Blog do Prof. Warles: Quiz 25: MAT. 3ª Série (Ens. Médio)

quinta-feira, 20 de outubro de 2016

Quiz 25: MAT. 3ª Série (Ens. Médio)

Quiz 25: MATEMÁTICA - 3ª Série - Ensino Médio

(MEC-CAED - ADF).

Em uma atividade de matemática, os estudantes levaram objetos tridimensionais para calcularem algumas de suas dimensões, sem o uso de régua. Gustavo levou para essa atividade um troféu composto pela junção de um cone e uma esfera de maneira que o raio da base circular e o raio da esfera medem, ambos, 6 cm. Observe o troféu levado por Gustavo, representado na figura abaixo

Gustavo informou a sua turma que o volume total do troféu, considerando os volumes do cone e da esfera, é 408π cm³ e propôs aos colegas que encontrassem a medida da altura da parte cônica desse troféu.

Qual é a medida, em centímetros, da altura da parte cônica desse troféu?

68 cm.

34 cm.

30 cm.

12 cm.

10 cm.

Questão comentada!

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Observe, na malha quadriculada abaixo, uma figura e uma reta r.

A reflexão dessa figura em relação à reta r pode ser observada em

A transformação isométrica de reflexão de uma figura em extremidades, no ponto original e no seu respectivo ponto transformado, é sempre perpendicular em relação ao eixo de simetria e que o ponto original e seu respectivo transformado estão sempre a uma mesma distância do eixo x.

Observe a figura a seguir:

Portanto, alternativa "B".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Lucas é serralheiro e está produzindo a estrutura de um telhado. O formato dessa estrutura com algumas medidas de seus lados e ângulos foram representados em um esboço, conforme ilustrado na figura abaixo.

(Considere: $sen\ 30° = 0,50$ e $cos\ 30° = 0,87$ )

Lucas já cortou quase todas as vigas dessa estrutura, exceto as que estão indicadas com medida x nesse esboço.

De acordo com esse esboço, Lucas deve cortar cada uma dessas vigas com quantos metros de comprimento?

17,50 metros.

20,11 metros.

24,50 metros.

30,45 metros.

42,63 metros.

Primeiro vamos encontrar o valor do comprimento da hipotenusa, utilizando o Teorema de Pitágoras:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

$a^{2} = 28^{2} + 21^{2}$

$a^{2} = 784 + 441$

$a^{2} = 1\ 225$

$a = \sqrt{1\ 225}$

$a = 35\ m$

Agora, encontrar o valor do comprimento x, utilizando o seno.

$sen\ 30° = \frac{cateto\ oposto}{hipotenusa}$

$0,5 = \frac{x}{35}$

$x = 0,5 \cdot 35$

$x = 17,5\ metros$

Portanto, alternativa "A".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Uma indústria alimentícia utilizará uma lata metálica que possui formato cilíndrico reto com diâmetro da base medindo 6 cm e volume de 216 cm³, para comercializar os alimentos. Para fazer uma análise sobre os custos com a produção dessa embalagem, o gerente precisa determinar a medida da área da superfície de metal utilizada na fabricação do modelo de lata que irá utilizar.

Considere: $π = 3$ .

A medida da área total da superfície dessa lata, em centímetros quadrados, é

144 cm².

198 cm².

270 cm².

288 cm².

360 cm².

Observe a figura a seguir:

Primeiro encontrar a altura da lata metálica:

$Volume = Área_{(base)} × altura$

$V = πR^{2} × h$

$216 = 3 \cdot 3^{2} × h$

$216 = 3 \cdot 9 × h$

$216 = 27 × h$

$\frac{216}{27} = h$

$h = 8\ cm$

Agora, encontrar a área total dessa lata:

$Área_{(Total)} = 2 × Área_{(base)} + Área_{(Lateral)}$

$Área_{(Total)} = 2 × πR^{2} + 2πR × h$

$Área_{(Total)} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{2}+ 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 8$

$Área_{(Total)} = 6 \cdot 9 + 144$

$Área_{(Total)} = 54 + 144$

$Área_{(Total)} = 198\ cm^{2}$

Portanto, alternativa "B".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Mateus desenhou uma figura no plano cartesiano e, em seguida, realizou uma translação horizontal dessa figura, 1 unidade no sentido positivo do eixo x. Observe abaixo essa figura antes da translação.

A representação dessa figura no plano cartesiano após a translação realizada por Mateus é

A transformação que foi realizada por Mateus é a de translação de 1 unidade no sentido positivo do eixo x. Observe a figura a seguir:

Portanto, alternativa "E".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Um topógrafo precisou calcular a medida da distância entre duas nascentes localizadas em lados opostos de uma montanha. Para isso, ele marcou os pontos T e U próximos às nascentes e um ponto V, de onde é possível avistar os pontos T e U sob um ângulo de 80°, e esses três pontos formaram um triângulo. Esse topógrafo utilizou equipamentos específicos para determinar as medidas de alguns ângulos e, com isso, calculou a medida da distância que precisava. Na figura abaixo está apresentado um esquema feito por esse topógrafo para esse cálculo.

(Dados: $sen\ 80° \cong 0,98,\ sen\ 55° \cong 0,82)$ .

Qual é a distância aproximada, em metros, entre essas duas nascentes?

2 510,2 m.

3 000,2 m.

3 585,4 m.

3 658,5 m.

4 363,6 m.

Questão comentada!

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Um reservatório de grãos possui o formato de um sólido originado pela junção de um cone e um cilíndrico reto, possuindo somente uma base circular, localizada em sua parte inferior. O preço do metro quadrado do material utilizado na construção de toda a superfície externa desse reservatório foi R$ 100,00. Observe esse reservatório representado na figura abaixo, com algumas de suas medidas.

(Considere: $π = 3$ )

Qual foi o valor mínimo, em reais, gasto com a compra do material utilizado na construção de toda a superfície externa desse reservatório?

R$ 5 760,00.

R$ 6 720,00.

R$ 7 560,00.

R$ 8 160,00.

R$ 9 360,00.

Vamos encontrar a superfície externa desse reservatório:

$Área_{(Total)} = Área_{(cone)} + Área_{(cilindro)}$

$Área_{(Total)} = πRg + (2πRh +πR^{2})$

$Área_{(Total)} = 3 \cdot 2 \cdot 3,6 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2^{2}$

$Área_{(Total)} = 21,6 + 48 + 12$

$Área_{(Total)} = 81,6\ m^{2}$

Agora, encontrar o valor mínimo, em reais, gasto com a compra do material utilizado na construção de toda a superfície externa desse reservatório.

$Valor = 81,6\ m^{2} \cdot R \$\ 100,00$

$Valor = R \$\ 8\ 160,00$

Portanto, alternativa "D".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Uma empresa está projetando uma estrutura metálica para toldos. Essa estrutura pode ser ajustada em até 120°, ângulo máximo formado com a parede na qual essa estrutura se apoiará. Observe abaixo o desenho desse projeto, no qual consta a representação dessa estrutura e o ângulo máximo que ela atinge em relação à parede.

Considere:

$sen\ 30° = 0,5$ e $sen\ 120° = 0,9$

$cos\ 30° = 0,9$ e $cos\ 120° = -\ 0,5$

$tg\ 30° = 0,6$ e $tg\ 120° = -\ 1,7$

De acordo com esse projeto, qual deverá ser a medida do comprimento, em metros, da lona desse toldo a ser fixada nessa estrutura?

0,6 m.

1,0 m.

1,8 m.

2,0 m.

4,0 m.

Vamos utilizar a Lei dos Senos para encontrar o comprimento da lona é:

$\frac{\overline{BC}}{sen\ 30º} = \frac{\overline{AC}}{sen\ 120º}$

$\frac{1}{0,5} = \frac{\overline{AC}}{0,9}$

$0,5\ \overline{AC} = 1 \cdot 0,9$

$0,5\ \overline{AC} = 0,9$

$\overline{AC} = \frac{ 0,9}{0,5}$

$\overline{AC} = 1,8\ metros$

Portanto, alternativa "C".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Em um condomínio, as caixas d’água P e Q ficam a 12 m de distância uma da outra e, para melhor atender aos moradores, será instalada uma terceira caixa d’água, indicada por R. A orientação recebida é que essa nova caixa seja instalada a 20 m de distância da caixa Q, de maneira que as três formem a disposição apresentada no esboço abaixo.

(Dados: $sen\ 120° \cong\ 0,9$ ; $cos\ 120° =\ –\ 0,5$ )

De acordo com esse esboço, a nova caixa d’água R será instalada a quantos metros de distância da caixa d’água P?

10,6 m.

17,4 m.

23,3 m.

28,0 m.

32,0 m.

Vamos utilizar a Lei dos cossenos para encontrar a distância entre as caixas P e R.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos\ 120°$

$(\overline{PR})^{2} = (\overline{PQ})^{2} + (\overline{QR})^{2}\ -\ 2 \cdot (\overline{PQ}) \cdot (\overline{QR}) \cdot cos\ 120°$

$(\overline{PR})^{2} = (12)^{2} + (20)^{2}\ -\ 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot (-\ 0,5)$

$(\overline{PR})^{2} = 144 + 400\ -\ (-\ 240)$

$(\overline{PR})^{2} = 144 + 400\ + 240$

$(\overline{PR})^{2} = 784$

$\overline{PR} = \sqrt{784}$

$\overline{PR} = 28\ metros$

Portanto, alternativa "D".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Em um jardim botânico foi construída uma estufa com o formato de uma pirâmide reta de base quadrada com volume total de 64 m³. Essa estufa foi toda feita de vidro, inclusive o chão, e está representada abaixo com algumas medidas indicadas.

Qual é a medida, em metros, da altura dessa estufa e quantos metros quadrados de vidro, no mínimo, foram utilizados em sua construção, nessa ordem?

1 m e 144 m².

3 m e 80 m².

3 m e 144 m².

3 m e 224 m².

6 m e 144 m².

Observe a figura a seguir:

Primeiro vamos encontrar a altura dessa estufa utilizando o Teorema de Pitágoras.

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

$5^{2} = 4^{2} + h^{2}$

$25 = 16 + h^{2}$

$25 - 16 = h^{2}$

$9 = h^{2}$

$h = \sqrt{9}$

$h = 3\ metros$

Também poderia utilizar o volume para calcular a altura:

$Volume = \frac{1}{3} \cdot Área_{(base)} \cdot h$

$64 = \frac{1}{3} \cdot L^{2} \cdot h$

$64 = \frac{1}{3} \cdot 8^{2} \cdot h$

$64 = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot h$

$\frac{64}{64} = \frac{1}{3} \cdot h$

$1 = \frac{1}{3} \cdot h$

$h = 3\ metros$

Agora, encontrar área da estufa, em metros quadrados de vidro, que foram utilizados em sua construção:

$Área\ total = Área_{(base)} × Área_{(Lateral)}$

$Área\ total = 8^{2}\ ×\ 4\ \cdot \frac{8\ ×\ 5}{2}$

$Área\ total = 64\ ×\ \color{Red}{4}\ \cdot \frac{40}{\color{Red}{2}}$

$Área\ total = 64\ ×\ 2\ \cdot 40$

$Área\ total = 64\ ×\ 80$

$Área\ total = 144\ m^{2}$

Portanto, alternativa "C".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Uma fábrica produz um suco de caixinha cuja embalagem, com formato de paralelepípedo de base quadrada, tem 5 cm de medida interna da aresta da base e 10 cm de medida da altura interna. Essa embalagem está sendo reformulada e deve assumir um formato cilíndrico com área interna da base medindo 50 cm².

Qual deve ser a medida interna da altura da nova embalagem desse suco para que ela tenha a mesma capacidade da embalagem atual?

4 cm.

5 cm.

10 cm.

20 cm.

200 cm.

Observe a figura a seguir:

Devemos ter o volume interno máximo da embalagem cilíndrica igual ao da embalagem com formato de paralelepípedo. Logo, o volume desse paralelepípedo é:

$Volume = C \cdot L \cdot h$

$Volume = 5 \cdot 5 \cdot 10$

$Volume = 250\ cm^{2}$

Agora, encontrar a altura dessa nova embalagem (cilíndrico):

$Volume = Área_{(base)} \cdot h$

$250 = 50 \cdot h$

$\frac{250}{50} = h$

$h = 5\ cm$

Portanto, alternativa "B".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

(MEC-CAED - ADF).

Sebastião tem em sua fazenda um equipamento utilizado para moer grãos. Para utilizá-lo, ele o enche até o nível da borda superior com os grãos e, em seguida, ele aciona o equipamento. Observe, na figura abaixo, o formato e as medidas internas desse equipamento.

Qual é o volume máximo de grãos, em metros cúbicos, que Sebastião pode colocar nesse equipamento de uma só vez? (Considere: $π = 3$ )

11,25 m².

12 m².

15 m².

20,25 m².

45 m².

O volume máximo desse equipamento é:

$V = V_{(cone)} + V_{(cilindro)}$

$V = \frac{Área_{(base)}\ \cdot\ h}{3} + Área_{(base)}\ \cdot\ h$

$V = \frac{πR^{2}\ \cdot\ h}{3} + πR^{2} \cdot\ 1$

$V = \frac{3\ \cdot\ (1,5)^{2}\ \cdot\ 2}{3}\ +\ 3 \cdot\ (1,5)^{2}\ \cdot\ 1$

$V = \frac{3\ \cdot\ 2,25\ \cdot\ 2}{3} + 3\ \cdot\ 2,25\ \cdot\ 1$

$V = \frac{13,5}{3} +6,75$

$V = 4,5 + 6,75$

$V = 11,25\ cm^{3}$

Portanto, alternativa "A".

(Créditos da resolução: Prof. Warles.)

Quinta-feira, 10 de Abril de 2025

4 L j e D v

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quinta-feira, 20 de outubro de 2016

Quiz 25: MAT. 3ª Série (Ens. Médio)

(MEC-CAED - ADF).

Gustavo informou a sua turma que o volume total do troféu, considerando os volumes do cone e da esfera, é 408π cm³ e propôs aos colegas que encontrassem a medida da altura da parte cônica desse troféu.

Qual é a medida, em centímetros, da altura da parte cônica desse troféu?

68 cm.

34 cm.

30 cm.

12 cm.

10 cm.

(MEC-CAED - ADF).

Observe, na malha quadriculada abaixo, uma figura e uma reta r.

A reflexão dessa figura em relação à reta r pode ser observada em

(MEC-CAED - ADF).

Lucas é serralheiro e está produzindo a estrutura de um telhado. O formato dessa estrutura com algumas medidas de seus lados e ângulos foram representados em um esboço, conforme ilustrado na figura abaixo.

(Considere: sen\ 30° = 0,50sen\ 30° = 0,50 e cos\ 30° = 0,87 cos\ 30° = 0,87)

Lucas já cortou quase todas as vigas dessa estrutura, exceto as que estão indicadas com medida x nesse esboço.

De acordo com esse esboço, Lucas deve cortar cada uma dessas vigas com quantos metros de comprimento?

17,50 metros.

20,11 metros.

24,50 metros.

30,45 metros.

42,63 metros.

(MEC-CAED - ADF).

Considere: π = 3π = 3.

A medida da área total da superfície dessa lata, em centímetros quadrados, é

144 cm².

198 cm².

270 cm².

288 cm².

360 cm².

(MEC-CAED - ADF).

Mateus desenhou uma figura no plano cartesiano e, em seguida, realizou uma translação horizontal dessa figura, 1 unidade no sentido positivo do eixo x. Observe abaixo essa figura antes da translação.

A representação dessa figura no plano cartesiano após a translação realizada por Mateus é

(MEC-CAED - ADF).

(Dados: sen\ 80° \cong 0,98,\ sen\ 55° \cong 0,82) sen\ 80° \cong 0,98,\ sen\ 55° \cong 0,82).

Qual é a distância aproximada, em metros, entre essas duas nascentes?

2 510,2 m.

3 000,2 m.

3 585,4 m.

3 658,5 m.

4 363,6 m.

(MEC-CAED - ADF).

(Considere: π = 3 π = 3)

Qual foi o valor mínimo, em reais, gasto com a compra do material utilizado na construção de toda a superfície externa desse reservatório?

R$ 5 760,00.

R$ 6 720,00.

R$ 7 560,00.

R$ 8 160,00.

R$ 9 360,00.

(MEC-CAED - ADF).

Considere:

sen\ 30° = 0,5 sen\ 30° = 0,5 e sen\ 120° = 0,9 sen\ 120° = 0,9

cos\ 30° = 0,9 cos\ 30° = 0,9 e cos\ 120° = -\ 0,5 cos\ 120° = -\ 0,5

tg\ 30° = 0,6 tg\ 30° = 0,6 e tg\ 120° = -\ 1,7 tg\ 120° = -\ 1,7

De acordo com esse projeto, qual deverá ser a medida do comprimento, em metros, da lona desse toldo a ser fixada nessa estrutura?

0,6 m.

1,0 m.

1,8 m.

2,0 m.

4,0 m.

(MEC-CAED - ADF).

(Dados: sen\ 120° \cong\ 0,9sen\ 120° \cong\ 0,9; cos\ 120° =\ –\ 0,5cos\ 120° =\ –\ 0,5)

De acordo com esse esboço, a nova caixa d’água R será instalada a quantos metros de distância da caixa d’água P?

10,6 m.

17,4 m.

23,3 m.

28,0 m.

32,0 m.

(MEC-CAED - ADF).

Em um jardim botânico foi construída uma estufa com o formato de uma pirâmide reta de base quadrada com volume total de 64 m³. Essa estufa foi toda feita de vidro, inclusive o chão, e está representada abaixo com algumas medidas indicadas.

Qual é a medida, em metros, da altura dessa estufa e quantos metros quadrados de vidro, no mínimo, foram utilizados em sua construção, nessa ordem?

1 m e 144 m².

3 m e 80 m².

3 m e 144 m².

3 m e 224 m².

6 m e 144 m².

(MEC-CAED - ADF).

Qual deve ser a medida interna da altura da nova embalagem desse suco para que ela tenha a mesma capacidade da embalagem atual?

4 cm.

(Considere: $sen\ 30° = 0,50$ e $cos\ 30° = 0,87$ )

Considere: $π = 3$ .

(Dados: $sen\ 80° \cong 0,98,\ sen\ 55° \cong 0,82)$ .

(Considere: $π = 3$ )

$sen\ 30° = 0,5$ e $sen\ 120° = 0,9$

$cos\ 30° = 0,9$ e $cos\ 120° = -\ 0,5$

$tg\ 30° = 0,6$ e $tg\ 120° = -\ 1,7$

(Dados: $sen\ 120° \cong\ 0,9$ ; $cos\ 120° =\ –\ 0,5$ )

Qual é o volume máximo de grãos, em metros cúbicos, que Sebastião pode colocar nesse equipamento de uma só vez? (Considere: $π = 3$ )