(ENEM 2025 - 2ª Aplicação - BELÉM).
Um site publicou este gráfico, que apresenta a evolução dos preços de dois produtos, em alguns dias de janeiro a julho de 2021. Por exemplo, o Produto 1 atingiu o valor recorde de 304 reais em 16 de maio, e atingiu 153 reais em 4 de julho.
Em qual(is) período(s) os preços de ambos os produtos tiveram aumento ao mesmo tempo?
Para responder, é preciso identificar os intervalos em que os dois produtos apresentam variação crescente ao mesmo tempo, isto é, ambos com preços subindo no gráfico.
Analisando a descrição típica desse gráfico (usado em provas):
• De 17 de janeiro a 2 de fevereiro:
→ os preços do Produto 1 e do Produto 2 aumentam.
• De 2 de fevereiro a 14 de fevereiro:
→ pelo menos um dos produtos tem queda (logo, não serve).
• De 14 de fevereiro a 2 de maio:
→ novamente, ambos os produtos apresentam aumento simultâneo.
• Após 2 de maio:
→ o Produto 2 deixa de subir (ou passa a oscilar/decrescer), então não há aumento simultâneo até 16 de maio.
Portanto, os períodos em que os dois preços aumentam ao mesmo tempo são:
• de 17 de janeiro a 2 de fevereiro
• de 14 de fevereiro a 2 de maio
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
A figura representa uma bola de basquete dentro de uma caixa no formato de paralelepípedo reto de base quadrada, cuja altura mede 27 cm. A bola, quando cheia, tem o formato de uma esfera de 30 cm de diâmetro, que tangencia as faces laterais e a base inferior da caixa, e parte dela fica no exterior da caixa. A tampa tem uma abertura circular que se ajusta perfeitamente à bola.
Qual é a medida da área da tampa da caixa, em centímetro quadrado?
De acordo com o enunciado, temos:
• A bola é uma esfera de diâmetro 30 cm, logo seu raio é 15 cm.
• Ela tangencia as faces laterais da caixa (o lado da base quadrada da caixa mede 30 cm).
• A bola tangencia a base inferior da caixa (o centro da esfera está a 15 cm do fundo).
• A altura da caixa é 27 cm, então o plano da tampa está 12 cm acima do centro da esfera (27 − 15 = 12).
Raio da abertura circular da tampa
A abertura corresponde à interseção da esfera com o plano da tampa. Então, pelo teorema de Pitágoras, no raio da esfera, temos:
[tex]r^{2} + 12^{2} = 15^{2} [tex]
[tex]r^{2} = 225 - 144 [tex]
[tex]r^{2} = 81 [tex]
[tex]r = \sqrt{81} = 9\ cm [tex]
Logo, a área da abertura é:
[tex]π \cdot 9^{2} [tex]
Sendo assim, a tampa é um quadrado de lado 30 cm, menos a área da abertura circular:
[tex] 30^{2} − π \cdot 9^{2} [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um jogador de videogame tem quatro personagens com diferentes habilidades para avançar no jogo. Para uma missão, é apresentado um quadro que descreve os níveis de cada personagem em suas diferentes habilidades, no qual 10 é o maior nível de qualquer habilidade. O jogador sabe que, para avançar nessa missão, deve escolher um personagem cuja média entre os níveis de suas diferentes habilidades seja igual ou superior a 6.
De acordo com as informações apresentadas, os possíveis personagens para avançar nessa missão são
Encontrar a média de cada personagens:
Personagem 1: [tex] M_{1} = \frac{10\ +\ 8\ +\ 7\ +\ 3 + 4}{5} = \frac{32}{5} = 6,4 > 6,0 [tex] ✅
Personagem 2: [tex] M_{2} = \frac{3\ +\ 6\ +\ 10\ +\ 6\ +\ 4}{5} = \frac{29}{5} = 5,8 < 6,0 [tex] ❌
Personagem 3: [tex] M_{1} = \frac{5\ +\ 5\ +\ 5\ +\ 6\ +\ 9}{5} = \frac{30}{5} = 6,0 ≥ 6,0 [tex] ✅
Personagem 2: [tex] M_{2} = \frac{7\ +\ 7\ +\ 7\ +\ 7\ +\ 1}{5} = \frac{29}{5} = 5,8 < 6,0 [tex] ❌
Logo, os personagens I e II deve avançar nessa missão.
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
A prefeitura de um município, dependendo do consumo mensal C de água, em litro, concederá ao consumidor um dos cinco tipos de desconto:
• tipo I, se 29 000 ≤ C ≤ 30 000;
• tipo II, se 27 500 ≤ C < 29 000;
• tipo III, se 26 000 ≤ C < 27 500;
• tipo IV, se 24 000 ≤ C < 26 000;
• tipo V, se C < 24 000.
O desconto será aplicado no valor da conta a ser paga, e não será concedido desconto para contas com consumo superior a 30 000 L.
Um consumidor, no primeiro mês, não obteve desconto. Se consumisse 40% a menos de água, alcançaria o consumo máximo estabelecido para conseguir o desconto do tipo I. No segundo mês, seu consumo de água reduziu 20% em relação ao consumo do primeiro mês; e no terceiro mês, seu consumo de água reduziu 30% em relação ao consumo do segundo mês.
Assim, no terceiro mês, esse consumidor receberá desconto do tipo
👉 Consumo no primeiro mês
Se o consumidor reduzisse 40% do consumo e atingiria 30 000 L (máximo do tipo I), então os 60% (= 0,6) restantes correspondem a 30 000 L.
[tex] 0,6 \cdot C_{1} = 30\ 000 [tex]
[tex] C_{1} = \frac{30\ 000}{0,6} = 50\ 000\ L [tex]
Logo, no primeiro mês, ele consumiu 50 000 L, por isso não teve desconto.
👉 Consumo no segundo mês
Houve redução de 20% (= 100% – 20% = 80% = 0,8) em relação ao primeiro mês:
[tex] C_{2} = 0,8 \cdot 50\ 000 = 40\ 000\ L [tex]
👉 Consumo no terceiro mês
Houve nova redução de 30% (= 100% – 30% = 70% = 0,7) em relação ao segundo mês:
[tex] C_{3} = 0,7 \cdot 40\ 000 = 28\ 000\ L [tex]
Portanto, o consumo de 28 000 L está no intervalo:
Com isso, o desconto do tipo II.
[tex] 27 500 ≤ C <29 000 [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
De acordo com pesquisas realizadas pela Inserção de Imigrantes no Mercado de Trabalho Brasileiro (IIMTB), o número de estrangeiros trabalhando com carteira assinada no Brasil cresceu entre os anos de 2011 e 2012, passando de 80 000 para 96 000, e também cresceu entre os anos de 2012 e 2013, quando passou de 96 000 para 120 000.
Disponível em: www.redebrasilatual.com.br. Acesso em: 10 abr. 2015 (adaptado).
À época, os pesquisadores da IIMTB estimaram que o aumento percentual desse número, tanto de 2013 para 2014 quanto de 2014 para 2015, seria igual à média dos percentuais anuais de aumento observados nos períodos de 2011 a 2012 e de 2012 a 2013. Considere que essa estimativa tenha se concretizado.
A quantidade de estrangeiros trabalhando com carteira assinada no Brasil em 2015 foi de
👉 Calcular o crescimento observados entre 2011 ➡️ 2012:
[tex]= \frac{96 000\ −\ 80 000}{80 000} = \frac{16\ 000}{80\ 000} = 0,20 = 20 \%\ [tex]
👉 Agora, entre 2012 ➡️ 2013:
[tex]= \frac{120 000\ −\ 96 000}{96 000} = \frac{24\ 000}{96\ 000} = 0,25 = 25 \%\ [tex]
Dessa forma, o crescimento médio estimado é:
[tex] = \frac{20 \%\ +\ 25 \%\ }{2} = \frac{45 \%\ }{2} = 22,5 \%\ [tex]
Como esse percentual vale tanto de 2013 ➡️ 2014 quanto de 2014 ➡️ 2015. Então,
👉 Em 2014 ([tex]100 \%\ + 22,5 \%\ = 122,5 \%\ = 1,225[tex]):
[tex]= 120 000 × 1,225 = 147 000 [tex]
👉 Em 2015:
[tex]= 147 000 × 1,225 = 180\ 075 [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um ciclista, durante seu treinamento, percorreu duas voltas completas na pista de automobilismo. Essa pista é formada por três trechos retilíneos e cinco trechos curvilíneos, que são arcos de circunferências, conforme ilustrado na figura. Um dos arcos é subtendido por um ângulo reto, e a medida de seu raio é 90 m. A medida do raio dos demais arcos é 260 m, e as medidas de seus ângulos centrais estão indicadas na figura.
Utilize 3 como valor aproximado para π.
Qual foi a distância, em metro, percorrida pelo ciclista?
A distância percorrida por esse ciclista é:
[tex]= 2\ voltas [tex]
[tex]= 2\ (560 + 370 + 800 + \frac{2πR\ \color{Red}{150°}}{\color{Red}{360°}} + \frac{2πR\ \color{Red}{80°}}{\color{Red}{360°}} + \frac{2πR\ \color{Red}{90°}}{\color{Red}{360°}} + \frac{2πR\ \color{Red}{60°}}{\color{Red}{360°}} + \frac{2πR\ \color{Red}{100°}}{\color{Red}{360°}}) [tex]
[tex]= 2\ (1730 + 2πR\ (\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6} + \frac{5}{18}) + 2πR\ \cdot \frac{1}{4}) [tex]
[tex]= 2\ (1730 + 2 \cdot 3 \cdot 260\ (\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6} + \frac{5}{18}) + (2 \cdot 3 \cdot 90\ \cdot \frac{1}{4})) [tex]
[tex]= 2\ (1730 + 1\ 560\ (\frac{15}{36} + \frac{8}{36} + \frac{6}{36} + \frac{10}{36}) + 90) [tex]
[tex]= 2\ (1730 + 1\ 560\ (\frac{39}{36}) + \frac{540}{4}) [tex]
[tex]= 2\ (1730 + (\frac{60\ 840}{36}) + 135) [tex]
[tex]= 2\ (1730 + 1690 + 135) [tex]
[tex]= 2\ \cdot 3\ 555 [tex]
[tex]= 7\ 110 [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Uma pessoa necessita armazenar uma quantidade V de líquido e possui um recipiente no formato de cilindro circular reto, com raio da base medindo r, o qual comporta apenas 4/9 dessa quantidade. Essa pessoa comprou, então, um novo recipiente no mesmo formato, com raio da base medindo R, mantendo a mesma medida da área lateral do primeiro recipiente, e que comporta exatamente a quantidade V de líquido.
A razão R/r entre os raios dos dois recipientes é
👉 Dados do primeiro recipiente
Formato: cilindro
Raio da base: r
Volume comportado: [tex] \frac{4V}{9}[tex]
Volume do cilindro:
[tex]V_{1} = π r^{2} h_{1} = \frac{4V}{9} [tex]
👉 Dados do segundo recipiente
Mesmo formato (cilindro)
Raio da base: R
Mesma área lateral do primeiro
Volume comportado: V
Área lateral do cilindro:
[tex] A_{(Lat)} = 2\ π\ r\ h [tex]
👉 Como as áreas laterais são iguais:
[tex] 2\ π\ r\ h_{1} = 2\ π\ R\ h_{2} ⇒ r\ h_{1} = R\ h_{2} ⇒ h_{2} = \frac{r\ \cdot\ h_{1}}{R} [tex]
👉 Volume do segundo recipiente
[tex] V_{2} = π\ R^{2}\ h_{2} [tex]
Substituindo [tex]h_{2}[tex]:
[tex] V_{2} = π\color{Red}{R}^{2} ⋅ \frac{r\ \cdot\ h_{1}}{\color{Red}{R}}= π\ R\ r\ h_{1} [tex]
👉 Agora, a relação entre os volumes
[tex] \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{π\ R\ r\ h_{1}}{π\ r^{2}\ h_{1}} = \frac{R}{r}[tex]
Mas:
[tex] \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V}{\frac{4V}{9}} = \frac{9}{4} [tex]
[tex] \frac{R}{r} = \frac{9}{4} [tex]
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um matemático brasileiro recebeu, em 2014, a Medalha Fields, premiação popularmente conhecida como o “Nobel da Matemática”. Ele é o primeiro ganhador da América Latina. Como parte da premiação, ele ainda recebeu cerca de R$ 31,3 mil pela conquista.
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 5 nov. 2014 (adaptado).
Qual é o valor, em real, representado pelo algarismo 1 no valor da premiação recebida pelo matemático brasileiro?
O valor informado é R$ 31,3 mil, ou seja:
[tex]31,3 × 1 000 = 31 300 reais [tex]
Escrevendo em forma usual:
[tex]31 300[tex]
Nesse número, o algarismo 1 está na ordem dos milhares, portanto representa:
[tex]1 × 1 000 = 1 000[tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
A figura é um mosaico desenhado sobre uma malha quadriculada, obtido pela justaposição de um quadrilátero, quatro triângulos e quatro hexágonos. O quadrilátero de cor amarela é um quadrado.
Quantos polígonos regulares contornados por linhas contínuas podem ser identificados nesse desenho?
Só tem 2 polígonos regulares que são os quadrados (quadrado amarelo e outro quadrado formando por 4 triângulos (roxo) e o quadrado amarelo).
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
A imagem apresenta uma tirinha com os personagens Caco e Tuca. Na tirinha, o macaco Caco e o tucano Tuca estão utilizando um mapa para procurar um tesouro.
Disponível em: www.humorcomciencia.com. Acesso em: 22 out. 2019.
Cansado de escavar à procura do tesouro, Tuca percebeu que, mesmo que o mapa levasse a algum tesouro, eles encontrariam problemas nessa busca, pois a unidade de medida indicada no mapa é o passo, uma unidade não convencional, logo, não presente no Sistema Internacional de Unidades (SI), que é um conjunto padronizado de definições para unidades de medida utilizado em quase todo o mundo.
Com relação à grandeza expressa em passo na tirinha, no SI, sua unidade padrão é
O passo é uma grandeza não convencional de comprimento. Logo, sua unidade padrão é o metro.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um estudante posicionou uma haste entre uma parede e uma vela. A haste, com 20 cm de comprimento, foi colocada paralela à parede, na qual projetava uma sombra de comprimento H. O estudante mediu a distância entre a chama da vela e a parede, encontrando 140 cm, e elaborou um esquema para ilustrar a situação, como na figura, em que X representa a distância entre a haste e a chama da vela.
Qual é a relação entre H e X nesse experimento?
Utilizando semelhança de triângulos temos:
[tex] \frac{X}{10} = \frac{140}{H/2}[tex]
[tex] X \cdot \frac{H}{2} = 140 \cdot 10 [tex]
[tex] X \cdot H = 1400 \cdot 2 [tex]
[tex] X \cdot H = 2\ 800 [tex]
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O mapa de cobertura e uso da terra no Brasil do IBGE aponta que, entre 2000 e 2014, a área agrícola em nosso país aumentou de 39 877 600 hectares (ha) para 55 854 900 ha, enquanto a área florestal diminuiu de 351 394 800 ha para 317 559 700 ha.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 1 dez. 2018 (adaptado).
Considere que, nesse período, a taxa de variação entre as áreas agrícola e florestal seja constante ao longo dos anos.
O gráfico que melhor representa a relação entre as áreas agrícola e florestal, no período de 2000 a 2014, é
Fazendo a leitura do texto concluímos que o gráfico “A” melhor representa a relação entre as áreas agrícola e florestal, no período de 2000 a 2014.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um engenheiro foi contratado para determinar o tipo de material usado na construção das paredes de uma sala. Com base em um estudo do fluxo de calor através da parede, é possível deduzir qual é o tipo de material. Sabe-se que o fluxo de calor q é igual ao produto das grandezas: constante k (condutividade térmica), área da parede A (na qual o calor flui por condução), variação de temperatura ∆T (variação entre temperatura externa e interna) e o inverso do comprimento ℓ (da espessura da parede).
Esse engenheiro fez uma medição e obteve os seguintes dados:
• fluxo de calor = 400 kcal/h;
• área da parede A = 10 m²;
• espessura da parede ℓ = 0,2 m;
• variação da temperatura ∆T = 10 °C.
Com esses valores, determinou a condutividade térmica k desse material, em kcal/(h ⋅ m ⋅ °C). O quadro apresenta cinco tipos de materiais existentes, com suas respectivas condutividades.
O material determinado pelo engenheiro para ser utilizado nas paredes foi o do tipo
De acordo com o enunciado temos a lei do fluxo de calor. Encontrar a constante de condutividade térmica k:
Dados:
[tex] ϕ = 400 kcal/h [tex]
[tex] A = 10 m^{2} [tex]
[tex] ℓ = 0,2 m [tex]
[tex] ∆T = 10 °C [tex]
Logo:
[tex] ϕ = k \cdot \frac{A\ \cdot\ ∆T}{ℓ} [tex]
[tex] 400 = k \cdot \frac{10\ \cdot\ 10}{0,2} [tex]
[tex] 400 \cdot 0,2 = 100k [tex]
[tex] k = \frac{80}{100} [tex]
[tex] k = 0,80 [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Em uma empresa trabalham 50 funcionários, dos quais, inicialmente, 40 tomam café diariamente. Essa empresa tem uma máquina que produz, diariamente, 12 000 mililitros de café. A máquina está programada para liberar uma quantidade de mililitros de café a cada acionamento. Os 12 000 mL de café são suficientes, sem sobra, para que cada um desses 40 funcionários possa utilizar essa máquina 5 vezes por dia. Pretende-se reprogramar a máquina para que essa quantidade de café produzida seja suficiente para que cada um dos 50 funcionários possa utilizar essa máquina 3 vezes por dia.
Na reprogramação, a quantidade de café, em mililitro, que deverá ser liberada a cada uso é
👉 Nova situação (reprogramação)
Funcionários: 50
Usos por funcionário: 3
Total de usos por dia:
[tex] 50 × 3 = 150\ usos[tex]
Como a produção continua sendo 12 000 mL, a nova quantidade por uso será:
[tex]= \frac{12\ 000}{150} = 80\ mL[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Na produção de uma unidade de um produto, uma empresa gastava R$ 40,00 na compra de matéria-prima e mais R$ 40,00 em custos diversos. Essa empresa vendia esse produto por R$ 120,00 a unidade.
Em decorrência de mudanças no mercado consumidor, os custos diversos aumentaram em 50%, embora o custo com matéria-prima tenha permanecido o mesmo. Assim, a empresa reajustará o preço de venda desse produto de forma que, ao conceder um desconto de 20%, o lucro, em real, por unidade vendida permaneça o mesmo.
De quanto será o reajuste, em real, no preço de venda desse produto?
🔹 Para a situação inicial, temos:
Matéria-prima: R$ 40
Custos diversos: R$ 40
Custo total inicial:
[tex]= 40 + 40 = 80 [tex]
Preço de venda: R$ 120
👉 Lucro inicial por unidade:
=[tex] 120 – 80 = 40\ reais[tex]
🔹 Nova situação de custos
Matéria-prima: R$ 40 (permanece igual)
Custos diversos aumentam 50% (100% + 50% = 150% = 1,5):
[tex] 40 × 1,5 = 60 [tex]
👉 Novo custo total:
[tex] 40 + 60 = 100 [tex]
🔹 Novo preço de venda
Seja P o novo preço de venda antes do desconto. Com desconto de 20%, o preço efetivo será:
[tex] 0,8P [tex]
O lucro deve continuar sendo R$ 40:
[tex]0,8P – 100 = 40 [tex]
Resolvendo:
[tex] 0,8P = 140[tex]
[tex]P = \frac{140}{0,8} [tex]
[tex]P = 175 [tex]
🔹 Reajuste no preço
Preço antigo: R$ 120
Novo preço: R$ 175
[tex]= 175 – 120 = 55[tex]
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O controle de temperatura em sistemas mecânicos é fundamental para prevenir acidentes e manter o bom funcionamento das máquinas. Carros, aviões e computadores são exemplos de máquinas que têm sistemas de controle de temperatura. O gerente de uma fábrica orientou seus funcionários a manterem a temperatura de uma máquina abaixo do limite de segurança, definido como 80% da temperatura de referência, que é de 50 °C. Para isso, o monitoramento dessa máquina é feito diariamente em dez instantes e, sempre que sua temperatura atingir ou ultrapassar o limite de segurança, o funcionário deverá acionar o sistema de resfriamento.
O gráfico apresenta as temperaturas registradas nos dez instantes de monitoramento.
Quantas vezes, ao longo desse dia, o sistema de resfriamento foi acionado?
Para resolver corretamente, é indispensável ver o gráfico com as temperaturas registradas nos dez instantes. Primeiro encontrar os 80% da temperatura de referência, que é de 50 °C.
• Limite de segurança:
[tex] 80 \%\ de\ 50 = 0,8 × 50 = 40° [tex]
O sistema de resfriamento é acionado toda vez que a temperatura registrada for[tex] ≥ 40°[tex]. Ao analisar o gráfico, temos:
Logo, ao longo desse dia, o sistema de resfriamento foi acionado 4 vezes.
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Para as olimpíadas internas de um colégio, foram formadas 16 equipes, cada uma identificada por um escudo. Cada escudo será dividido em 4 regiões distintas, conforme a Figura 1.
Foram escolhidas três cores para colorir as regiões de todos os escudos. Em cada região, será utilizada uma única cor, e o escudo de cada equipe será colorido com até três dessas cores. Regiões com lado em comum não podem ter a mesma cor. Não pode haver duas equipes com uma mesma configuração de cores no escudo. A Figura 2 apresenta dois escudos possíveis.
Cinco responsáveis pelas olimpíadas analisaram a viabilidade de se confeccionarem os escudos, e cada um formulou um argumento:
I. é viável, pois há 18 escudos possíveis;
II. é viável, pois há 72 escudos possíveis;
III. é viável, pois há 81 escudos possíveis;
IV. não é viável, pois há apenas 6 escudos possíveis;
V. não é viável, pois há apenas 12 escudos possíveis.
O argumento correto foi o
Como cada escudo tem 4 regiões, com regiões adjacentes não podendo ter a mesma cor.
• Há 3 cores disponíveis.
• Cada escudo pode usar até 3 cores.
• Não pode haver dois escudos iguais (mesma configuração de cores).
• Precisamos verificar se existem pelo menos 16 escudos distintos possíveis.
Ao analisar a figura (quatro regiões com adjacências fixas), a contagem correta das colorações válidas é:
18 escudos distintos
Como 18 ≥ 16, é viável confeccionar os escudos.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um vendedor de balões para festas comprou um recipiente cheio de gás hélio, no formato de cilindro circular reto com 40 cm de diâmetro interno da base e 1 m de altura. Ele vai adquirir balões em uma loja que só os vende em pacotes fechados, cada um com 5 balões esféricos que, após enchidos com gás hélio, têm 30 cm de diâmetro.
O volume adquirido desse gás, em condições normais de pressão, é igual a 12 vezes o volume do recipiente comprado. No caso dos balões esféricos, o volume de gás hélio no seu interior é igual à capacidade volumétrica desses balões quando cheios. O vendedor pretende encher o maior número possível de balões com o gás comprado.
O número mínimo de pacotes de balões que o vendedor deve comprar de forma a utilizar todo o volume de gás hélio adquirido é
Calcular os volumes e depois comparar.
🔹 Volume do recipiente (cilindro)
Diâmetro = 40 cm → (raio) r = 20 cm
Altura = 1 m = 100 cm
[tex]V_{(cilindro)} = π r^{2} h = π ⋅ 20^{2} ⋅ 100 = 40 000π\ cm^{3}[tex]
O volume de gás adquirido é 12 vezes esse volume:
[tex]V_{(gás)} = 12 \cdot 40 000π = 480 000π\ cm^{3} [tex]
🔹 Volume de um balão (esfera)
Diâmetro = 30 cm → (raio) r = 15 cm
[tex]V_{(Balão)} = \frac{4\ π\ r^{3}}{3} = \frac{ 4 \cdot\ 3π\ \cdot 15^{3}}{3} = 4\ 500π\ cm^{3} [tex]
🔹 Número máximo de balões
[tex]= \frac{480 000π}{4 500π} = \frac{480 000}{4 500} ≈ 106, 66 [tex]
Logo, é possível encher 106 balões inteiros.
🔹 Número de pacotes
Cada pacote tem 5 balões:
[tex]= \frac{106}{5} = 21,2 [tex]
Para usar todo o gás possível, o vendedor deve comprar o menor número inteiro de pacotes que permita atingir esse total, isto é:
[tex]= 22\ pacotes [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um rapaz decidiu comprar um automóvel, esperando revendê-lo em um ano. Baseou sua decisão de compra na despesa que teria com o automóvel nesse período, em custos tanto com manutenção quanto com combustível, prevendo que rodaria 60 000 km com o automóvel em um ano e considerando que a média do preço do litro da gasolina nesse período seria de R$ 5,00. Pesquisou em diversas revendedoras e restringiu sua escolha a cinco dos automóveis que havia visto. Optou por comprar o que lhe desse a menor despesa, de acordo com os dados que obteve, apresentados no quadro.
O rapaz comprou o automóvel
Vamos calcular a despesa total anual (combustível + manutenção) de cada automóvel.
Dados comuns:
Distância anual: 60 000 km
Preço da gasolina: R$ 5,00/L
O custo com combustível é:
Custo = 60 000/rendimento × 5 = 300 000/rendimento
🔹 Automóvel I
Rendimento: 10 km/L
Combustível: \frac{300 000}{10} = 30 000
Manutenção: 22 000
👉 Total: 52 000 ❌
🔹 Automóvel II
Rendimento: 12 km/L
Combustível: \frac{300 000}{12} = 25 000
Manutenção: 16 000
👉 Total: 41 000 ❌
🔹 Automóvel III
Rendimento: 15 km/L
Combustível: \frac{300 000}{15} = 20 000
Manutenção: 18 000
👉 Total: 38 000 ✅
🔹 Automóvel IV
Rendimento: 15 km/L
Combustível: \frac{300 000}{15} = 20 000
Manutenção: 19 000
👉 Total: 39 000 ❌
🔹 Automóvel V
Rendimento: 20 km/L
Combustível: \frac{300 000}{20} = 15 000
Manutenção: 24 000
👉 Total: 39 000 ❌
Logo, o rapaz comprou o automóvel III por R$ 38 000,00.
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Uma pesquisa divulgada pela Fundação Getúlio Vargas Social sobre o “Mapa da Nova Pobreza”, com base nos dados disponibilizados pela Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua (PNADC), constatou que a pobreza aumentou durante a pandemia no Brasil. De acordo com o estudo, o contingente de pessoas com renda domiciliar per capita de até R$ 497,00 mensais atingiu 62,9 milhões de brasileiros em 2021, o que representa 29,62% da população total do país.
Taxas percentuais da pobreza no Brasil no período de 2012 a 2021
Disponível em: https://cps.fgv.br. Acesso em: 23 abr. 2024.
De acordo com os dados apresentados no gráfico, a mediana das taxas de pobreza no Brasil de 2012 a 2021 foi
Como o período 2012–2021 tem 10 valores, a mediana é a média aritmética entre o 5º e o 6º valores, após ordenar as taxas em ordem crescente.
De acordo com o gráfico da FGV, as taxas percentuais de pobreza (em %) são aproximadamente:
23,72 – 24,93 – 25,08 – 25,48 – 26,05 – 26,51 – 26,79 – 26,86 – 27,36 – 29,62
(Os dois valores centrais coincidem em torno de 26,24%.)
Cálculo da mediana
[tex] Mediana = \frac{5º\ +\ 6°}{2} = \frac{26,05\ +\ 26,51}{2} = \frac{52,56}{2} = 26,28 [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O índice de massa corporal (IMC) é uma medida internacional usada para determinar se uma pessoa está com a massa corporal ideal. No cálculo do IMC, são utilizadas a massa corporal da pessoa, em quilograma, e a sua altura, em metro. O valor do IMC é dado pela razão entre a massa do indivíduo pelo quadrado de sua altura.
A unidade de medida do IMC é
Como o valor do IMC é dado pela razão entre a massa (m) do indivíduo pelo quadrado de sua altura (h). Logo:
[tex]IMC =\frac{m}{h^{2}} = \frac{kg}{m^{2}} = kg \cdot m^{-2} [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Em 2011, um tsunami atingiu os reatores da usina nuclear de Fukushima, no Japão, liberando radiação para o meio ambiente e provocando um dos maiores acidentes radioativos da história. Inicialmente, foi delimitada uma área de isolamento correspondente a um círculo com raio de 30 km, centrado no local do acidente radioativo.
Disponível em: https://noticias.uol.com.br. Acesso em: 24 abr. 2024 (adaptado).
Considere que, para aumentar a margem de segurança, o raio do círculo da área de isolamento foi ampliado para 40 km, mantendo-se o mesmo centro.
Use 3 como valor aproximado para π.
O aumento da medida da área de isolamento, em quilômetro quadrado, foi de
A área de um círculo é dada por:
[tex]A = π\ r^{2} [tex]
🔹 Área inicial (raio = 30 km)
[tex]A_{1} = 3 \cdot 30^{2} = 3 \cdot 900 = 2 700\ km^{2} [tex]
🔹 Nova área (raio = 40 km)
[tex]A_{2} = 3 \cdot 40^{2} = 3 \cdot 1 600 = 4 800\ km^{2} [tex]
🔹 Aumento da área
[tex]ΔA = A_{2} − A_{1} = 4 800 − 2 700 = 2 100\ km^{2} [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O proprietário de um terreno plano, em formato de quadrado e com área medindo 360 000 m2, solicitou a um topógrafo que representasse esse terreno em um mapa cuja escala é 1 : 2 500. Porém, nesse mapa, alguns detalhes do terreno ficaram imperceptíveis. Com isso, foi desenhado um novo mapa, com escala de 1 : 1 600.
Qual é a medida, em metro, arredondada para duas casas decimais, do aumento do segmento que representa o lado do terreno, quando se compara o mapa novo com o mapa original?
👉 Para o lado do terreno real
O terreno é quadrado e tem área de 360 000 m²
Logo, o lado vale:
[tex]A = \sqrt{360 000} = 600\ m [tex]
👉 Representação no mapa original (escala 1 : 2 500)
Cada 1 m no mapa representa 2 500 m reais.
[tex] lado\ no\ mapa = \frac{600}{2500} = 0,24\ m [tex]
👉 Representação no novo mapa (escala 1 : 1 600)
[tex]lado\ no\ novo\ mapa = \frac{600}{1600} = 0,375\ m [tex]
👉 Aumento do segmento representado
[tex]0,375 − 0,24 = 0,135\ m [tex]
Portanto, arredondando para duas casas decimais, temos:
[tex]0,135 ≈ 0,14 m[tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Na área da computação, bit é a unidade de medida básica que deu origem ao byte, formado por 8 bits. Essas unidades deram origem a outras duas unidades de medida de taxa de transferência de informações, sendo estas o megabit por segundo (Mbps) e o megabyte por segundo (MB/s), em que 1 MB/s representa 8 Mbps. Um consumidor, sabendo que as empresas de acesso à internet divulgam seus serviços usando essas taxas, pretende contratar a empresa com maior taxa de transferência de informações ao custo mais baixo, encontrando na sua pesquisa dois anúncios:
🔹 Empresa X: internet de 50 megabits (50 Mbps) por apenas R$ 50,00;
🔹 Empresa Y: internet de 50 megabytes (50 MB/s) por apenas R$ 100,00.
Para o consumidor obter o que pretende, deve escolher a empresa
Vamos comparar taxa de transferência e custo, usando a relação dada 1 MB/s = 8 Mbps
🔹 Para a Empresa X
Taxa anunciada: 50 Mbps
Em MB/s:
[tex]= \frac{50}{8} = 6,25\ MB/s [tex]
Preço: R$ 50,00
🔹 Para a Empresa Y
Taxa anunciada: 50 Mbps
Em MB/s:
[tex]= 50 × 8 = 400\ MB/s [tex]
Preço: R$ 100,00
🔹 Agora, comparação das taxas
[tex] \frac{400}{50} = 8 [tex]
A empresa Y oferece uma taxa de transferência 8 vezes maior que a da empresa X.
🔹 Comparação do custo por Mbps
Empresa X:
[tex] \frac{50}{50} = R$\ 1,00\ por\ Mbps [tex]
Empresa Y:
[tex] \frac{100}{400} = R$\ 0,25\ por\ Mbps [tex]
➡️ O custo por Mbps da empresa Y é 1/4 do custo da empresa X.
Dessa forma, a empresa que oferece maior taxa de transferência ao menor custo é a Empresa Y.
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
A escassez de água em todo o planeta indica que a preservação desse recurso deve ser praticada e disseminada em todos os países, independentemente da reserva que possuem.
Disponível em: www.gentequeeduca.org.br. Acesso em: 9 jul. 2015.
Pensando nisso, uma empresa fornecedora de água potável elaborou uma nova fórmula de cobrança visando um consumo mais consciente. Residências com consumo mensal de até 5 m³ de água pagarão uma taxa mínima de R$ 40,00 por mês, e aquelas cujo consumo mensal exceder a 5 m³ pagarão, além dos R$ 40,00, mais R$ 12,00 por metro cúbico de água que exceder a 5 m³.
A representação algébrica que fornece o valor mensal V, em real, cobrado pelo consumo de x m³ de água, quando x supera 5 m³, é
Como a expressão pedida vale quando o consumo supera 5 m³, devemos considerar:
Taxa fixa: R$ 40,00
Excedente: paga-se R$ 12,00 por m³ acima de 5 m³
Se o consumo é x > 5, o excedente é:
[tex] x − 5 [tex]
O valor pago pelo excedente é:
[tex]12 (x − 5) [tex]
Somando com a taxa fixa:
[tex]V = 40 + 12(x − 5) [tex]
[tex]V = 40 + 12x − 60 [tex]
[tex]V = 12x − 20 [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Uma citação presente no livro dos recordes destaca que o maior pneu do mundo é produzido para um tipo de caminhão utilizado em mineração. A largura de cada pneu desse tipo de caminhão mede 148 cm e seu diâmetro externo mede 403 cm.
Disponível em: https://dinamicarpneus.com.br. Acesso em: 2 dez. 2018 (adaptado).
Uma loja de pneus pretende distribuir aos seus clientes uma miniatura desse tipo de caminhão, confeccionada com dimensões proporcionais às medidas reais. Após receber as miniaturas confeccionadas, foi verificado que a largura de cada pneu dessa miniatura mede 7,4 cm.
O diâmetro externo de cada pneu dessa miniatura, em centímetro, mede
As dimensões da miniatura são proporcionais às reais.
👉 Fator de redução
Largura real do pneu: 148 cm
Largura da miniatura: 7,4 cm
[tex]Fator = \frac{7,4}{148} = \frac{1}{20}[tex]
👉 Diâmetro na miniatura
Diâmetro real: 403 cm
[tex] diâmetro\ da\ miniatura = \frac{403}{20} = 20,15\ cm [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Em uma cidade, existem cinco caminhos ligando dois pontos turísticos. Um turista, dispondo de um carro para ir de um desses pontos turísticos ao outro, buscou informações sobre essas opções de caminhos e obteve as que estão apresentadas no esquema.
O turista escolheu o caminho que lhe permite chegar a seu destino no menor tempo possível, trafegando nas velocidades máximas permitidas em cada trecho.
O caminho escolhido foi o
Calcular o tempo em cada caminho percorrido pelo turista:
👉 Caminho I: ✅
[tex] V_{m} = \frac{ΔS}{Δt} \Longrightarrow Δt = \frac{ΔS}{V_{m}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{90}{100} + \frac{1}{2} \cdot \frac{90}{120} = [tex]
[tex] \Longrightarrow \frac{90}{200} + \frac{90}{240} = 0,45 + 0,375 = 0,825\ h [tex]
👉 Caminho II: ❌
[tex] V_{m} = \frac{ΔS}{Δt} \Longrightarrow Δt = \frac{ΔS}{V_{m}} = \frac{90}{70} \cong 1,28\ h [tex]
👉 Caminho III: ❌
[tex] V_{m} = \frac{ΔS}{Δt} \Longrightarrow Δt = \frac{ΔS}{V_{m}} = \frac{3}{10} \cdot \frac{100}{130} + \frac{7}{10} \cdot \frac{100}{90} = [tex]
[tex] \Longrightarrow \frac{3}{13} + \frac{7}{9} = 0,23 + 0,77 = 1,0\ h [tex]
👉 Caminho IV: ❌
[tex] V_{m} = \frac{ΔS}{Δt} \Longrightarrow Δt = \frac{ΔS}{V_{m}} = \frac{4}{10} \cdot \frac{80}{90} + \frac{6}{10} \cdot \frac{80}{90} = [tex]
[tex] \Longrightarrow \frac{32}{90} + \frac{48}{90} = 0,35 + 0,53 \cong 0,88\ h [tex]
👉 Caminho V: ❌
[tex] V_{m} = \frac{ΔS}{Δt} \Longrightarrow Δt = \frac{ΔS}{V_{m}} = \frac{120}{120} = 1,0\ h [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O ministro da Fazenda de um país anunciou que a arrecadação de impostos no ano anterior atingiu a marca de 1 138,32 milhões de dólares.
Em notação científica, a arrecadação de impostos anunciada, em dólar, foi de
O valor anunciado foi 1 138,32 milhões de dólares.
Como [tex]1\ milhão = 10^{6}[tex], temos:
[tex] = 1 138,32\ milhões = 1 138,32 × 10^{6} = [tex]
[tex] = 1,13832 × 10^{3} × 10^{6} = 1,13832 × 10^{9} [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Uma fábrica de refrigerantes criou um novo tipo de bebida ao adicionar uma quantidade de um tipo de xarope a 10 litros de um refrigerante que já tem em sua fórmula 15% desse xarope em sua composição. Com isso, 25% da composição desse novo tipo de bebida é formada por esse xarope.
Qual quantidade desse xarope, em litro, foi adicionada aos 10 litros de refrigerante para se criar esse novo tipo de bebida?
A quantidade inicial de xarope é, sabendo que o refrigerante inicial tem 10 litros com 15% (0,15) de xarope:
[tex]0,15 × 10 = 1,5\ L [tex]
Seja [tex]x[tex] a quantidade de xarope adicionada
• Quantidade total de bebida: [tex]10 + x[tex]
• Quantidade total de xarope: [tex]1,5 + x[tex]
A nova composição tem 25% de xarope:
[tex]\frac{1,5\ +\ x}{10\ +\ x} = 0,25 [tex]
[tex] 1,5 + x = 0,25 (10 + x) [tex]
[tex] 1,5 + x = 2,5 + 0,25x [tex]
[tex] x - 0,25x = 2,5 - 1,5 [tex]
[tex] 0,75x = 1 [tex]
[tex] x = \frac{1}{0,75} [tex] ([tex]0,75 = 3/4[tex])
[tex] x = \frac{1}{\frac{3}{4}} [tex]
[tex] x = 1 \cdot \frac{4}{3} [tex]
[tex] x = \frac{4}{3} [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Em uma loja de informática, 5 dispositivos de armazenagem de dados contêm as seguintes capacidades, expressas em gigabytes (GB): 32, 64, 128, 256 e 512. Nessa loja, esses dispositivos têm os preços P1, P2, P3, P4 e P5, respectivamente, os quais são determinados considerando-se R$ 10,00 por GB.
Qual é o termo geral da sequência desses preços?
Como as capacidades são 32, 64, 128, 256, 512 GB, que formam uma progressão geométrica de razão 2.
Observe que:
[tex]32 = 2^{5}[tex], [tex]64 = 2^{6}[tex], [tex]128 = 2^{7}[tex], [tex]256 = 2^{8}[tex], [tex]512 = 2^{9}[tex]
Logo, a capacidade do n-ésimo dispositivo é:
[tex]2n + 4 (em\ GB) [tex]
Como o preço é R$ 10,00 por GB, o preço do n-ésimo dispositivo é:
[tex]Pn = 10 \cdot 2^{n + 4} [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Em uma loja, um computador é vendido por R$ 2 000,00 à vista ou, de forma financiada, mediante uma entrada e mais 15 parcelas mensais iguais, envolvendo cobrança de juros. Inicialmente, um cliente propôs dar R$ 500,00 de entrada e, para esse caso, o vendedor calculou em R$ 150,00 o valor das prestações mensais. Para facilitar a escolha do cliente, o vendedor informou que cada R$ 1,00 de redução no valor das prestações corresponde a um acréscimo de R$ 10,00 no valor da entrada. Com essas informações, o cliente decidiu pela compra financiada, pagando prestações mensais de R$ 120,00.
Quanto, em real, esse cliente deve acrescentar ao valor inicial de sua proposta de entrada para viabilizar as prestações no valor de R$ 120,00?
Temos como proposta inicial uma entrada de R$ 500,00 e prestações de R4 150,00 (15 parcelas), tendo como regra informada pelo vendedor uma redução de R$ 1,00 na prestação (acrescimento de R$ 10,00 na entrada).
O cliente deseja uma prestação de R$ 120,00. Logo, a redução no valor da prestação é:
= 150 – 120 = 30 reais
Para cada R$ 1,00 reduzido, acrescenta-se R$ 10,00 na entrada, logo:
30 × 10 = 300 reais
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Na avaliação de riscos em investimentos no setor financeiro, compreender o desvio padrão das taxas de retorno ao longo de um período permite analisar riscos potenciais associados a um investimento. Quanto maior o desvio padrão, maior a variação das taxas de retorno e, consequentemente, maior o risco associado ao investimento. Um desvio padrão mais baixo indica um investimento mais estável e previsível.
Uma classificação de risco de investimento que adota o desvio padrão (dp) como medida para avaliação é:
▶ muito baixo: dp < 5%;
▶ baixo: 5% ≤ dp < 10%;
▶ moderado: 10% ≤ dp < 20%;
▶ alto: 20% ≤ dp < 30%;
▶ muito alto: dp ≥ 30%.
Um investidor analisou, ao longo de cinco meses, as taxas de retorno de um tipo de investimento na bolsa de valores e identificou, respectivamente, retornos mensais de 3%, 15%, 6%, 9% e 12%. Ele pretende aplicar um capital nesse tipo de investimento e adotará o desvio padrão como medida para avaliar a classificação do risco associado.
A classificação do risco desse tipo de investimento é
Calcular o desvio padrão (dp) das taxas de retorno das taxas observadas (%):
3, 15, 6, 9, 12
Calcular as média das taxas.
[tex]overline{x} = \frac{3\ +\ 15\ +\ 6\ +\ 9\ +\ 12}{5} = \frac{45}{5} = 9 \% [tex]
Agora, encontrar os desvios em relação à média.
[tex](3 − 9) = − 6 [tex]
[tex](15 − 9) = 6 [tex]
[tex](6 − 9) = − 3 [tex]
[tex](9 − 9) = 0 [tex]
[tex](12 − 9) = 3 [tex]
A próxima etapa é encontrar os quadrados dos desvios.
[tex](− 6)^{2} = 36 [tex]
[tex](6)^{2} = 36[tex]
[tex](− 3)^{2} = 9 [tex]
[tex](0)^{2} = 0 [tex]
[tex](3)^{2} = 9 [tex]
Dessa forma, o desvio padrão é:
[tex]dp = \sqrt{36 + 36 + 9 + 0 + 9} = \sqrt{90} = \sqrt{18} \cong 4,24[tex]
De acordo com a tabela fornecida, temos dp < 5%. Logo, o investimento tem risco muito baixo.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O gráfico apresenta as quantidades mensais vendidas de um item produzido por uma indústria no primeiro semestre deste ano, em milhar de unidades.
A partir do mês de março, observa-se o crescimento das vendas até o mês de maio e uma queda no mês de junho, que se explica pela falta de matéria-prima que ocorreu na primeira semana daquele mês. Caso essa falta de matéria-prima não tivesse ocorrido, a estimativa feita pela gerência é de que as vendas mensais desse item continuariam a crescer linearmente, mantendo o padrão de crescimento observado no período de março a maio nos demais meses do ano.
A estimativa feita para as vendas desse item no mês de julho, em milhar de unidades, antes da queda registrada no mês de junho, foi de
Os valores mensais (em milhares de unidades) são:
• janeiro: 400
• fevereiro: 550
• março: 500
• abril: 600
• maio: 700
• junho: 600 (queda por falta de matéria-prima)
Observando apenas o período indicado no enunciado:
• março → abril: 600 – 500 = 100
• abril → maio: 700 – 600 = 100
Logo, o crescimento é linear de 100 mil unidades por mês.
Se não tivesse ocorrido a falta de matéria-prima, o crescimento continuaria:
junho (estimado): 700 + 100 = 800
julho (estimado): 800 + 100 = 900
Logo, que a estimativa para julho é de 900 mil unidades.
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O proprietário de um terreno em declive decidiu construir dois muros nas laterais de sua propriedade, ambos com 40 metros de comprimento, 2 metros de altura em uma das extremidades e 2,5 metros na outra, conforme representado na figura.
Para realizar a obra, esse proprietário consultou cinco pedreiros, que cobram o mesmo valor por metro quadrado de muro construído. A medida da área total orçada por esses pedreiros foi:
▶ pedreiro I: 160 m²;
▶ pedreiro II: 200 m²;
▶ pedreiro III: 180 m²;
▶ pedreiro IV: 90 m²;
▶ pedreiro V: 169 m².
O proprietário avaliou as medidas apresentadas nesses orçamentos e contratou o pedreiro que apresentou a medida da área que permite realizar essa construção com o menor custo.
O pedreiro contratado foi o
Vamos calcular corretamente a área total dos dois muros.
👉 Área de um muro
Cada muro tem o formato de um trapézio, em que os lados paralelos (alturas): 2 m e 2,5 m e distância entre eles (comprimento do muro): 40 m
Área do trapézio:
[tex]A = \frac{(B\ +\ b)\ \cdot\ h}{2}[tex]
[tex]A = \frac{(2\ +\ 2,5)\ \cdot\ 40}{2}[tex]
[tex]A = \frac{4,5\ \cdot\ 40}{2}[tex]
[tex]A = 2,25 \cdot\ 40[tex]
[tex]A = 90\ m^{2}[tex]
Como são dois muros, logo:
[tex]A = 2 × 90 = 180\ m² [tex]
O pedreiro contratado foi o III.
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Dois professores participam de um concurso público com três fases. A primeira fase avalia o desempenho teórico, a segunda fase refere-se às experiências e aos títulos obtidos durante a vida acadêmica, e a última fase avalia o desempenho didático do participante, sendo as notas obtidas nessas fases representadas por [tex]F1[tex], [tex]F2[tex] e [tex]F3[tex], respectivamente. A nota final ([tex]NF[tex]) dos participantes é calculada por:
[tex] NF = 0,4 × F1 + 0,1 × F2 + 0,5 × F3 [tex]
O candidato precisa apresentar nota mínima igual a 6,0 em cada uma das fases para não ser desclassificado. Em caso de empate nas notas finais, o candidato que obtiver a maior nota na primeira fase será o primeiro colocado. O primeiro participante obteve nota 7,0 na primeira e na segunda fase e nota 10,0 na última fase. O segundo obteve nota 8,0 em cada uma das duas primeiras fases e ainda participará da terceira fase.
Para alcançar a primeira colocação no concurso, qual é a nota mínima que o segundo participante deverá obter na terceira fase?
Calculo da nota final do primeiro participante, sabendo que [tex]F1 = 7,0[tex]; [tex]F2 = 7,0[tex] e [tex]F3 = 10,0[tex].
[tex]NF = 0,4 × F1 + 0,1 × F2 + 0,5 × F3 [tex]
[tex]NF = 0,4 × 7,0 + 0,1 × 7,0 + 0,5 × 10,0 [tex]
[tex]NF = 2,8 + 0,7 + 5,0 [tex]
[tex]NF(1) = 8,5 [tex]
👉 Nota final do primeiro = 8,5
Agora, encontrar a nota final do segundo participante, sabendo que [tex]F1 = 8,0[tex]; [tex]F2 = 8,0[tex] e [tex]F3 = x[tex].
[tex]NF(2) = 0,4 × 8,0 + 0,1 × 8,0 + 0,5 × y [tex]
[tex]NF(2) = 3,2 + 0,8 + 0,5y [tex]
[tex]NF(2) = 4,0 + 0,5y[tex]
Condição para primeira colocação é vender diretamente:
[tex]NF(2) > 8,5[tex]
[tex]4,0 + 0,5y > 8,5 [tex]
[tex] 0,5y > 8,5 – 4,0 [tex]
[tex] y > 4,5/0,5 [tex]
[tex] y > 9 [tex]
Como o segundo candidato tirou 8,0 na primeira fase que maior do que 7,0 do primeiro. Logo, como empate ele se classifica. Dessa forma, a menor nota possível é 9,0.
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Em uma empresa, existem duas equipes de vendedores: uma denominada Profissional, formada pelos vendedores mais experientes, e outra denominada Iniciante, formada pelos vendedores que ainda se encontram em fase de aperfeiçoamento. Durante uma semana, as quantidades de unidades vendidas por equipe foram registradas no gráfico.
O gerente da empresa pesquisou os dias dessa semana em que a equipe Profissional vendeu pelo menos o dobro do que vendeu a equipe Iniciante.
Quantas unidades a equipe Profissional vendeu a mais do que a equipe Iniciante no total dos dias pesquisados pelo gerente?
De acordo com gráfico, a equipe Profissional vendeu pelo menos o dobro do que vendeu a equipe iniciante somente no dia 1 e 5. Logo, a equipe Profissional vendeu a mais do que a equipe iniciante:
[tex] Dia(1) = 20\ – 10 = 10[tex]
[tex] Dia(5) = 50\ – 15 = 35[tex]
Portanto,
[tex] = 10 + 35 [tex]
[tex] = 45 [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
No piso de uma sala, há obstáculos. Cada obstáculo tem uma cor: azul, cinza ou alaranjado. Um robô foi colocado na posição representada pela seta, conforme a figura.
Esse robô foi programado para, ao iniciar sua movimentação, seguir continuamente sempre no sentido que aponta a seta. Ele tem um sensor que, ao tocar em um obstáculo, identifica sua cor. Se a cor é cinza, o robô gira 90° no sentido horário; se a cor é alaranjado, gira 90° no sentido anti-horário, e se a cor for azul, gira 180°.
Para sair dessa sala, em quantos obstáculos ele tocará?
De acordo com as informações da questão, temos os seguintes movimentos:
▶ Cor cinza: gira 90° sentido horário;
▶ Cor alaranjado: gira 90° sentido anti-horário;
▶ Cor azul: gira 180°.
Observe a figura a seguir:
Para sair dessa sala, o robô tocará em 11 obstáculos.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um engenheiro é responsável por acompanhar o processo de controle de produção de uma fábrica de parafusos. Esse processo é considerado sob controle se o comprimento C dos parafusos satisfizer [tex]M - 3d ≤ C ≤ M + 3d [tex] sendo M a média dos comprimentos e d o desvio padrão dos comprimentos dos parafusos. Na última coleta de dados em que o processo foi considerado sob controle, foram obtidos M = 5,0 cm e d = 1,2 cm.
Com a chegada de uma nova máquina, a variabilidade dos comprimentos dos parafusos foi reduzida, e o processo foi considerado sob controle. A média dos comprimentos dos parafusos produzidos por essa nova máquina foi 5,6 cm, e nenhum desses parafusos teve comprimento menor que a medida mínima, nem maior que a medida máxima dos parafusos produzidos pela máquina anterior.
O desvio padrão, em centímetro, para o novo intervalo deverá ser, no máximo,
Vamos organizar os dados e comparar os intervalos de controle.
🔹 Intervalo de controle da máquina antiga
Dados:
Média: [tex] M = 5,0 [tex]
Desvio padrão: [tex] d = 1,2\ cm [tex]
[tex] M − 3d ≤ C ≤ M + 3d [tex]
[tex] 5,0\ – 3 × (1,2) ≤ 5,0\ – 3,6 = 1,4 [tex]
👉 Intervalo antigo:
[tex] 1,4 ≤ C ≤ 8,6[tex]
🔹 Intervalo da nova máquina
Dados:
Nova média: [tex]M = 5,6\ cm [tex]
Novo desvio padrão: [tex]d′ [tex]
Nenhum parafuso ficou fora do intervalo [1,4; 8,6]
Logo, o novo intervalo deve satisfazer:
[tex]5,6\ − 3d′ ≥ 1,4[tex] e [tex] 5,6 + 3d′ ≤ 8,6 [tex]
🔹 Limite inferior:
[tex]5,6\ − 3d′ ≥ 1,4 [tex]
[tex] − 3d′ ≥ 1,4\ – 5,6 [tex] × (-1)
[tex] 3d′ ≤ 4,2 [tex]
[tex]D’ ≤ \frac{4,2}{3} [tex]
[tex]D’ ≤ 1,4[tex]
🔹 Limite superior:
[tex] 5,6 + 3d′ ≤ 8,6 [tex]
[tex] 3d′ ≤ 8,6\ – 5,6 [tex]
[tex] d′ ≤ \frac{3,0}{3,0} [tex]
[tex]d′ ≤ 1,0 [tex]
🔹 Desvio padrão máximo permitido
Para que todo o intervalo novo esteja contido no antigo, deve valer a condição mais restritiva:
[tex]d′ ≤ 1,0 [tex]
O desvio padrão máximo é 1,00 cm.
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Uma vacina foi testada em um grupo formado por 15 mulheres e 15 homens. Em testes clínicos realizados ao longo de vários anos, a vacina mostrou-se capaz de imunizar 80% das mulheres e 60% dos homens contra uma doença.
Um repórter, pretendendo fazer uma entrevista com uma das pessoas desse grupo, obteve uma listagem com os 30 números de telefone dessas pessoas, porém sem os respectivos nomes. Ele escolheu aleatoriamente um desses números e ligou para agendar a entrevista.
A probabilidade de que a pessoa para a qual o repórter telefonou seja um homem ou uma pessoa que tenha adquirido imunidade a essa doença com o uso da vacina é
De acordo com o enunciado, temos 30 pessoas, sendo 15 mulheres e 15 homens. De acordo com as pessoas imunizadas, temos:
▶ Mulheres: 80% de 15 = 0,8 × 15 = 12
▶ Homens: 60% de 15 = 0,6 × 15 = 9
Totalizando 12 + 9 = 21 imunizados.
A pessoa escolhida ser homem (H) OU imunizada (I) é:
[tex]P(H ∪ I) = P(H) + P(I)\ –\ (H ∩ I) [tex]
[tex]P(H ∪ I) = 15/30 + 21/30\ –\ 9/30[tex]
[tex]P(H ∪ I) = 27/30[tex]
[tex]P(H ∪ I) = 9/10[tex]
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação).
Para realizar uma brincadeira, foram utilizadas 4 caixas numeradas de 1 a 4 contendo, cada uma, a mesma quantidade de objetos. Em cada rodada dessa brincadeira, 2 objetos da Caixa 1 são transferidos para a Caixa 2; 2 dessa caixa são transferidos para a Caixa 3, e 2 dessa terceira caixa são transferidos para a Caixa 4. Após 3 dessas rodadas, a Caixa 4 continha 30 objetos.
Após as 3 rodadas, quantos objetos havia na Caixa 1?
Seja [tex]x[tex] a quantidade inicial em cada caixa.
• Efeito de uma rodada
Em cada rodada:
▶ Caixa 1 perde 2
▶ Caixa 2: ganha 2 da Caixa 1 e perde 2 para a Caixa 3 → saldo 0
▶ Caixa 3: ganha 2 da Caixa 2 e perde 2 para a Caixa 4 → saldo 0
▶ Caixa 4 ganha 2
👉 Portanto, em cada rodada, só mudam:
Caixa 1: [tex]−2[tex]
Caixa 4: [tex]+2[tex]
Após 3 rodadas a caixa 4 tem:
[tex]x + 3 ⋅ 2 = x + 6 x + 3[tex]
O enunciado diz que, ao final, a Caixa 4 tem 30 objetos:
[tex]x + 6 = 30[tex]
[tex]x = 30\ − 6[tex]
[tex]x = 24[tex]
Agora, a caixa 1 após 3 rodadas, ela perde 2 objetos a cada rodada:
[tex]= x\ – 3 ⋅ 2 = 24\ –\ 6 = 18[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um engenheiro precisa fazer uma escada conforme a imagem.
Disponível em: http://arquitetura-interiores.blogspot.com.br. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado).
Uma planta inicial foi elaborada, conforme a figura a seguir, usando instrumentos de medição, com as medidas de algumas inclinações. As semirretas que representam os pisos superior e inferior são paralelas.
A medida, em grau, do ângulo x é
Como as semirretas que representam os pisos superior e inferior são paralelos. E que ângulos alternos e internos são congruentes. Também, ângulos complementares valem 180°.
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
O gerente de um restaurante, para melhorar o atendimento em seu estabelecimento, registrou nesta semana o número de mesas ocupadas de segunda a sexta-feira, em cinco intervalos de tempo, conforme apresentado na tabela.
Atualmente o restaurante conta com 3 garçons, e cada um atende, no máximo, 24 mesas por hora. O gerente pretende contratar, para a próxima semana, garçons adicionais para aqueles dias em que os 3 garçons foram insuficientes para atender à demanda de mesas em algum dos intervalos considerados. Para isso, utilizou os dados registrados na tabela.
A quantidade mínima de novos garçons a serem contratados será
Calcular a capacidade de atendimento:
[tex]3\ garçons × 24 mesas/hora = 72\ mesas\ por\ hora [tex]
Sempre que algum intervalo do dia tiver mais de 72 mesas, será preciso contratar garçons extras para aquele dia.
👉 SEGUNDA-FEIRA
Valores: 10, 73, 124, 57, 8
Pico = 124 mesas
excedente: [tex]124 - 72 = 52\ mesas\ excedentes [tex]
[tex]52 ÷ 24 ≈ 2,17\ ➡️\ 2\ garçons [tex]
✅ 2 novos garçons
👉 TERÇA-FEIRA
Valores: 12, 83, 110, 39, 12
Pico = 110 mesas
excedente: [tex]110 - 72 = 38\ mesas\ excedentes [tex]
[tex]38 ÷ 24 ≈ 1,58\ ➡️\ 2\ garçons [tex]
✅ 2 novos garçons
👉 QUARTA-FEIRA
Valores: 12, 20, 35, 20, 24
Pico = 35 mesas
excedente: [tex]110 - 72 = 38\ mesas\ excedentes [tex]
Não ultrapassa 72, logo, não precisa contratar novos garçons.
👉 QUINTA-FEIRA
Valores: 10, 48, 50, 24, 56
Pico = 56 mesas
Não ultrapassa 72, logo, não precisa contratar novos garçons.
👉 SEXTA-FEIRA
Valores: 6, 38, 56, 44, 105
Pico = 105 mesas
excedente: [tex]105 - 72 = 33\ mesas\ excedentes [tex]
[tex]33 ÷ 24 ≈ 1,38\ ➡️\ 2\ garçons [tex]
✅ 2 novos garçons
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Um relatório sobre a equipe inicial dos estudantes de uma escola, inscritos para uma competição esportiva, informava que a média das alturas desses estudantes era 1,66 m. Após a elaboração desse relatório, houve a inclusão de dois novos estudantes na equipe, cujas alturas eram de 1,75 m e 1,85 m. Com isso, a média das alturas dos estudantes da nova equipe passou a ser 1,67 m.
O número de estudantes que formam a nova equipe é
▶ Equacionando problema:
🔹 Dados:
número inicial de estudantes = [tex]n[tex]
Média inicial: [tex]1,66\ m[tex]
Soma das alturas iniciais: [tex]1,66 \cdot n [tex]
Inclusão de novos estudantes: [tex]n + 2 [tex]
Nova média: [tex]1,67 [tex]
Logo, temos:
[tex] 1,66n + 3,60 = 1,67 (n + 2) [tex]
[tex] + 3,60 = 1,67n + 3,34 [tex]
[tex] 3,60 − 3,34 = 1,67n − 1,66n [tex]
[tex] 0,26 = 0,01n [tex]
[tex] n = \frac{0,26}{0,01} [tex]
[tex] n = 26 [tex]
Com isso, o número de estudantes da nova equipe é:
[tex] = n + 2 = 26 + 2 = 28 [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Uma pessoa pretende comprar peças em formato de bloco retangular, que serão colocadas uma ao lado da outra para montar um armário cujo comprimento seja exatamente 150 cm. Em uma pesquisa na internet, ela encontrou cinco tipos de peças diferentes, de mesma altura e mesma profundidade, com larguras externas medindo:
🔹 peça I: 25 cm;
🔹 peça II: 35 cm;
🔹 peça III: 40 cm;
🔹 peça IV: 60 cm;
🔹 peça V: 75 cm.
Essa pessoa comprará pelo menos dois tipos de peças com larguras diferentes e na menor quantidade, de modo que a soma das medidas das larguras corresponda a 150 cm.
Para que seu objetivo seja alcançado, ela deverá comprar quantas peças?
Com duas peças não é possível pois, a soma das duas larguras maiores não dá 150 (75 + 60 = 135).
Agora, buscar combinações com pelo menos 3 tipos diferentes de peças:
[tex] = 75 + 40 + 35 = 150 [tex]
Com isso, pode ele pode comprar 3 peças, para alcançar o objetivo.
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 1ª Aplicação - BELÉM).
Uma piscina com capacidade total de 100 m3 precisava ser enchida. Inicialmente, prevendo um determinado tempo de enchimento, um registro de vazão constante foi aberto e começou-se a enchê-la a partir de 0 hora. O volume V de água dentro da piscina, em metro cúbico, t horas após 0 hora, era dado pela função [tex]V(t) = 20 + 5t[tex]. Às 10 horas, um novo registro, também de vazão constante, foi aberto e passou a funcionar conjuntamente com o anterior, de maneira a diminuir em 4 horas o tempo de enchimento inicialmente previsto.
A vazão do novo registro, em metro cúbico por hora, foi de
O tempo de enchimento previsto inicialmente é (capacidade da piscina: 100 m³):
[tex]V(t) = 20 + 5t[tex]
[tex]100 = 20 + 5t[tex]
[tex]100\ –\ 20 = 5t[tex]
[tex]t = \frac{80}{5} = 16\ horas[tex]
O tempo do novo enchimento (diminuir 4 horas), ou seja, 16 – 4 = 12 horas.
Agora, encontrar o volume de água as 10 horas.
[tex]V(t) = 20 + 5t[tex]
[tex]V(t) = 20 + 5 \cdot 10[tex]
[tex]V(t) = 20 + 50[tex]
[tex]V(t) = 70\ m^{3}[tex]
Esses 30 m³ foram preenchidos entre 10h e 12h, ou seja, em 2 horas:
[tex]Vazão\ total: \frac{30}{2} = 15\ m^{3}/h[tex]
Sendo assim, a vazão do novo registro será de:
[tex] = 15\ –\ 5 = 10 m^{3}/h[tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
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