(SAEPE).
No gráfico abaixo, está representada a função [tex] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+}[tex] definida por [tex]f(x) = 3^{x}[tex] e sua inversa.
/D28EM01.png )
A função inversa de [tex]f(x) = 3^{x}[tex] representada no gráfico por [tex]f^{–1}(x) = y [tex] é
Calculando a função inversa [tex] f^{-1}(x) [tex] da função [tex]f(x) = 3^{x}[tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 3^{x}[tex]
[tex] x = 3^{y}[tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b [tex].
[tex] y = log_{(3)}x [tex]
Logo, opção C.
(SAEB).
Em uma indústria de um determinado metal utilizado em computadores, a sua produção segue a lei [tex] f(x) = 2^{x-1}[tex], onde [tex]f(x) [tex] representa a produção do metal e x, o tempo gasto para a sua produção. O diretor financeiro dessa indústria pediu que seu auxiliar técnico montasse o gráfico da lei inversa da função acima, de modo que pudesse mostrar à diretoria o tempo para determinadas produções.
O novo gráfico corresponde à função
Calculando a função inversa [tex] f^{-1}(x) [tex] da função [tex] y = 2^{x-1}[tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 2^{x-1} [tex]
[tex] x = 2^{y-1}[tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b [tex].
[tex] y - 1 = log_{2}(x) [tex]
[tex] y = 1 + log_{2}(x) [tex]
[tex] f^{-1}(x) = 1 + log_{2}(x) [tex]
Logo, opção E.
(CEB).
Se a altura de planta dobra a cada mês, durante certo período de sua vida. A função [tex] H(x) = 2^{x} [tex] representa esta situação, onde x é a altura da planta.
O crescimento desta planta está representado pela função [tex] H(x) = 2^{x} [tex]. Um botânico fez um gráfico da lei inversa da função acima, de modo que pudesse mostrar aos seus colegas o desenvolvimento desta planta.
O novo gráfico corresponde à função:
Calculando a função inversa [tex] H^{-1}(x) [tex] da função [tex] H(x) = y = 2^{x} [tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 2^{x} [tex]
[tex] x = 2^{y}[tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b [tex].
[tex] y = log_{2}(x) [tex]
[tex] H^{-1}(x) = log_{2}(x) [tex]
Logo, opção C.
(CEB).
Uma rampa para manobras de skate de campeonato mundial é representada pelo esquema abaixo:
/D28EM02.png )
A parte da curva está associada a função [tex] h(x) = (0,5)^{x-2} [tex]. Um representante da organização da prova pediu que seu auxiliar técnico montasse o gráfico da lei inversa da função acima, de modo que pudesse mostrar aos técnicos dos atletas. O novo gráfico corresponde à função:
Calculando a função inversa [tex] h^{-1}(x) [tex] da função [tex] h(x) = y = (0,5)^{x-2} [tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = (0,5)^{x-2} [tex]
[tex] x = (0,5)^{y-2} [tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b [tex].
[tex] y - 2 = log_{0,5}(x) [tex]
[tex] y = 2 + log_{0,5}(x) [tex]
[tex] h^{-1}(x) = 2 + log_{0,5}(x) [tex]
Logo, opção B.
(CEB).
Abaixo estão representados dois gráficos.
GRÁFICO 01
GRÁFICO 02
De acordo com os gráficos,
Observe:
A) O gráfico 1 é uma função exponencial e [tex] y = 2x [tex] é uma função de 1º grau. (Falso)
B) O gráfico 2 é uma função logaritmo e [tex] y = x^{2} + 1 [tex] é uma função de 2º grau. (Falso)
C) O gráfico 2 é uma função logaritmo e [tex] y = log_{2}(x) [tex] é uma função logaritmo. (Verdadeira)
D) O gráfico 2 é uma função logaritmo e [tex] y = 2^{x} [tex] é uma função exponencial. (Falso)
E) O gráfico 2 é uma função logaritmo de base 2 e [tex] y = log(x) [tex] é uma função logaritmo de base 10. (Falso)
Logo, opção C.
(CEB).
Dada a função [tex] f(x) = 3^{x}[tex].
Qual é a melhor representação gráfica da função [tex] f^{-1}(x)[tex]?
Cálculo da função inversa [tex]f^{-1}[tex] da função [tex] f(x) = 3^{x}[tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 3^{x} [tex]
[tex] x = 3^{y} [tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b[tex].
[tex] y = log_{3}(x) [tex]
[tex] f^{-1} = log_{3}(x) [tex]
Portanto, o gráfico de uma função logaritmo citado acima é a opção B.
(SAEPE).
Observe abaixo a lei de formação de uma função exponencial [tex] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+}[tex].
[tex]f(x) = 2^{x} [tex]
Considere a função [tex]f^{–1}(x) = g(x) [tex]como sendo a inversa da função f dada.
Qual é a lei de formação da função inversa [tex]f^{–1}(x) = g(x) [tex]?
Cálculo da função inversa [tex]g^{-1}[tex] da função [tex] f(x) = 2^{x}[tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 2^{x} [tex]
[tex] x = 2^{y} [tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b[tex].
[tex] y = log_{2}(x) [tex]
[tex] g^{-1} = log_{2}(x) [tex]
Portanto, opção B.
(SAEPE).
Qual é o gráfico que representa a função inversa da função [tex] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+}[tex], definida por [tex] f(x) = 5^{x} [tex]?
Cálculo da função inversa [tex]f^{-1}[tex] da função [tex] f(x) = 5^{x}[tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 5^{x} [tex]
[tex] x = 5^{y} [tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b[tex].
[tex] y = log_{5}(x) [tex]
[tex] f^{-1} = log_{5}(x) [tex]
Portanto, o gráfico da função logaritmo de base 5 é a opção "C".
(SAEPE).
Qual é a função inversa da função [tex] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+}[tex], definida por [tex] f(x) = 11^{x} [tex]?
Cálculo da função inversa [tex]f^{-1}[tex] da função [tex] f(x) = 11^{x}[tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 11^{x} [tex]
[tex] x = 11^{y} [tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b[tex].
[tex] y = log_{11}(x) [tex]
[tex] f^{-1} = log_{11}(x) [tex]
Portanto, opção E.
(SAEPE).
No jardim de um determinado parque, existe um tipo de vegetação rasteira que, no 1º mês após o plantio, ocupava 2 m² de área verde. A função descrita no quadro abaixo permite calcular a medida da área S(t) ocupada por essa vegetação daqui a t meses.
[tex] S(t) = 2 + log_{2}t [tex]
Qual será a medida da área ocupada, em m², por essa vegetação daqui a 1 ano e 4 meses?
Observe:
tempo = t = 1 ano e 4 meses = 16 meses
[tex] S(t) = 2 + log_{2}t [tex]
[tex] S(16) = 2 + log_{2}(16) [tex]
[tex] S(16) = 2 + log_{2}(2^{4}) [tex]
[tex] S(16) = 2 + 4 \cdot log_{2}(2) [tex]
[tex] S(16) = 2 + 4 \cdot 1 [tex]
[tex] S(16) = 6\ m^{2} [tex]
Portanto, opção C.
(SAEPE).
Observe abaixo o gráfico da função [tex] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+}[tex].
Qual é a lei de formação dessa função?
Observe que o gráfico intercepta os pontos (1, 0) e (4, 2). Logo, por tentativa em [tex] f(x) = log_{2}(x) [tex]:
Para (1, 0):
[tex] f(1) = log_{2}1 = 0 [tex] (Verdadeiro)
Para (4, 2):
[tex] f(4) = log_{2}(4) = log_{2}(2^{2}) = 2 \cdot log_{2}(2) [tex]
[tex] = 2 \cdot 1 = 2 [tex] (Verdadeiro)
Portanto, opção B.
(2ª P.D – Seduc – GO 2012).
Entre os gráficos a seguir, qual é a alternativa que melhor representa o gráfico da função inversa de [tex] f(x) = 10^{x}[tex].
Cálculo da função inversa [tex]f^{-1}[tex] da função [tex] f(x) = 10^{x}[tex]. Efetuando a troca x e por y e isolar y. Logo:
[tex] y = 10^{x} [tex]
[tex] x = 10^{y} [tex]
Agora, aplicação a definição de logaritmo: [tex] log_{a}b = x \iff a^{x} = b[tex].
[tex] y = log_{10}(x) [tex]
[tex] f^{-1} = log_{10}(x) [tex]
Agora, o único gráfico que intercepta o ponto (1, 0) é o gráfico da opção C. Pois,
[tex] f^{-1}(1) = log_{10}(1) = 0 [tex]
Obrigada
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