(CEB).
Pela Relação de Euler, tem-se que [tex] F + V = A + 2[tex], onde F é o número de faces, V o número de vértices e, A o número de arestas.
Qual é o número de faces de um poliedro convexo, que tem 9 arestas e 6 vértices?
Como esse poliedro tem A = 9 arestas e V = 6 vértices. Logo, o número de faces é:
[tex] F + V = A + 2 [tex]
[tex] F + 6 = 9 + 2 [tex]
[tex] F + 6 = 11 - 6 [tex]
[tex] F = 5\ faces [tex]
Portanto, opção "C".
(CEB).
Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um octaedro, somente uma vez, um deficiente visual percebe que passou por 6 vértices e 12 arestas.
Pela relação de Euler, [tex] F + V = A + 2[tex], o número de faces desse poliedro é, então, igual a:
Como esse poliedro tem A = 12 arestas e 6 vértices. Logo, o número de faces é:
[tex] F + V = A + 2 [tex]
[tex] F + 6 = 12 + 2 [tex]
[tex] F = 14 - 6 [tex]
[tex] F = 8\ faces [tex]
Portanto, opção "C".
No texto foi informado que o poliedro é um octaedro (8 faces).
Logo, opção "C".
(1ª PD – 2012).
Um aluno ao passar a mão por um poliedro percebe que ele passou por 4 faces e 6 vértices.
O número de arestas desse poliedro é igual a
Como esse poliedro tem F = 4 faces e V = 6 vértices. Logo, o número de arestas é:
[tex] F + V = A + 2 [tex]
[tex] 4 + 6 = A + 2 [tex]
[tex] 10 - 2 = A [tex]
[tex] A = 8\ arestas [tex]
Portanto, opção "D".
(Saresp-2009).
Um poliedro convexo tem 20 vértices e 30 arestas.
(Lembre-se: V + F = 2 + A).
Este poliedro é um:
Como esse poliedro tem V = 20 vértices e A = 30 arestas. Logo, o número de faces é:
[tex] F + V = A + 2 [tex]
[tex] F + 20 = 30 + 2 [tex]
[tex] F = 32 - 20 [tex]
[tex] A = 12\ faces [tex]
Portanto, opção "C".
(SAEPE).
Ao construir um dodecaedro com papel colorido, João percebeu que esse poliedro possui 12 faces pentagonais e 20 vértices.
Quantas arestas possui o dodecaedro?
Como esse poliedro tem V = 20 vértices e F = 12 faces. Logo, o número de arestas é:
[tex] F + V = A + 2 [tex]
[tex] 12 + 20 = A + 2 [tex]
[tex] 32 - 2 = A [tex]
[tex] A = 30\ arestas [tex]
Portanto, opção "B".
(SAEPE).
Cláudia aprendeu a fazer um poliedro com papel colorido que tem 6 faces triangulares, 8 faces quadrangulares e 10 faces hexagonais.
Qual é o número de arestas e vértices desse poliedro, respectivamente?
Observe o esquema a seguir:
Ao construir o poliedro duas arestas de unem formando uma. Logo:
[tex] arestas = \frac{18+32+60}{2} = \frac{110}{2} = 55 [tex]
E, o número de faces é:
[tex] F + V = A + 2 [tex]
[tex] 24 + V = 55 + 2 [tex]
[tex] V = 57 - 24 [tex]
[tex] V = 33\ vértices [tex]
Portanto, opção "B".
(Avaliação Paraíba).
Uma caixa no formato de um poliedro precisa ser reforçada com 3 parafusos em cada vértice, um revestimento de metal nas suas 7 faces e uma aplicação de uma cola especial em todas as 15 arestas.
(Se necessário utilize a expressão V – A + F = 2).
A quantidade necessária de parafusos será igual a:
Esse poliedro tem 7 faces e 15 arestas. Logo, o número de vértices será:
[tex] 7 + V = 15 + 2 [tex]
[tex] V = 17 - 7 [tex]
[tex] V = 10\ vértices [tex]
Como são gastos 3 parafusos em cada vértice. Logo:
[tex]nº\ de\ parafusos = 3 × 10 = 30 [tex]
Portanto, opção "D".
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