas, esse consumo passará a ser de, aproximadamente,
Após a troca das lâmpadas o consumo passará a ser de
[tex](100 - 20) \% \cdot 63 = 0,8 \cdot 63\ \cong\ 50 kWh[tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Em abril de 2009, o observatório espacial americano Swift captou um feixe de raios gama proveniente de uma explosão no espaço. Cientistas italianos e ingleses apresentaram conclusões de que as luzes captadas provêm do colapso de uma estrela ocorrido há 13 bilhões de anos, apenas 630 milhões de anos após o Big Bang, expansão súbita que originou o Universo. Batizada de GRB 090423, a estrela é o objeto celeste mais antigo já observado pelo homem.
Suponha uma escala de 0 h a 24 h e considere que o Big Bang ocorreu exatamente à 0 h. Desse modo, a explosão da estrela GRB 090423 teria ocorrido à(s)
Considere a figura abaixo, em que x denota o horário em que ocorreu a explosão da estrela GRB 090423.
Como os segmentos são proporcionais, temos que:
[tex] \frac{x}{24} = \frac{0,63}{13,63} [tex]
[tex] x = 1,111... h [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Em uma reserva florestal existem 263 espécies de peixes, 122 espécies de mamíferos, 93 espécies de répteis, 1 132 espécies de borboletas e 656 espécies de aves.
Disponível em: http:www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a probabilidade de ser uma borboleta?
O número total de espécies animais é dado por
263 +122 + 93 + 1132 + 656 = 2.266
Portanto, a probabilidade pedida é dada por
[tex] \frac{1132}{2266} \cdot 100 \% \cong\ 49,96 \% [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
As Olimpíadas de 2016 serão realizadas na cidade do Rio de Janeiro. Uma das modalidades que trazem esperanças de medalhas para o Brasil é a natação.
Aliás, a piscina olímpica merece uma atenção especial devido as suas dimensões. Piscinas olímpicas têm 50 metros de comprimento por 25 metros de largura. Se a piscina olímpica fosse representada em uma escala de 1:100, ela ficaria com as medidas de
Sejam c e l, respectivamente, o comprimento e a largura da piscina na escala dada.
Como 50 m = 5 000 cm e 25 m = 2 500 cm, temos que
[tex] \frac{1}{100} = \frac{c}{5\ 000} → c = 50\ cm [tex]
e
[tex] \frac{1}{100} = \frac{l}{2\ 500} → l = 25\ cm [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Grandes times nacionais e internacionais utilizam dados estatísticos para a definição do time que sairá jogando numa partida. Por exemplo, nos últimos treinos, dos chutes a gol feito pelo jogador I, ele converteu 45 chutes em gol. Enquanto isso, o jogador II acertou 50 gols. Quem deve ser selecionado para estar no time no próximo jogo, já que os dois jogam na mesma posição?
A decisão parece simples, porém deve-se levar em conta quantos chutes a gol cada um teve oportunidade de executar. Se o jogador I chutou 60 bolas a gol e o jogador II chutou 75, quem deveria ser escolhido?
O jogador I converte chutes em gol com probabilidade [tex] \frac{45}{60} = \frac{3}{4} [tex], enquanto que o jogador II converte chutes em gol com probabilidade [tex] \frac{50}{75} = \frac{2}{3} [tex].
Portanto, como [tex] \frac{3}{4} > \frac{2}{3} [tex], o jogador I deve ser escolhido para iniciar a partida.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Uma empresa de refrigerantes, que funciona sem interrupções, produz um volume constante de 1 800 000 cm³ de líquido por dia. A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante 24 horas. O inspetor de produção percebeu que o líquido chegou apenas à altura de 12 cm dos 20 cm previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa em que foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de 3 cm. Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não será reutilizado.
Utilizando π ≈ 3, no período em que a máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas?
O volume de refrigerante em uma garrafa parcialmente cheia é dado por
[tex] π \cdot 3^{2}\ \cdot\ 12 \cong 3 \cdot 9 \cdot 10 = 324\ cm^{2} [tex]
Portanto, o número aproximado de garrafas utilizadas foi de
[tex] \frac{1\ 800\ 000}{324} \cong 5\ 555 [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:
Guia do Estudante: Atualidades e Vestibulares+ENEM. Abril: São Paulo, 2009.
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é
Sejam [tex]V_{ds}[tex] e [tex]V_{d}[tex], respectivamente, o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta.
A razão pedida é dada por:
[tex] \frac{V_{ds}}{V_{d}} = \frac{\frac{4}{3}\ \cdot\ π \cdot\ r_{ds}^{3}}{\frac{4}{3}\ \cdot\ π\ \cdot\ r_{d}^{3}} = (\frac{r_{ds}}{r_{d}})^{3} [tex]
[tex] = (\frac{29}{203})^{3} = (\frac{1}{7})^{3} = \frac{1}{343} [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
O IGP-M é um índice da Fundação Getúlio Vargas, obtido por meio da variação dos preços de alguns setores da economia, do dia vinte e um do mês anterior ao dia vinte do mês de referência. Ele é calculado a partir do Índice de Preços por Atacado (IPA-M), que tem peso de 60% do índice, do Índice de Preços ao Consumidor (IPC-M), que tem peso de 30%, e do Índice Nacional de Custo de Construção (INCC), representando 10%. Atualmente, o IGP-M é o índice para a correção de contratos de aluguel e o indexador de algumas tarifas, como energia elétrica.
A partir das informações, é possível determinar o maior IGP-M mensal desse primeiro trimestre, cujo valor é igual a
Calculando o IGPM no primeiro trimestre de 2010, obtemos:
Mar/2010: 0,6 × 1,07 + 0,3 × 0,83 + 0,1 × 0,45 ≈ 0,94%;
Fev/2010: 0,6 × 1,42 + 0,3 × 0,88 + 0,1 × 0,35 ≈ 1,15%;
Jan/2010: 0,6 × 0,51 + 0,3 × 1,00 + 0,1 × 0,52 ≈ 0,66%.
Portanto, o maior IGPM no primeiro trimestre de 2010 foi, aproximadamente, 1,15%.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu. n° 225, 2010.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?
Seja a função [tex]N: \mathbb{R} → \mathbb{R}[tex], definida por [tex]N(n) = an + b[tex], em que [tex]N(n)[tex] é o número de sacolas consumidas, em bilhões, n anos após 2007.
Do gráfico, temos que o valor inicial de N é b = 18.
A taxa de variação da função N é dada por
[tex] a = \frac{0-18}{9-0} = -2 [tex]
Desse modo, segue que [tex]N(n) = -2n + 18[tex]. Queremos calcular o número de sacolas consumidas em 2011, ou seja, N(4).
Portanto,
[tex]N(4) = – 2 \cdot 4 + 18 = 10 [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Os estilos musicais preferidos pelos jovens brasileiros são o samba, o rock e a MPB. O quadro a seguir registra o resultado de uma pesquisa relativa à preferência musical de um grupo de 1 000 alunos de uma escola.
Alguns alunos disseram não ter preferência por nenhum desses três estilos.
Se for selecionado ao acaso um estudante no grupo pesquisado, qual é a probabilidade de ele preferir somente MPB?
De acordo com os dados da tabela, obtemos o seguinte diagrama.
Portanto, a probabilidade de um estudante selecionado ao acaso preferir apenas MPB é dada por
[tex] \frac{110}{1000}\cdot 100 \% = 11 \% [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas.
Dados estatísticos das equipes mais bem classificados (em minutos).
Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe
A equipe campeã será aquela que apresentar a moda mais próxima da média estabelecida e cujo desvio-padrão seja o menor. Portanto, a equipe III foi a campeã.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado.
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de (considere π ≈ 3)
Como 40 cm = 0,4 m, segue que o volume de um tambor é dado por
[tex] π \cdot R^{2} \cdot h \cong 3 \cdot (\frac{0,4}{2})^{2} \cdot 1 = 0,12\ m^{3} [tex]
Assim, o volume de água contido em um kit é 6 0,12 = 0,72 m³.
Por conseguinte, o valor a ser pago por uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês é de
2,5 ∙ 12 ∙ 0,72 = R$ 21,60
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
O Pantanal é um dos mais valiosos patrimônios naturais do Brasil. É a maior área úmida continental do planeta — com aproximadamente 210 mil km², sendo 140 mil km² em território brasileiro, cobrindo parte dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do Sul. As chuvas fortes são comuns nessa região. O equilíbrio desse ecossistema depende, basicamente, do fluxo de entrada e saída de enchentes. As cheias chegam a cobrir até 2/3 da área pantaneira.
Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
Durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar a um valor aproximado de
De acordo com o texto, a área alagada pelas enchentes pode chegar a um valor aproximado de
[tex] \frac{2}{3}\cdot 210\ 000 = 140\ 000\ km^{2} [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções
V1(t) = 250t³ - 100t + 3000
e
V2(t) = 150t³ + 69t + 3000
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a
Para que o volume de leite nos dois reservatórios seja igual, devemos ter
[tex] V_{1}(t) = V_{2}(t) [tex]
[tex] 250t^{3} - 100t + 3000 = 150t^{3} + 69t + 3000 [tex]
[tex] 100t^{3} - 169t = 0 [tex]
[tex] t(100t^{2} - 169) = 0 [tex]
Logo,
t = 0
e
[tex] 100t^{2} - 169 = 0 [tex]
[tex] 100t^{2} = 169 [tex]
[tex] t = \sqrt{\frac{169}{100}} [tex]
[tex] t = 1,3\ h [tex]
Portanto, além do instante t = 0, o volume de leite nos dois reservatórios será igual no instante t = 1,3 h.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra.
Revista Exame. 21 abr. 2010.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é
Como o custo fixo anual, para 30 minutos diários de uso, é de 24 dólares e o custo da hora extra é de 3 dólares, segue que o valor anual pago é dado por [tex]f(x) = 3x + 24[tex], em que x é o número de horas extras.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Para verificar e analisar o grau de eficiências de um teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe de biólogos aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa doença. Porém, o teste não é totalmente eficaz, podendo existir ratos saudáveis com resultado positivo e ratos doentes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são doentes com resultado negativo.
Um rato foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A probabilidade de esse rato ser saudável é
Considere o diagrama abaixo.
Queremos calcular a probabilidade condicional:
[tex] P_{(saudável|negativo)} = \frac{n_{(saudável\ \cap\ negativo)}}{n_{(negativo)}} [tex]
Portanto, de acordo com o diagrama, temos que
[tex] P_{(saudável|negativo)} = \frac{380}{380 + 40 } = \frac{19}{21} [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central.
Considerando que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.
Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e [tex] 6\sqrt{2}[tex] m e o lado da base da plataforma mede [tex] 19\sqrt{2}[tex] m, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a
Considere a figura abaixo, em que o quadrado ABCD é a base da pirâmide, O é o centro da base da pirâmide e o quadrado PQRS é a base da plataforma.
Como [tex] \overline{AB} = 6\sqrt{2}\ m [tex], temos que
[tex] \overline{OA} = \frac{\overline{AB} \cdot\ \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}\ \cdot\ \sqrt{2}}{2} = 6\ m [tex]
Além disso, sabemos que [tex] \overline{PQ} = 19\sqrt{2}\ m [tex]. Logo,
[tex] \overline{OP} = \frac{\overline{PQ} \cdot\ \sqrt{2}}{2} = \frac{19\sqrt{2}\ \cdot\ \sqrt{2}}{2} = 19\ m [tex]
Sendo V o vértice da torre e sabendo que [tex] \overline{VO} = 24\ m [tex], considere a figura abaixo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOA, obtemos
[tex] \overline{(VA)}^{2} = \overline{(VO)}^{2} + \overline{(OA)}^{2} [tex]
[tex] \overline{(VA)}^{2} = (24)^{2} + (6)^{2} [tex]
[tex] \overline{(VA)} = \sqrt{612} [tex]
[tex] \overline{(VA)} = 6 \sqrt{17}\ m [tex]
Queremos calcular PT, em que T é o ponto médio da aresta lateral da torre, conforme a figura seguinte.
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo APT, segue que
[tex] \overline{(PT)}^{2} = \overline{(AP)}^{2} + \overline{(AT)}^{2} - 2 \cdot \overline{(AP)} \cdot \overline{(AT)} \cdot cos (PÂT) [tex]
Daí, como
[tex] \overline{AP} = \overline{OP} - \overline{OA} = 19 - 6 = 13\ m [tex]
e
[tex] cos (PÂT) = - cos (VÂO) = - \frac{\overline{VA}}{\overline{OA}} = - \frac{6}{6\sqrt{17}} = - \frac{1}{\sqrt{17}} [tex]
encontramos:
[tex] \overline{(PT)}^{2} = (13)^{2} + (3\sqrt{17})^{2} - 2 \cdot 13 \cdot 3\sqrt{17}\ \cdot\ (-\frac{1}{\sqrt{17}}) [tex]
[tex] \overline{(PT)}^{2} = 169 + 153 + 78 = \sqrt{400} [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Um experimento foi conduzido com o objetivo de avaliar o poder germinativo de duas culturas de cebola, conforme a tabela.
BUSSAB, W. O; MORETIN, L. G. Estatística para as ciências agrárias e biológicas (adaptado).
Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de uma das culturas de cebola, uma amostra foi retirada ao acaso. Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a probabilidade de essa amostra pertencer à Cultura A é de
Sejam os eventos A : “amostra pertence à cultura A” e B: “amostra escolhida germinou”.
Queremos calcular a probabilidade condicional P(A | B).
Portanto, de acordo com os dados da tabela, temos que
[tex] P(A\ |\ B) = \frac{n(A\ \cap\ B)}{n(B)} = \frac{392}{773} [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Com o intuito de tentar prever a data e o valor do reajuste do próximo salário mínimo, José primeiramente observou o quadro dos reajustes do salário mínimo de abril de 2000 até fevereiro de 2009, mostrada a seguir.
Ele procedeu da seguinte maneira: computou o menor e o maior intervalo entre dois reajustes e computou a média dos valores encontrados, e usou este resultado para predizer a data do próximo aumento. Em seguida, determinou o menor e o maior reajuste percentual ocorrido, tomou a média e usou este resultado para determinar o valor aproximado do próximo salário.
Tabela de Salário mínimo nominal vigente. Disponível em: www.ipeadata.gov.br. Acesso em: 03 maio 2009.
De acordo com os cálculos de José, a data do novo reajuste do salário mínimo e o novo valor aproximado do mesmo seriam, respectivamente,
O maior intervalo de tempo entre dois aumentos sucessivos ocorreu entre abril de 2003 e maio de 2004, ou seja, 13 meses. Já o menor intervalo de tempo entre dois aumentos sucessivos ocorreu entre maio de 2005 e abril de 2006, correspondendo a 11 meses (repetindo-se entre abril de 2007 e março de 2008 e entre março de 2008 e fevereiro de 2009).
Portanto, a média aritmética entre o maior intervalo e o menor intervalo de tempo entre dois aumentos sucessivos foi de
[tex] \overline{i} = \frac{13+11}{2} = 12 [tex]
Com relação aos reajustes percentuais, temos que o maior e o menor foram, respectivamente,
2003/2002: [tex] \frac{240\ -\ 200}{200} \cdot\ 100 \% = 20 \% [tex]
2004/2003: [tex] \frac{260\ -\ 200}{240} \cdot\ 100 \%\ \cong\ 8,3 \% [tex]
Desse modo, a média desses reajustes é
[tex] \overline{p} = \frac{20 + 8,3}{2} = 14,15 \% [tex]
Por conseguinte, o novo reajuste deverá ocorrer em fevereiro de 2010 e o valor previsto para o novo salário é
[tex]1,1415 \cdot 465\ \cong\ R$\ 530,80 [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
O trabalho em empresas de festas exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal.
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta:
FUNCIONÁRIO I : aproximadamente 200 estrelas.
FUNCIONÁRIO II : aproximadamente 6 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO III : aproximadamente 12 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO IV : aproximadamente 22 500 estrelas.
FUNCIONÁRIO V : aproximadamente 22 800 estrelas.
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?
O número de estrelas em cada linha constitui uma progressão aritmética em que o termo geral é dado por an = n, sendo n (n ≥ 1) o número da linha.
A soma dos 150 primeiros termos da progressão é dada por
[tex] S_{(150)} = \frac{(a_{1} + a_{150})}{2} \cdot 150 = \frac{(1 + 50) \cdot 150}{2} = 11\ 325 [tex]
Portanto, como 12.000 é o número mais próximo de 11.325, segue que o funcionário III apresentou o melhor palpite.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura.
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m², considerando π ≈ 3,14, a altura h será igual a
Se a área a ser iluminada mede 28,26 m² e "r" é o raio da área circular iluminada, então
[tex] π \cdot R^{2} = 28,26 [tex]
[tex] R \cong\ \sqrt{\frac{28,26}{3,14}}\ \cong\ 3\ m [tex]
Portanto, como g = 5 m e r = 3 m, pelo teorema de Pitágoras, segue que h = 4 m.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Uma bióloga conduziu uma série de experimentos demonstrando que a cana-de-açúcar mantida em um ambiente com o dobro da concentração atual de CO₂ realiza 30% mais de fotossíntese e produz 30% mais de açúcar do que a que cresce sob a concentração normal de CO₂. Das câmaras que mantinham esse ar rico em gás carbônico, saíram plantas também mais altas e mais encorpadas, com 40% mais de biomassa.
Disponível em:http://revistapesquisa.fapesp.br. Acesso em: 26 set 2008.
Os resultados indicam que se pode obter a mesma produtividade de cana numa menor área cultivada.
Nas condições apresentadas de utilizar o dobro da concentração de CO₂ no cultivo para dobrar a produção da biomassa da cana-de-açúcar, a porcentagem da área cultivada hoje deveria ser, aproximadamente,
Sejam "c", "b" e "a", respectivamente, a concentração de CO₂, a quantidade de biomassa produzida e a área cultivada. Supondo que "c" e "b" são proporcionais e que "a" é inversamente proporcional a "c", vem que
[tex] c = k \cdot \frac{b}{a} → k = \frac{ac}{b} [tex]
Dobrando a quantidade de CO₂ teríamos, de acordo com o enunciado,
[tex] 2c = k \cdot \frac{1,4b}{a'} → 2c = \frac{ac}{b} \cdot \frac{1,4b}{a'} [tex]
[tex] → a = \frac{10}{7} \cdot a' [tex]
Para dobrar a produção da biomassa da cana-de-açúcar, a porcentagem da área cultivada hoje deveria ser tal que
[tex] 2c = k \cdot \frac{2b}{a''} → 2c = \frac{ac}{b} \cdot \frac{2b}{a''} [tex]
[tex] → a'' = \frac{10}{7} \cdot a' \cong\ 142,86 \%[tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos.
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente?
Sejam "a" e "f", respectivamente, os números de porções de 100 gramas de arroz e de feijão que deverão ser ingeridas. De acordo com o enunciado, obtemos o sistema
[tex] \begin{cases} 1,5a + 7f = 12,25 \\ 2a +3f = 10 \end{cases} [tex] → [tex] \begin{cases} 6a + 28f = 49 \\ -6a -9f = -30 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} a = 3,5 \\ f = 1 \end{cases} [tex]
Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser ingeridas são, respectivamente,
3,5 ∙ 100 = 350 g
e
1 ∙ 100 = 100 g
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano, que, por sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira.
Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro?
O número de dias decorridos entre 31 de março e 12 de outubro é dado por
30 + 31+ 30 + 31+ 31+ 30 +12 = 195
Como uma semana tem sete dias, vem que
195 = 7 ∙ 27 + 6
Portanto, sabendo que 31 de março ocorreu em uma terça-feira, segue que 12 de outubro será segunda-feira.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a
Considere a figura, em que O é o centro da base do cilindro cujo raio queremos calcular.
O lado do quadrado ABCD é igual ao diâmetro da base dos cilindros menores. Logo, [tex] \overline{AB} = 2 \cdot 6 = 12\ cm[tex]. Além disso, como [tex] \overline{OB} = \frac{\overline{BD}}{2}[tex] segue que
[tex] \overline{OB} = \frac{\overline{AB} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ cm [tex]
Portanto, o raio da base do cilindro maior é dado por
[tex] \overline{OQ} = \overline{OB} + \overline{BQ} = 6\sqrt{2} + 6 [tex]
[tex] \overline{OQ} = 6(\sqrt{2} + 1)\ cm [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de
Sejam [tex] r_{1} = 2[tex] cm e [tex]h_{1} = 13,5 [tex]cm, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro cujo rótulo custa R$ 0,60.
Se [tex]V_{1}[tex] e [tex]Al_{1}[tex] denotam, respectivamente, a capacidade e a área do rótulo, então
[tex] V_{1} = π \cdot 2^{2} \cdot 13,5 = 54 π\ cm^{3} [tex]
e
[tex] Al_{1} = 2 \cdot π \cdot 2 \cdot 13,5 = 54 π\ cm^{2} [tex]
Sejam [tex]r_{2}[tex] e [tex]h_{2}[tex], respectivamente, o raio da base e a altura da nova embalagem. Como [tex]h_{2} = 2 \cdot r_{2} [tex]e as capacidades das embalagens são iguais, temos que
[tex] V_{1} = V_{2} [tex]
[tex] 54π = πR_{2}^{2} \cdot 2 \cdot R_{2} [tex]
[tex] R_{2} = \sqrt[3]{27} = 3 [tex]
Além disso, a área lateral da nova embalagem é [tex] Al_{2} = 2 \cdot π \cdot 3 \cdot 6 = 36π\ cm^{2}[tex].
Supondo que o custo da embalagem seja diretamente proporcional à área lateral da mesma, obtemos
[tex] C_{1} = k \cdot Al_{1} → k = \frac{0,6}{54π} [tex]
sendo k a constante de proporcionalidade e [tex]c_{1}[tex] o custo da primeira embalagem.
Portanto,
[tex] C_{2} = k \cdot Al_{2} → k = \frac{0,6}{54π} \cdot 36 π = R \$\ 0,40 [tex]
e
[tex] \frac{C_{2}}{ C_{1}} = \frac{36π}{54π} = \frac{2}{3} [tex]
ou seja, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de R$ 0,40, pois haverá uma redução de
[tex] C_{1} - C_{2} = C_{1} - \frac{2}{3}C_{1} = \frac{1}{3}C_{1} [tex]
na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?
O professor pode escolher 3 museus no Brasil de [tex] {4 \choose 3} = 4 [tex] modos distintos e pode escolher 2 museus no exterior de [tex] {4 \choose 3} = \frac{4!}{2!\ \cdot\ 2!} [tex] = 6 maneiras.
Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher os 5 museus para visitar de 4 ∙ 6 = 24 maneiras diferentes.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O valor a ser pago depende do consumo mensal de m³.
Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso significa que ele consumiu
Como R$ 15,00 ≤ R$ 19,00 ≤ R$ 25,00, devemos encontrar a lei da função afim cujo gráfico passa por (15, 15) e (20, 25). Seja [tex]f(x) = ax + b[tex] a lei da função procurada, em que [tex]f(x) [tex] é o valor a ser pago para um consumo de x m³ , com 15 ≤ x ≤ 20.
Temos que
[tex] a = \frac{25 - 15}{20- 15} = \frac{10}{5} = 2 [tex]
e
[tex] f(15) = 15 [tex]
[tex] 15 = 2 \cdot 15 + b [tex]
[tex] b = -15 [tex]
Portanto,
[tex] f(x) = 19 [tex]
[tex] 19 = 2 \cdot x - 15 [tex]
[tex] x = \frac{34}{2} = 17\ m^{3} [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade.
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)?
Sejam v e v', respectivamente, a capacidade da embalagem tradicional e a capacidade da nova embalagem.
Portanto, de acordo com o enunciado, temos
[tex] V' = \frac{1}{3} \cdot V [tex]
[tex] π \cdot (\frac{R}{2})^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot π \cdot R^{2} \cdot h [tex]
[tex] a = \frac{4h}{3} [tex]
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Um dos estádios mais bonitos da Copa do Mundo na África do Sul é o Green Point, situado na Cidade do Cabo, com capacidade para 68 000 pessoas.
CENTAURO. Ano 2, edição 8, mar./abr, 2010.
Em certa partida, o estádio estava com 95% de sua capacidade, sendo que 487 pessoas não pagaram o ingresso que custava 150 dólares cada.
A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é
Se o estádio estava com 95% de sua capacidade, então 0,95 × 68000 pessoas estavam presentes, sendo que 487 não pagaram ingresso.
Logo, o número de pagantes foi 0,95 × 68 000 - 487 e, portanto, o valor arrecadado, em dólares, foi de (0,95 × 68 000 - 487) × 150.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Lucas precisa estacionar o carro pelo período de 40 minutos, e sua irmã Clara também precisa estacionar o carro pelo período de 6 horas.
O estacionamento Verde cobra R$ 5,00 por hora de permanência. O estacionamento Amarelo cobra R$ 6,00 por 4 horas de permanência e mais R$ 2,50 por hora ou fração de hora ultrapassada. O estacionamento Preto cobra R$ 7,00 por 3 horas de permanência e mais R$ 1,00 por hora ou fração de hora ultrapassada.
Os estacionamentos mais econômicos para Lucas e Clara, respectivamente, são
No estacionamento Verde, Lucas pagaria R$ 5,00, enquanto que Clara pagaria 5× 6 = R$ 30,00. No estacionamento Amarelo, Lucas pagaria R$ 6,00, enquanto que Clara pagaria 6 + 2,5 ×2 = R$ 11,00.
No estacionamento Preto, Lucas pagaria R$ 7,00, enquanto que Clara pagaria 7 + 1×3 = R$ 10,00.
Portanto, o estacionamento Verde é a melhor opção para Lucas e o Preto é a melhor escolha para Clara.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Em março de 2010, o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) reajustou os valores de bolsas de estudo concedidas a alunos de iniciação científica, que passaram a receber R$ 360,00 mensais, um aumento de 20% com relação ao que era pago até então. O órgão concedia 29 mil bolsas de iniciação científica até 2009, e esse número aumentou em 48% em 2010.
O Globo. 11 mar. 2010.
Caso o CNPq decidisse não aumentar o valor dos pagamentos dos bolsistas, utilizando o montante destinado a tal aumento para incrementar ainda mais o número de bolsas de iniciação científica no país, quantas bolsas a mais que em 2009, aproximadamente, poderiam ser oferecidas em 2010?
Se x era o valor da bolsa em 2009, então 1,2 ∙ x = 360 ↔ x = R$ 300,00.
Com o aumento de 48% no número de bolsas ofertadas, o número de bolsas em 2010 passou a ser de 1,48 ∙ 29 000 = 42 920.
Tal aumento elevou o montante investido para 360 ∙ 42 920 = R$ 15.451.200,00.
Com esses recursos, seria possível oferecer [tex] \frac{15\ 451\ 200}{300} = 51\ 501[tex] bolsas de R$ 300,00.
Portanto, mantendo o valor da bolsa em R$ 300,00, seria possível oferecer em 2010 51504 - 29000 = 22.504 bolsas a mais do quem em 2009.
(ENEM 2010 - 2ª Aplicação).
Para dificultar o trabalho dos falsificadores, foi lançada uma nova família de cédulas do real. Com tamanho variável - quanto maior o valor, maior a nota - o dinheiro novo terá diversos elementos de segurança. A estreia será entre abril e maio, quando começar a circular as novas notas de R$ 50,00 e R$ 100,00.
As cédulas atuais têm 14 cm de comprimento e 6,5 de largura. A maior cédula será a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 0,5 cm a mais na largura.
Quais serão as dimensões da nova cédula de R$ 100,00?
Basta somar 1,6 cm no comprimento e 0,5 cm na largura das cédulas atuais:
Comprimento atual: 14 cm
14 cm + 1,6 cm = 15,6 cm (comprimento da cédula nova)
Largura atual: 6,5 cm
6,5 cm + 0,5 cm = 7 cm (largura da cédula nova)
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