(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
O boliche é um esporte cujo objetivo é derrubar, com uma bola, uma série de pinos alinhados em uma pista. A professora de matemática organizou um jogo de boliche em que os pinos são garrafas que possuem rótulos com números, conforme mostra o esquema.
O aluno marca pontos de acordo com a soma das quantidades expressas nos rótulos das garrafas que são derrubadas. Se dois ou mais rótulos representam a mesma quantidade, apenas um deles entra na contagem dos pontos. Um aluno marcou 7,55 pontos em uma jogada. Uma das garrafas que ele derrubou tinha o rótulo 6,8.
A quantidade máxima de garrafas que ele derrubou para obter essa pontuação é igual a
Observa-se que:
7,55 – 6,8 = 0,75
Logo, os possíveis pinos que corresponde a 0,75 é:
• pino: [tex] \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0,75 [tex]
• pino: [tex] \frac{3}{4} = 0,75 [tex]
• pino: [tex] \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 [tex]
• Pino: 34% = 0,34
• Pino: 75% = 0,75
Excluindo os pinos que ultrapassam o limite de 7,55 restam 6 pinos.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre a superfície terrestre são a latitude e a longitude. Para tal, considera-se que a Terra tem a forma de uma esfera.
Um meridiano é uma circunferência sobre a superfície da Terra que passa pelos polos Norte e Sul, representados na figura por PN e PS. O comprimento da semicircunferência que une os pontos PN e PS tem comprimento igual a 20 016 km. A linha do Equador também é uma circunferência sobre a superfície da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano que a contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano.
Seja P um ponto na superfície da Terra, C o centro da Terra e o segmento [tex] \overline{PC}[tex] um raio, conforme mostra a figura. Seja ϕ o ângulo que o segmento faz com o plano que contém a linha do Equador. A medida em graus de ϕ é a medida da latitude de P.
Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção ao Polo Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto P com 30 graus de latitude.
Quantos quilômetros são percorridos pelo navio?
Observe que o comprimento da semicircunferência que une os pontos PN e PS tem comprimento igual a 20 016 km e tem um arco de 180°.
Logo, por regra de três simples, obtemos:
20 016 km ------ 180°
x km ------ 30°
[tex] 180° x = 30 \cdot 20\ 016 [tex]
[tex] x = \frac{30\ \cdot\ 20\ 016}{180} [tex]
[tex] x = \frac{20\ 016}{6} [tex]
[tex] x = 3\ 336\ km [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Um asteroide batizado de 2013-TV135 passou a aproximadamente 6,7 × 10⁶ quilômetros da Terra. A presença do objeto espacial nas proximidades da Terra foi detectada por astrônomos ucranianos, que alertaram para uma possível volta do asteroide em 2032.
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 30 out. 2013.
O valor posicional do algarismo 7, presente na notação científica da distância, em quilômetro, entre o asteroide e a Terra, corresponde a
Observe que:
= 6,7 × 10⁶ km
= 6,7 × 1 000 000 km
= 6 700 000 km
Logo, o valor posicional do algarismo 7 é:
7 centenas de milhar de quilômetros.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
A ingestão de sódio no Brasil, que já é normalmente alta, tende a atingir os mais elevados índices no inverno, quando cresce o consumo de alimentos calóricos e condimentados. Mas, o sal não é um vilão, ele pode e deve ser consumido diariamente, salvo algumas restrições. Para uma pessoa saudável, o consumo máximo de sal de cozinha (cloreto de sódio) não deve ultrapassar 6 g diárias ou 2,4 g de sódio, considerando que o sal de cozinha é composto por 40% de sódio e 60% de cloro.
Disponível em: http://depoisdos25.com. Acesso em: 31 jul. 2012 (adaptado).
Considere uma pessoa saudável que, no decorrer de 30 dias, consuma 450 g de sal de cozinha.
O seu consumo médio diário excede ao consumo máximo recomendado diariamente em
Primeiramente encontrar a quantidade de sal de cozinha consumido por dia.
[tex] \frac{450\ g}{30\ dias} = 15\ g/dia [tex]
Agora, encontrando o valor percentual que excedeu a quantidade ideal de sal de cozinha.
6g ----- 100 %
15g ----- x %
[tex] 6x = 15 \cdot 100 [tex]
[tex] x = \frac{1500}{6} = 250 \%\ [tex]
Logo, o consumo médio excedente é de:
250% – 100% = 150%
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para transmitir músicas a partir do seu computador para o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves seletoras e cada uma pode estar na posição 0 ou 1.
Cada escolha das posições dessas chaves corresponde a uma frequência diferente de transmissão.
A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho pode transmitir é determinada por
Como esse aparelho tem 4 chaves seletores e cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Logo,
[tex] 2^{n} = 2^{4} = 16 [tex] frequências diferentes
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Um gerente decidiu fazer um estudo financeiro da empresa onde trabalha analisando as receitas anuais dos três últimos anos. Tais receitas são apresentadas no quadro.
Estes dados serão utilizados para projetar a receita mínima esperada para o ano atual (ano IV), pois a receita esperada para o ano IV é obtida em função das variações das receitas anuais anteriores, utilizando a seguinte regra: a variação do ano IV para o ano III será igual à variação do ano III para o II adicionada à média aritmética entre essa variação e a variação do ano II para o I.
O valor da receita mínima esperada, em bilhão de reais, será de
Efetuando as variações:
Variação do ano II para o I:
4,2 – 2,2 = 2 bilhões
Variação do ano III para o II:
7,4 – 4,2 = 3,2 bilhões
Agora, a média aritmética dos dois valores calculados acima.
[tex] \frac{2 + 3,2}{2} = \frac{5,2}{2} = 2,6\ bilhões [tex]
Agora, adicionando à média aritmética entre essas variações.
3,2 + 2,6 = 5,8 bilhões
Variação do ano IV para o ano III = 5,8 bilhões. Ou seja, (receita ano IV) – (receita ano III) = 5,8
→ (receita ano IV) – 7,4 = 5,8
→ (receita ano IV) = 5,8 + 7,4
→ (receita ano IV) = 13,2 bilhões
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Em uma corrida de regularidade, cada corredor recebe um mapa com o trajeto a ser seguido e uma tabela indicando intervalos de tempo e distâncias entre postos de averiguação. O objetivo dos competidores é passar por cada um dos postos de averiguação o mais próximo possível do tempo estabelecido na tabela. Suponha que o tempo previsto para percorrer a distância entre dois postos de verificação consecutivos seja sempre de 5 min 15 s, e que um corredor obteve os seguintes tempos nos quatro primeiros postos.
Caso esse corredor consiga manter o mesmo ritmo, seu tempo total de corrida será
Primeiro calcular o número de posto (n) da progressão aritmética (P.A) do tempo previsto:
Dados:
[tex] a_{1} = 5min\ 15s = 315s [tex]
[tex] a_{2} = 10min\ 30s = 630s [tex]
[tex] a_{3} = 15min\ 45s = 945s [tex]
[tex] r = 5min\ 15s = 315s [tex]
[tex] a_{n} = 1h\ 55min\ 30s = 6930s [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] 6930 = 315 + (n - 1) \cdot 315 [tex]
[tex] 6930 - 315 = (n - 1) \cdot 315 [tex]
[tex] \frac{6615}{315} = n - 1 [tex]
[tex] 21 = n - 1 [tex]
[tex] n = 22 [tex]
Agora, encontrar o último termo da P.A do tempo obtido pelo corredor.
Dados:
1° posto: 5min 27s = 327s
2° posto: 10min 54s = 654s
3° posto: 16min 21s = 981s
4° posto: 21min 48s = 1308s
n° posto: ??
r = 654 – 327 = 327
Sendo assim, obtemos:
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{n} = 327 + (22 - 1) \cdot 327 [tex]
[tex] a_{n} = 327 + 21 \cdot 327 [tex]
[tex] a_{n} = 327 + 6 867 [tex]
[tex] a_{n} = 7 194 [tex]
Logo,
7 194s = 119,9 min = 119 min + 54s = 1 h 59 min 54s
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Um pintor cobra R$ 240,00 por dia de trabalho, que equivale a 8 horas de trabalho num dia. Quando é chamado para um serviço, esse pintor trabalha 8 horas por dia com exceção, talvez, do seu último dia nesse serviço. Nesse último dia, caso trabalhe até 4 horas, ele cobra metade do valor de um dia de trabalho. Caso trabalhe mais de 4 horas, cobra o valor correspondente a um dia de trabalho. Esse pintor gasta 8 horas para pintar uma vez uma área de 40 m². Um cliente deseja pintar as paredes de sua casa, com uma área total de 260 m². Ele quer que essa área seja pintada o maior número possível de vezes para que a qualidade da pintura seja a melhor possível. O orçamento desse cliente para a pintura é de R$ 4 600,00.
Quantas vezes, no máximo, as paredes da casa poderão ser pintadas com o orçamento do cliente?
Encontrar o número de dias trabalhado pelo pintor:
[tex] \frac{4\ 600,00}{240,00} \cong 19,167 [tex] = 19 dias inteiros e ainda sobra R$ 40,00.
1 dia ------ 40 m²
19 dias ---- x m²
x = 19 ∙ 40 = 760 m²
Como a área total é de 260 m². Logo, o máximo de vezes que poderá pintar a cada é de:
[tex] \frac{760\ m²}{260\ m²} \cong 2,923 [tex]
Portanto, será pintado no máximo 2 casas inteira.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera.
O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a
Como o código de segurança tem 4 algarismos e a pessoa só conseguiu ativar o rádio somente na 4ª tentativa. Logo,
___ ___ ___ ___
1ª tentativa: 60s + 30s de espera = 90s
2ª tentativa: 120s + 30s de espera = 150s
3ª tentativa: 240s + 30s de espera = 270s
4ª tentativa: 30s de espera + código correto.
Portanto, o tempo total é:
90 + 150 + 270 + 30 = 540 s
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Os movimentos ondulatórios (periódicos) são representados por equações do tipo [tex]± A\ sen(wt + θ)[tex], que apresentam parâmetros com significados físicos importantes, tais como a frequência [tex] w = \frac{2π}{T}[tex], em que T é o período; A é a amplitude ou deslocamento máximo; θ é o ângulo de fase [tex] 0 ≤ θ < \frac{2π}{T} [tex], que mede o deslocamento no eixo horizontal em relação à origem no instante inicial do movimento.
O gráfico representa um movimento periódico, P = P(t), em centímetro, em que P é a posição da cabeça do pistão do motor de um carro em um instante t, conforme ilustra a figura.
A expressão algébrica que representa a posição P(t), da cabeça do pistão, em função do tempo t é
Verificar a validade do par ordenado [tex] (\frac{π}{4}, \ 4) [tex] em cada função.
a) [tex]P(\frac{π}{4}) = 4\ sen(2t) = 4\ sen(2 \cdot \frac{π}{4})[tex]
[tex]= 4\ sen(\frac{π}{2}) = 4 \cdot 1 = 4[tex] (Verdadeiro)
b) [tex]P(\frac{π}{4}) = -4\ sen(2t) = -4\ sen(2 \cdot \frac{π}{4})[tex]
[tex] = -4\ sen(\frac{π}{2}) = -4 \cdot 1 = -4[tex] (Falso)
c) [tex] P(\frac{π}{4}) = -4\ sen(4t) = -4\ sen(4 \cdot \frac{π}{4}) [tex]
[tex] = -4\ sen(π) = -4 \cdot 0 = 0[tex] (Falso)
d) [tex] P(\frac{π}{4}) = 4\ sen(2t + \frac{π}{4}) = 4\ sen(2 \cdot \frac{π}{4} + \frac{π}{4}) [tex]
[tex] = 4\ sen(\frac{3π}{4}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}[tex] (Falso)
e) [tex] P(\frac{π}{4}) = 4\ sen(4t + \frac{π}{4}) = 4\ sen(4 \cdot \frac{π}{4} + \frac{π}{4}) [tex]
[tex] = 4\ sen(\frac{5π}{4}) = 4 \cdot \frac{-\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} [tex] (Falso)
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
A conta de telefone de uma loja foi, nesse mês, de R$ 200,00. O valor da assinatura mensal, já incluso na conta, é de R$ 40,00, o qual dá direito a realizar uma quantidade ilimitada de ligações locais para telefones fixos. As ligações para celulares são tarifadas separadamente. Nessa loja, são feitas somente ligações locais, tanto para telefones fixos quanto para celulares.
Para reduzir os custos, o gerente planeja, para o próximo mês, uma conta de telefone com valor de R$ 80,00.
Para que esse planejamento se cumpra, a redução percentual com gastos em ligações para celulares nessa loja deverá ser de
Pelo enunciado, temos que a conta total e de R$ 200,00 e assinatura mensal de R$ 40,00.
Agora, obter o gasto com ligações para celulares:
200 – 40 = 160
E o objetivo é reduzir a conta para apenas R$ 80,00.
Lembra-se que no próximo mês, a assinatura mensal continua sendo de RS 40,00. Então, o gasto com ligações para celulares deve ser de:
80 – 40 = 40
Portanto, a empresa dever reduzir esse gasto em:
160 – 40 = 120
Logo, a redução em porcentagem é dado por:
R$ 160 ---------- 100 %
R$ 120 ------------ x %
[tex] x = \frac{120\ \cdot\ 100}{160} = \frac{12\ 000}{160} = 75\ \%\ [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma equipe de cientistas decidiu iniciar uma cultura com exemplares de uma bactéria, em uma lâmina, a fim de determinar o comportamento dessa população. Após alguns dias, os cientistas verificaram os seguintes fatos:
• a cultura cresceu e ocupou uma área com o formato de um círculo;
• o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia;
• a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado e não mudou significativamente com o tempo.
Considere que r representa o raio do círculo no primeiro dia, Q a quantidade de bactérias nessa cultura no decorrer do tempo e d o número de dias transcorridos.
Qual é a expressão que representa Q em função de r e d?
Sabendo que a área do círculo é dado por πR². Então, podemos deduzir a seguinte expressão:
1° dia: [tex] Q = 1000 \cdot (r)^{2} π [tex]
2° dia: [tex] Q = 10^{3} \cdot (1,1r)^{2} π [tex]
3° dia: [tex] Q = 10^{3} \cdot (1,1^{2}r)^{2} π [tex]
4° dia: [tex] Q = 10^{3} \cdot (1,1^{3}r)^{2} π [tex]
...
d° dia: [tex] Q = 10^{3} \cdot (1,1^{d-1}r)^{2} π [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Deseja-se comprar determinado produto e, após uma pesquisa de preços, o produto foi encontrado em 5 lojas diferentes, a preços variados.
• Loja 1: 20% de desconto, que equivale a R$ 720,00, mais R$ 70,00 de frete;
• Loja 2: 20% de desconto, que equivale a R$ 740,00, mais R$ 50,00 de frete;
• Loja 3: 20% de desconto, que equivale a R$ 760,00, mais R$ 80,00 de frete;
• Loja 4: 15% de desconto, que equivale a R$ 710,00, mais R$ 10,00 de frete;
• Loja 5: 15% de desconto, que equivale a R$ 690,00, sem custo de frete.
O produto foi comprado na loja que apresentou o menor preço total.
O produto foi adquirido na loja
Utilizando regra de simples e somando com o frete, de suas respectivas lojas, obtemos:
Loja 1: [tex] \frac{720\ \cdot\ 100}{20} + 70 = \frac{720\ 000}{20} + 70 = [tex]
[tex] = 3600 + 70 = 3\ 670,00 [tex]
Loja 2: [tex] \frac{740\ \cdot\ 100}{20} + 50 = \frac{74\ 000}{20} + 50 =[tex]
[tex] = 3700 + 50 = 3\ 750,00 [tex]
Loja 3: [tex] \frac{760\ \cdot\ 100}{20} + 80 = \frac{76\ 000}{20} + 80 =[tex]
[tex] = 3800 + 80 = 3\ 880,00 [tex]
Loja 4: [tex] \frac{710\ \cdot\ 100}{15} + 10 = \frac{71\ 000}{15} + 10 = [tex]
[tex] = 4\ 733,33 + 10 = 3\ 743,33 [tex]
Loja 5: [tex] \frac{690\ \cdot\ 100}{15} + 0 = \frac{69\ 000}{15} = 4\ 600,00 [tex]
Portanto, o produto deverá ser adquirido na loja 1.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Para a compra de um repelente eletrônico, uma pessoa fez uma pesquisa nos mercados de seu bairro. Cada tipo de repelente pesquisado traz escrito no rótulo da embalagem as informações quanto à duração, em dia, associada à quantidade de horas de utilização por dia. Essas informações e o preço por unidade foram representados no quadro.
A pessoa comprará aquele que apresentar o menor custo diário, quando ligado durante 8 horas por dia.
Nessas condições, o repelente eletrônico que essa pessoa comprará é do tipo
Vamos analisar cada produto utilizando regra de simples:
Duração (h) R$
(30 × 12) --------- 12,00
8 h ------------- x
Produto I: [tex] x = \frac{8\ \cdot\ 12}{30\ \cdot\ 12} = \frac{96}{360} \cong 0,26 [tex]
Produto II: [tex] x = \frac{8\ \cdot\ 9}{32\ \cdot\ 9} = \frac{72}{288} = 0,25 [tex]
Produto III: [tex] x = \frac{8\ \cdot\ 10}{40\ \cdot\ 10} = \frac{80}{400} = 0,20 [tex]
Produto IV: [tex] x = \frac{8\ \cdot\ 11}{44\ \cdot\ 8} = \frac{88}{352} = 0,25 [tex]
Produto V: [tex] x = \frac{8\ \cdot\ 12}{48\ \cdot\ 8} = \frac{96}{384} = 0,25 [tex]
Portanto, o repelente eletrônico que deverá ser comprado é o III.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
O modelo predador-presa consiste em descrever a interação entre duas espécies, sendo que uma delas (presa) serve de alimento para a outra (predador). A resposta funcional é a relação entre a taxa de consumo de um predador e a densidade populacional de sua presa. A figura mostra três respostas funcionais (f, g, h), em que a variável independente representa a densidade populacional da presa.
Disponível em: www.jornallivre.com.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).
Qual o maior intervalo em que a resposta funcional f(x) é menor que as respostas funcionais g(x) e h(x), simultaneamente?
Pelo enunciado a resposta funcional é a relação entre a taxa de consumo de um predador e a densidade populacional de sua presa. Desta forma, o maior intervalo em que f(x) é menor que as respostas funcionais g(x) e h(x), simultaneamente é dado por C - E como mostra na representação a seguir.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Na anestesia peridural, como a usada nos partos, o médico anestesista precisa introduzir uma agulha nas costas do paciente, que atravessará várias camadas de tecido até chegar a uma região estreita, chamada espaço epidural, que envolve a medula espinhal. A agulha é usada para injetar um líquido anestésico, e a força que deve ser aplicada à agulha para fazê-la avançar através dos tecidos é variável.
A figura é um gráfico do módulo F da força (em newton) em função do deslocamento x da ponta da agulha (em milímetro) durante uma anestesia peridural típica. Considere que a velocidade de penetração da agulha deva ser a mesma durante a aplicação da anestesia e que a força aplicada à agulha pelo médico anestesista em cada ponto deve ser proporcional à resistência naquele ponto.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: lTC, 2008.
Com base nas informações apresentadas, a maior resistência à força aplicada observa-se ao longo do segmento
A resistência será dada pela razão entre a força e o deslocamento da agulha. Logo,
Trecho AB: [tex] \frac{F}{x} = \frac{12}{8} = 1,5\ N/mm [tex]
Trecho fG: [tex] \frac{F}{x} = \frac{4}{2} = 2\ N/mm [tex]
Trecho Ef: [tex] \frac{F}{x} = \frac{8}{6} \cong 1,33\ N/mm [tex]
Trecho GH: [tex] \frac{F}{x} = \frac{12}{2} = 6\ N/mm [tex]
Trecho hl: [tex] \frac{F}{x} = \frac{-9}{2} = -4,5\ N/mm [tex]
Logo, a maior resistência será no trecho Gh.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram:
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado.
Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a
Vamos obter a função quadrática como foi informado pelo enunciado. Logo,
[tex] Q(t) = at² + bt + c [tex]
Para (0, 1): [tex] 1 = a \cdot 0² + b \cdot 0 + c → c = 1 [tex]
Para (1, 4): [tex]4 = a \cdot 1² + b \cdot 1 + 1 → 4 - 1 = a + b [tex]
[tex] → 3 = a + b[tex] (I)
Para (2, 6): [tex]6 = a \cdot 2² + b \cdot 2 + 1 → 6 - 1 = 4a + 2b [tex]
[tex] → 5 = 4a + 2b [tex] (II)
Agora, resolvendo o sistema de equações obtido pelas equações (I) e (II).
[tex] \begin{cases} 3 = a + b ×(-2) \\ 5 = 4a + 2b \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -6 = -2a -2b \\ 5 = 4a + 2b \end{cases} [tex]
[tex] -1 = 2a [tex]
[tex] a = - \frac{1}{2} [tex]
e
[tex] 3 = - \frac{1}{2} + b \Longrightarrow b = 3 + \frac{1}{2} = 3,5 = \frac{7}{2} [tex]
Por último, encontrar a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado, ou seja, no intervalo (3, ?).
[tex] Q(t) = at² + bt + c [tex]
[tex] Q(3) = - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 3,5 \cdot 3 + 1 [tex]
[tex] Q(3) = - 0,5 \cdot 9 + 10,5 + 1 [tex]
[tex] Q(3) = - 4,5 + 11,5 [tex]
[tex] Q(3) = 7 [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é [tex] h = 5 \cdot log_{2}(t + 1)[tex], em que t é o tempo contado em dia e h, a altura da planta em centímetro.
A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima?
Calculando o tempo em que a planta é colocada a venda: (h = 30 cm).
[tex] 30 = 5 \cdot log_{2}(t + 1) [tex]
[tex] \frac{30}{5} = log_{2}(t + 1) [tex]
[tex] 6 = log_{2}(t + 1) [tex]
[tex] 2^{6} = t + 1 [tex]
[tex] 64 -1 = t [tex]
[tex] t = 63\ dias [tex]
Agora, calcular o tempo em que a planta atinge a altura máxima (h = 40 cm).
[tex] 40 = 5 \cdot log_{2}(t + 1) [tex]
[tex] \frac{40}{5} = log_{2}(t + 1) [tex]
[tex] 8 = log_{2}(t + 1) [tex]
[tex] 2^{8} = t + 1 [tex]
[tex] 256 - 1 = t [tex]
[tex] t = 255\ dias [tex]
Sendo assim, a planta a partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, ela leva 192 dias para chegar a sua altura máxima. Ou seja,
255 – 63 = 192 dias
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma formiga encontra-se no ponto X, no lado externo de um copo que tem a forma de um cilindro reto. No lado interno, no ponto V, existe um grão de açúcar preso na parede do copo. A formiga segue o caminho XYZWV (sempre sobre a superfície lateral do copo), de tal forma que os trechos ZW e WV são realizados na superfície interna do copo. O caminho XYZWV é mostrado na figura.
Sabe-se que: os pontos X, V, W se encontram à mesma distância da borda; o trajeto WV é o mais curto possível; os trajetos XY e ZW são perpendiculares à borda do copo; e os pontos X e V se encontram diametralmente opostos.
Supondo que o copo é de material recortável, realiza-se um corte pelo segmento unindo P a Q, perpendicular à borda do copo, e recorta-se também sua base, obtendo então uma figura plana. Desconsidere a espessura do copo.
Considerando apenas a planificação da superfície lateral do copo, a trajetória da formiga é
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial [tex] N(t) = N_{0}e^{kt}[tex], em que [tex] N_{0}[tex] é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.
Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.
Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi
No enunciado temos que após 1 hora de observação o número de bactérias foi triplicado. Ou seja, [tex] 3N_{0} [tex]. Agora, vamos encontrar o valor da constante [tex]e^{k}[tex].
[tex] N(t) = N_{0} \cdot e^{kt}[tex]
[tex] 3 N_{0} = N_{0} \cdot e^{k \cdot 1}[tex]
[tex] \frac{3 N_{0}}{N_{0}} = e^{k \cdot 1}[tex]
[tex] 3 = e^{k}[tex]
Por último encontrar o número de bactérias após 5 horas de observação.
[tex] N(t) = N_{0} \cdot e^{kt}[tex]
[tex] N(5) = N_{0} \cdot e^{k \cdot 5}[tex]
[tex] N(5) = N_{0} \cdot (e^{k})^{5}[tex]
[tex] N(5) = N_{0} \cdot (3)^{5}[tex]
[tex] N(5) = 243 N_{0} [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.
Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?
Pela figura, temos:
V = 16
F = 11
A = 24
Verificando a vericidade em cada alternativa:
A) V + F = A → 16 + 11 = 24 → 27 = 24 (Falsa)
B) V + F = A - 1 → 16 + 11 = 24 - 1 → 27 = 23 (Falsa)
C) V + F = A + 1 → 16 + 11 = 24 + 1 → 27 = 25 (Falsa)
D) V + F = A + 2 → 16 + 11 = 24 + 2 → 27 = 26 (Falsa)
E) V + F = A + 3 → 16 + 11 = 24 + 3 → 27 = 27 (Verdadeira)
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:
• Plano A: carência de 10 meses;
• Plano B: carência de 15 meses;
• Plano C: carência de 20 meses;
• Plano D: carência de 28 meses;
• Plano E: carência de 40 meses.
O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique, quando somado aos juros do fundo.
Considere as aproximações: log2 = 0,30 e log1,05 = 0,02.
Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano
Pelo enunciado o objetivo dessa pessoa é deixar a aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique em uma aplicação a juros compostos. Logo,
[tex] M = c \cdot (1 + i)^{t} [tex]
[tex] 2c = c \cdot (1 + 0,05)^{t} [tex]
[tex] \frac{2c}{c} = (1,05)^{t} [tex]
[tex] 2 = (1,05)^{t} [tex]
[tex] log(2) = log (1,05)^{t} [tex]
[tex] log(2) = t \cdot log (1,05) [tex]
[tex] t = \frac{log(2)}{log (1,05)} = \frac{0,30}{0,02} = 15 [tex]
Logo, plano B.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Muitos restaurantes servem refrigerantes em copos contendo limão e gelo. Suponha um copo de formato cilíndrico, com as seguintes medidas: diâmetro = 6 cm e altura = 15 cm. Nesse copo, há três cubos de gelo, cujas arestas medem 2 cm cada, e duas rodelas cilíndricas de limão, com 4 cm de diâmetro e 0,5 cm de espessura cada. Considere que, ao colocar o refrigerante no copo, os cubos de gelo e os limões ficarão totalmente imersos.
(Use 3 como aproximação para π).
O volume máximo de refrigerante, em centímetro cúbico, que cabe nesse copo contendo as rodelas de limão e os cubos de gelo com suas dimensões inalteradas, é igual a
Cálculo do volume do copo cilíndrico:
[tex] V_{(copo)} = π R^{2}h = 3 \cdot 3^{2} \cdot 15 = 405\ cm^{3} [tex]
Encontrar o volume dos cubos (3 cubos).
[tex] V_{(cubo)} = 3 \cdot a^{3} = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24 \ cm^{3} [tex]
Encontrar o volume das duas rodelas cilíndricas de limão (2 rodelas).
[tex] V_{(limão)} = 2 \cdot π R^{2}h = 2 \cdot 3 \cdot 2^{2} \cdot 0,5 = 12\ cm^{3} [tex]
Logo, o volume máximo de refrigerante, em centímetro cúbico, que cabe nesse copo é:
[tex] V_{(Refrig.)} = V_{copo} - (V_{(cubo)} + V_{(limão)}) [tex]
[tex] V_{(Refrig.)} = 405 - (24 + 12) [tex]
[tex] V_{(Refrig.)} = 405 - 36 [tex]
[tex] V_{(Refrig.)} = 369\ cm^{3} [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:
(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.
(ii) cinco relações entre as coordenadas (x ; y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.
O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera.
A relação escolhida pelo instalador foi a
Considere que as coordenadas da terceira câmara seja (x, y) e que esta deve ser equidistante das câmaras 1 e 2 com coordenadas cartesianas (3, 1) e (2, 4), respectivamente. Logo,
[tex] D_{(C1, C3)} = D_{(C2, C3)} [tex]
[tex] \sqrt{(x_{1} - x_{3})^{2} + (y_{1} - y_{3})^{2}} = \sqrt{(x_{2} - x_{3})^{2} + (y_{2} - y_{3})^{2}} [tex]
[tex] \sqrt{(3 - x)^{2} + (1 - y)^{2}} = \sqrt{(2 - x)^{2} + (4 - y)^{2}} [tex]
[tex] (\sqrt{(3 - x)^{2} + (1 - y)^{2}})^{2} = (\sqrt{(2 - x)^{2} + (4 - y)^{2}})^{2} [tex]
[tex] (3 - x)^{2} + (1 - y)^{2} = (2 - x)^{2} + (4 - y)^{2} [tex]
[tex] 9 - 6x + x^{2} + 1 - 2y + y^{2} = 4 - 4x + x^{2} + 16 - 8y + y^{2} [tex]
[tex] x^{2} - x^{2} - 2y +8y + y^{2} - y^{2} = 4 - 4x + 16 - 9 + 6x -1 [tex]
[tex] - 2y +8y = 2x + 10 [tex]
[tex] 6y = 2x + 10 [tex]
[tex] \frac{6y}{6} = \frac{2x}{6} + \frac{10}{6} [tex]
[tex] y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} [tex]
Logo, deve-se escolher a relação R4.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, M é o ponto médio do segmento BC, e os pontos P e Q são obtidos dividindo o segmento AD em três partes iguais.
Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados segmentos de reta, determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura.
A razão entre BC e AD que determina áreas iguais para os cinco triângulos mostrados na figura é
Construindo as alturas (h) dos triângulos na figura a seguir.
Percebe-se que todos os triângulos tem a mesma altura. E pelo enunciado temos que todos os cinco triângulos tem a mesma área.
[tex] A = \frac{b\ \cdot\ h}{2} [tex]
Com isso, concluímos que ambos triângulos tem a mesma base.
Logo, a razão é:
[tex] razão = \frac{b + b}{b + b + b} = \frac{2b}{3b} = \frac{2}{3} [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Em um município foi realizado um levantamento relativo ao número de médicos, obtendo-se os dados:
Tendo em vista a crescente demanda por atendimento médico na rede de saúde pública, pretende-se promover a expansão, a longo prazo, do número de médicos desse município, seguindo o comportamento de crescimento linear no período observado no quadro.
Qual a previsão do número de médicos nesse município para o ano 2040?
Como o crescimento tem comportamento linear, podemos ter:
[tex] \frac{210\ -\ 1995}{2040\ -\ 2010} = \frac{287\ -\ 212}{x\ -\ 287} [tex]
[tex] \frac{15}{30} = \frac{75}{x\ -\ 287} [tex]
[tex] \frac{1}{2} = \frac{75}{x\ -\ 287} [tex]
[tex] x - 287 = 150 [tex]
[tex] x = 287\ +\ 150 [tex]
[tex] x = 437 [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
O dono de um salão de festas precisa decorar cinco pilastras verticais cilíndricas idênticas, cujo raio da base mede 10 cm. O objetivo é revestir integralmente essas pilastras com faixas de menor comprimento possível, de modo que cada uma tenha seis faixas de cor preta e cinco faixas de cor branca, conforme ilustrado na figura.
Ele orçou as faixas em cinco lojas que as comercializam na largura e nas cores desejadas, porém, em todas elas, só são vendidas peças inteiras. Os comprimentos e os respectivos preços das peças comercializadas por loja estão apresentados no quadro.
O dono do salão de festas decidiu efetuar a compra em uma única loja, optando por aquela em que a compra ficaria mais barata.
Utilize 3 como valor aproximado para π.
A loja na qual o dono do salão de festas deve comprar as peças necessárias para confeccionar as faixas é
Calcular o contorno da pilastra.
[tex] C = 2 π R = 2 \cdot 3 \cdot 10 = 60\ cm [tex]
Como cada pilastra é formada por 11 faixas, sendo 6 de cor preta e 5 faixas de cor branca. Logo,
[tex] 60\ cm \cdot 11 = 6,6\ m [tex]
Como o salão de festas tem 5 colunas. Portanto:
[tex] 5 \cdot 6,6\ m = 33\ m [tex]
Agora, verificar de acordo com as lojas qual é a mais barata utilizando regra três simples.
Loja I: [tex] x = \frac{33\ \cdot\ 11}{3} = R$\ 121,00 [tex]
Loja II: [tex] x = \frac{33\ \cdot\ 19}{7} = R$\ 89,57 [tex]
Loja III: [tex] x = \frac{33\ \cdot\ 33}{10} = R$\ 108,90 [tex]
Loja IV: [tex] x = \frac{33\ \cdot\ 37}{14} = R$\ 87,21 [tex]
Loja V: [tex] x = \frac{33\ \cdot\ 61}{22} = R$\ 91,50 [tex]
Logo, deverá comprar na loja IV.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Considere que a safra nacional de cereais, leguminosas e oleaginosas, em 2012, aponte uma participação por região conforme indicado no gráfico. Em valores absolutos, essas estimativas indicam que as duas regiões maiores produtoras deveriam produzir juntas um total de 119,8 milhões de toneladas em 2012.
De acordo com esses dados, a produção estimada, em milhão de tonelada, de cereais, leguminosas e oleaginosas, em 2012, na Região Sudeste do país, foi um valor mais aproximado de
Utilizando regra de três simples, temos:
[tex](37,2 + 38,3) = 75,5 ---- 119,8 [tex]
[tex]11,4 ------- x [tex]
[tex] x = \frac{11,4\ \cdot\ 119,8}{75,5} [tex]
[tex] x = \frac{1\ 365,72}{75,5} [tex]
[tex] x = 18,08\ \%\ [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
O projeto de transposição do Rio São Francisco consiste na tentativa de solucionar um problema que há muito afeta as populações do semiárido brasileiro, a seca. O projeto prevê a retirada de 26,4 m³/s de água desse rio. Para tornar mais compreensível a informação do volume de água a ser retirado, deseja-se expressar essa quantidade em litro por minuto.
Disponível em: www.infoescola.com. Acesso em: 28 out. 2015.
Com base nas informações, qual expressão representa a quantidade de água retirada, em litro por minuto?
Observe que:
m³ = 1 000 litros
1 min = 60s
Portanto,
[tex] 26,4\ m³/s = 26,4 × \frac{m^{3}}{s} = 26,4 × \frac{1000}{\frac{1}{60}} [tex]
[tex] = 26,4 × 1000 × 60 [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
O esquema apresenta a concentração de álcool presente em cada 200 mL de diferentes tipos de bebidas.
Álcool
Limites para o consumo de bebidas alcoólicas
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 30 jul. 2012 (adaptado).
De acordo com as informações, indique qual o número máximo de taças de vinho, de 300 mL, que podem ser consumidas, semanalmente, por uma mulher que se enquadre no grupo de médio risco.
Utilizando as informações da tabela para o número máximo de unidades de álcool, temos:
35 unidades ---------- x
2,4 unidades ------------ 200 mL
[tex] x = \frac{35\ \cdot\ 200}{2,4} = \frac{7\ 000}{2,4} = 2\ 916,67 [tex]
Agora, descobrir o número de taças com 300 mL.
[tex] x = \frac{2\ 916,67 }{300}\cong 9,72 [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma empresa de transporte disponibiliza, para embalagem de encomendas, caixas de papelão no formato de paralelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro.
Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esférico com 11 cm de raio, essa empresa adota como critério a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a encomenda e que possua a menor área de superfície total.
Desconsidere a espessura da caixa.
Nessas condições, qual dos modelos apresentados deverá ser o escolhido pela empresa?
A embalagem ideal seria um cubo de aresta 22 cm.
Agora, analisar os modelos de caixas que possua a menor área de superfície possível.
Analisando as embalagens 3, 4 e 5 que possua a menor área superficial.
[tex] A_{Total} [tex] = 2∙(ab + bc + ac) = 2∙(25∙25 + 25∙25 + 25∙25) = 2∙3∙625 = 3 750 cm²
[tex] A_{Total} [tex] = 2∙(ab + bc + ac) = 2∙(26∙25 + 25∙24 + 26∙24) = 2∙(650 + 600 + 624) = 2∙1874 = 3 748 cm²
[tex] A_{Total} [tex] = 2∙(ab + bc + ac) = 2∙(23∙25 + 26∙26 + 23∙26) = 2∙(575 + 676 + 598) = 2∙1849 = 3 698 cm²
Portanto, a embalagem a ser escolhida é a 5.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma empresa divide o balanço anual de vendas de seus produtos em duas partes, calculando o número de vendas dos produtos ao final de cada semestre do ano. Após o balanço do primeiro semestre, foram realizadas ações de marketing para os cinco produtos menos vendidos da empresa. A tabela mostra a evolução das vendas desses produtos, do primeiro para o segundo semestre.
O sucesso de uma ação de marketing de um produto é medido pelo aumento percentual do número de unidades vendidas desse produto, do primeiro para o segundo semestre.
A ação de marketing mais bem-sucedida foi para o produto
Calculando o aumento percentual de cada produto:
Produto I: [tex] \frac{600}{350} \cong 1,7143 \cong 1 + 0,7143 \cong 100\ \%\ + 71,43\ \%\ [tex] → aumento de 71,43%.
Produto II: [tex] \frac{1100}{1000} = 1,1 \cong 1 + 0,1 = 100\ \%\ + 10\ \%\ [tex] → aumento de 10%.
Produto III: [tex] \frac{4500}{4000} = 1,125 = 1 + 0,125 = 100\ \%\ + 12,5\ \%\ [tex] → aumento de 12,5%.
Produto IV: [tex] \frac{1200}{850} \cong 1,4117 \cong 1 + 0,4117 \cong 100\ \%\ + 41,17\ \%\ [tex] → aumento de 41,17%.
Produto V: [tex] \frac{2600}{2000} = 1,3 = 1 + 0,3 = 100\ \%\ + 30\ \%\ [tex] → aumento de 30%.
Logo, o produto I teve a melhor ação de marketing.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Em um trabalho escolar, um aluno fez uma planta do seu bairro, utilizando a escala 1 : 500, sendo que as quadras possuem as mesmas medidas, conforme a figura.
O professor constatou que o aluno esqueceu de colocar a medida do comprimento da ponte na planta, mas foi informado por ele que ela media 73 m.
O valor a ser colocado na planta, em centímetro, referente ao comprimento da ponte deve ser
Utilizando regra de três simples para resolver o problema de escala.
escala real
1 cm ----------- 500cm = 5m
x cm ----------- 73 m
[tex] 5x = 73 [tex]
[tex] x = \frac{73}{5} = 14,6\ cm [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
O quadro apresenta a quantidade de um tipo de pão vendido em uma semana em uma padaria.
O dono da padaria decidiu que, na semana seguinte, a produção diária desse tipo de pão seria igual ao número de pães vendidos no dia da semana em que tal quantidade foi a mais próxima da média das quantidades vendidas na semana.
O dia da semana utilizado como referência para a quantidade de pães a serem produzidos diariamente foi
Calculando a média de pães produzido na semana:
[tex] \overline{X} = \frac{250\ +\ 208\ +\ 215\ +\ 251\ +\ 187\ +\ 187\ +\ 186}{7} [tex]
[tex] \overline{X} = \frac{1484}{7} = 212 [tex]
Logo, terça-feira está mais próximo da média com 215 pães.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma pista circular delimitada por duas circunferências concêntricas foi construída. Na circunferência interna dessa pista, de raio 0,3 km, serão colocados aparelhos de ginástica localizados nos pontos P, Q e R, conforme a figura.
O segmento RP é um diâmetro dessa circunferência interna, e o ângulo [tex]P\hat{R}Q [tex] tem medida igual a [tex]\frac{π}{5}[tex] radianos.
Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto Q andando pela circunferência interna no sentido anti-horário, ela percorrerá uma distância, em quilômetro, igual a
Ligando os pontos RP (diâmetro) e os segmentos RQ e OQ de acordo com a figura a seguir. O triângulo ΔROQ é isósceles. Sendo assim, os ângulos [tex]O\hat{R}Q [tex] e [tex] R\hat{Q}O [tex] são congruentes. E também, o ângulo [tex]R\hat{O}Q [tex] vale [tex]\frac{3π}{5}[tex], pois:
[tex] O\hat{R}Q + R\hat{Q}O + R\hat{O}Q = π [tex]
[tex] \frac{π}{5} + \frac{π}{5} + R\hat{O}Q = π [tex]
[tex] R\hat{O}Q = π - \frac{π}{5} - \frac{π}{5} = \frac{5π - π - π }{5} = \frac{3π}{5} [tex]
Agora, encontrar o [tex] Q\hat{O}P [tex]
[tex] R\hat{O}Q + Q\hat{O}P = π [tex]
[tex] \frac{3π}{5} + Q\hat{O}P = π [tex]
[tex] Q\hat{O}P = π - \frac{3π}{5} = \frac{5π}{5} - \frac{3π}{5} = \frac{2π}{5} [tex]
Determinar o comprimento do arco QP utilizando regra de três simples.
[tex] 2π -------2πR [tex]
[tex] \frac{2π}{5} ------- x [tex]
[tex] x = \frac{2πR\ \cdot\ \frac{2π}{5}}{2π} = R\ \cdot\ \frac{2π}{5} = 0,3\ \cdot\ \frac{2π}{5} [tex]
[tex] = \frac{0,6π}{5} = 0,12 π [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
O quadro apresenta a relação dos jogadores que fizeram parte da seleção brasileira de voleibol masculino nas Olimpíadas de 2012, em Londres, e suas respectivas alturas, em metro.
Disponível em: www.cbv.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012 (adaptado).
A mediana das alturas, em metro, desses jogadores é
Colocando as alturas em ordem crescente:
1,84 - 1,90 - 1,90 - 1,91 - 1,92 - 1,94 - 1,98 - 2,01 - 2,03 - 2,05 - 2,09 - 2,11
A mediana é dada pela média aritmética das duas alturas centrais.
[tex] Me = \frac{1,94\ +\ 1,98}{2} = \frac{3,92}{2} = 1,96 [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
A unidade de medida utilizada para anunciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é a polegada, que corresponde a 2,54 cm. Diferentemente do que muitos imaginam, dizer que a tela de uma TV tem X polegadas significa que a diagonal do retângulo que representa sua tela mede X polegadas, conforme ilustração.
O administrador de um museu recebeu uma TV convencional de 20 polegadas, que tem como razão do comprimento (C) pela altura (A) a proporção 4 : 3, e precisa calcular o comprimento (C) dessa TV a fim de colocá-la em uma estante para exposição.
A tela dessa TV tem medida do comprimento C, em centímetro, igual a
Pelo enunciado temos:
[tex] \frac{C}{A} = \frac{4}{3} \Longrightarrow A = \frac{3C}{4} [tex]
Agora, aplicando o Teorema de Pitágoras com X = 20 polegadas.
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] 20^{2} = C^{2} + (\frac{3C}{4})^{2} [tex]
[tex] 400 = C^{2} + \frac{9C^{2}}{16} [tex]
[tex] 400 = \frac{16C^{2}}{16} + \frac{9C^{2}}{16} [tex]
[tex] 400 = \frac{25C^{2}}{16} [tex]
[tex] 25C^{2} = 400\ \cdot\ 16 [tex]
[tex] C^{2} = \frac{400\ \cdot\ 16}{25} [tex]
[tex] C^{2} = 256 [tex]
[tex] C = \sqrt{256} [tex]
[tex] C = 16\ polegadas [tex]
Agora, convertendo 16 polegadas em cm.
[tex] C = 16 × 2,54 [tex]
[tex] C = 40,64\ cm [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma locadora possui disponíveis 120 veículos da categoria que um cliente pretende locar. Desses, 20% são da cor branca, 40% são da cor cinza, 16 veículos são da cor vermelha e o restante, de outras cores. O cliente não gosta da cor vermelha e ficaria contente com qualquer outra cor, mas o sistema de controle disponibiliza os veículos sem levar em conta a escolha da cor pelo cliente.
Disponibilizando aleatoriamente, qual é a probabilidade de o cliente ficar contente com a cor do veículo?
Como o cliente não gosta da cor vermelha - "16 veículos". Ele ficaria contente com qualquer outra cor. Logo,
[tex] P = \frac{120\ -\ 16}{120} = \frac{104}{120} [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Um vidraceiro é contratado para colocar uma porta de vidro que escorregará em uma canaleta de largura interna igual a 1,45 cm, como mostra a figura.
O vidraceiro precisa de uma placa de vidro de maior espessura possível, tal que deixe uma folga total de pelo menos 0,2 cm, para que o vidro possa escorregar na canaleta, e no máximo 0,5 cm para que o vidro não fique batendo com a interferência do vento após a instalação. Para conseguir essa placa de vidro, esse vidraceiro foi até uma loja e lá encontrou placas de vidro com espessuras iguais a: 0,75 cm; 0,95 cm; 1,05 cm; 1,20 cm; 1,40 cm.
Para atender às restrições especificadas, o vidraceiro deverá comprar a placa de espessura, em centímetro, igual a
Como a largura da canaleta é de 1,45 cm. E a folga é de 0,2 cm. Logo, a espessura do vidro é.
1,45 – 0,2 = 1,25 cm
Agora, com a folga total de 0,5 cm. Nesse caso, a espessura do vidro é:
1,45 – 0,5 = 0,95 cm
Com isso, concluímos que o vidro deve ter espessura entre 0,95 cm e 1,25 cm.
Mas, pelo enunciado diz que o vidraceiro precisa de uma placa de vidro de maior espessura possível. Portanto, entre as alternativas do enunciado a maior espessura que fica entre 0,95 cm e 1,25 é de 1,20 cm.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma empresa sorteia prêmios entre os funcionários como reconhecimento pelo tempo trabalhado. A tabela mostra a distribuição de frequência de 20 empregados dessa empresa que têm de 25 a 35 anos trabalhados. A empresa sorteou, entre esses empregados, uma viagem de uma semana, sendo dois deles escolhidos aleatoriamente.
Qual a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho?
Pelo enunciado, a chance de escolher cada funcionário é:
1° funcionário: [tex] \frac{5}{20} [tex]
2° funcionário: [tex] \frac{4}{19} [tex]
Logo, a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho é de:
[tex] P = \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} = \frac{20}{20\ \cdot\ 19} = \frac{1}{19} [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40 cm de comprimento, 35 cm de largura e 60 cm de altura. Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a 100 cm3 cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso. O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta. A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente.
Nas condições apresentadas, a quantidade de pedrinhas compradas foi
Pelo enunciado podemos obter a seguinte representação.
O volume das pedrinhas é dado por:
[tex] V_{(pedrinhas)} = c \cdot l \cdot h = 40 \cdot 35 \cdot 20 [tex]
[tex] V_{(pedrinhas)} = 28\ 000\ cm^{3} [tex]
Como cada pedrinha tem 100 cm³. Logo, o total de pedrinhas é:
[tex] Total_{(pedrinhas)} = \frac{28\ 000\ cm^{3}}{100\ cm^{3}} = 280 [tex]
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Uma empresa especializou-se no aluguel de contêineres que são utilizados como unidades comerciais móveis. O modelo padrão alugado pela empresa tem altura de 2,4 m e as outras duas dimensões (largura e comprimento), 3,0 m e 7,0 m, respectivamente.
Um cliente solicitou um contêiner com altura padrão, porém, com largura 40% maior e comprimento 20% menor que as correspondentes medidas do modelo padrão. Para atender às necessidades de mercado, a empresa também disponibiliza um estoque de outros modelos de contêineres, conforme o quadro.
Dos modelos disponíveis, qual atende às necessidades do cliente?
Satisfazendo as exigências do cliente, temos:
• Altura (padrão): 2,4 m
• Largura (40% maior): 1,4 × 3 m = 4,2 m
• Comprimento (20% menor): 0,8 × 7 m = 5,6 m
Agora, consultando a tabela, o contêiner que satisfaz as necessidades de mercado é o II.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Um fiscal de certa empresa de ônibus registra o tempo, em minuto, que um motorista novato gasta para completar certo percurso. No Quadro 1 figuram os tempos gastos pelo motorista ao realizar o mesmo percurso sete vezes. O Quadro 2 apresenta uma classificação para a variabilidade do tempo, segundo o valor do desvio padrão.
Com base nas informações apresentadas nos quadros, a variabilidade do tempo é
[tex] \overline{X} = \frac{48\ +\ 54\ +\ 50\ +\ 46\ +\ 44\ +\ 52\ +\ 49}{7} = \frac{343}{7} = 49 [tex]
[tex]V = (48-49)^{2} + (54-49)^{2} + (50-49)^{2} +(46-49)^{2} + (44-49)^{2} + (52-49)^{2} + (49-49)^{2} [tex]
[tex]V = (1)^{2} + (5)^{2} + (1)^{2} +(-3)^{2} + (-5)^{2} + (3)^{2} + (0)^{2} [tex]
[tex]V = 1 +25 + 1 + 9 + 25 + 9 + 0 [tex]
[tex] V = 70 [tex]
[tex] DP= \sqrt{\frac{70}{7}} = \sqrt{10} \cong 3,1 [tex]
Logo, a variabilidade do tempo é BAIXA.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Um país decide investir recursos na educação em suas cidades que tenham um alto nível de analfabetismo. Os recursos serão divididos de acordo com a idade média da população que é analfabeta, conforme apresentado no quadro.
Uma cidade desse país possui [tex] \frac{60}{100} do total de analfabetos de sua população composto por mulheres. A média de idade das mulheres analfabetas é de 30 anos, e a média de idade dos homens analfabetos é de 35 anos.
Considerando a média de idade da população analfabeta dessa cidade, ela receberá o recurso
De acordo com as informações do texto temos:
• Mulheres analfabetas: 60%
• homens analfabetos: 40%
• Média de mulheres analfabetas: 30 anos
• Média de homens analfabetos: 35 anos
Sendo assim, temos:
= 30 ∙ 60% + 35 ∙ 40%
= 30 ∙ 0,6 + 35 ∙ 0,4
= 18 + 14
= 32
Portanto, receberá o recurso III.
(ENEM 2019 - 2ª Aplicação).
Para certas molas, a constante elástica (C) depende do diâmetro médio da circunferência da mola (D), do número de espirais úteis (N), do diâmetro (d) do fio de metal do qual é formada a mola e do módulo de elasticidade do material (G). A fórmula evidencia essas relações de dependência.
[tex] C = \frac{G\ \cdot\ d^{4}}{8\ \cdot\ D^{3} \cdot\ N} [tex]
O dono de uma fábrica possui uma mola [tex]M_{1}[tex] em um de seus equipamentos, que tem características [tex]D_{1}[tex], [tex]d_{1}[tex], [tex]N_{1}[tex] e [tex]G_{1}[tex], com uma constante elástica [tex]C_{1}[tex]. Essa mola precisa ser substituída por outra, [tex]M_{2}[tex], produzida com outro material e com características diferentes, bem como uma nova constante elástica [tex]C_{2}[tex], da seguinte maneira:
• [tex] D_{2} = \frac{D_{1}}{3} [tex]
• [tex] d_{2} = 3 d_{1} [tex]
• [tex] N_{2} = 9 N_{1} [tex]
Além disso, a constante de elasticidade [tex]G_{2}[tex] do novo material é igual a [tex]4G_{1}[tex].
O valor da constante [tex]C_{2}[tex] em função da constante [tex]C_{1}[tex] é
Pelo enunciado, temos:
• [tex] D_{2} = \frac{D_{1}}{3} [tex]
• [tex] d_{2} = 3 d_{1} [tex]
• [tex] N_{2} = 9 N_{1} [tex]
• [tex] G_{2} = 4 G_{1} [tex]
Efetuando-se as substituições na expressão C, obtemos:
[tex] C_{2} = \frac{G_{2}\ \cdot\ d_{2}^{4}}{8\ \cdot\ D_{2}^{3} \cdot\ N_{2}} [tex]
[tex] C_{2} = \frac{4G_{1}\ \cdot\ (3 d_{1})^{4}}{8\ \cdot\ (\frac{D_{1}}{3})^{3} \cdot\ 9\ N_{1}} [tex]
[tex] C_{2} = \frac{4G_{1}\ \cdot\ 81\ \cdot\ d_{1}^{4}}{8\ \cdot\ \frac{D_{1}^{3}}{27} \cdot\ 9\ N_{1}} [tex]
[tex] C_{2} = \frac{324\ \cdot\ G_{1}\ \cdot\ d_{1}^{4}}{8\ \cdot\ \frac{D_{1}^{3}}{3} \cdot\ N_{1}} [tex]
[tex] C_{2} = \frac{324\ \cdot\ G_{1}\ \cdot\ d_{1}^{4}}{8\ \cdot\ N_{1}} \cdot\ \frac{3}{d_{1}^{3}} [tex]
[tex] C_{2} = \frac{972\ \cdot\ G_{1}\ \cdot\ d_{1}^{4}}{8\ \cdot\ N_{1}\ \cdot\ d_{1}^{3}} [tex]
[tex] C_{2} =972\ \cdot\ \frac{G_{1}\ \cdot\ d_{1}^{4}}{8\ \cdot\ N_{1}\ \cdot\ d_{1}^{3}} [tex]
[tex] C_{2} =972\ \cdot\ C_{1} [tex]
