(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma empresa de brinquedos pretende lançar uma coleção de miniaturas dos tipos de dinossauros de que já foram encontrados esqueletos. O lançamento inicial será o Megalossauro, um dinossauro pré-histórico do Reino Unido que tinha aproximadamente 900 cm de comprimento. Para isso, a empresa pretende fazer o dinossauro em miniatura com as medidas proporcionais às medidas reais. A imagem ilustra como ficará o brinquedo e o seu comprimento. As reduções para obter as demais dimensões do brinquedo deverão seguir a mesma proporção utilizada para o comprimento.
EATON, T. Infográficos universo: fatos e curiosidades inusitadas sobre a vida, a Terra, os planetas e muito mais. São Paulo: Publifolha, 2016 (adaptado).
A escala da miniatura desse brinquedo é
👉 Dados do enunciado
• Comprimento real do Megalossauro: 900 cm
• Comprimento da miniatura: (pela imagem do enunciado) 36 cm
👉 Cálculo da escala
A escala é a razão entre o tamanho da miniatura e o tamanho real:
[tex]Escala = \frac{36}{900} = \frac{1}{25} [tex]
Ou seja, cada 1 cm no brinquedo representa 36 cm no dinossauro real.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma empresa foi contratada para realizar a instalação de placas fotovoltaicas em um condomínio residencial no prazo de 14 dias. Essa empresa iniciou a instalação com 4 funcionários de mesmo rendimento, atuando em jornadas de trabalho de 8 horas diárias. Ao finalizar o 10º dia de trabalho, apenas 2/5 da instalação haviam sido concluídos. Preocupado com o cumprimento do prazo estipulado, o gerente da empresa decidiu contratar mais funcionários com rendimento igual ao dos já contratados, e que todos deveriam atuar em jornadas de trabalho de 10 horas diárias.
Para concluir a instalação no prazo estipulado, o número mínimo de funcionários a mais que o gerente irá contratar é
👉 Situação inicial
• Funcionários: 4
• Jornada: 8 h/dia
• Tempo trabalhado: 10 dias
• Trabalho realizado: 2/5 do total
Trabalho realizado é proporcional a:
[tex] = 4 × 8 × 10 = 320 [tex]unidades de trabalho
Isso corresponde a 2/5 da obra.
👉 Trabalho total
Se [tex]2/5 → 320 [tex], então o trabalho total é:
[tex] \frac{5}{2} × 320 = 800 [tex] unidades
Trabalho que ainda falta
[tex]= 800 – 320 = 480\ unidades[tex]
👉 Tempo restante
• Prazo total: 14 dias
• Já passaram: 10 dias
⏳ Restam:
[tex]= 14 – 10 = 4\ dias[tex]
👉 Nova jornada
• Todos trabalharão 10 horas por dia
• Seja [tex]x[tex] o total de funcionários a partir do 11º dia
Capacidade de trabalho nos 4 dias restantes:
[tex]x × 10 × 4 = 40x[tex]
Isso deve ser igual ao trabalho restante:
[tex]40x = 480[tex]
[tex]x = \frac{480}{40} = 12 [tex]
👉 Funcionários a mais (Já havia: 4 funcionários e de um total de 12)
[tex]12 – 4 = 8[tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma loja de artigos esportivos fez a seguinte promoção: para cada compra com valor superior a R$ 500,00 realizada na loja, o cliente retira aleatoriamente uma única ficha de uma urna para receber um brinde. A urna contém 20 fichas brancas, 30 azuis e 50 vermelhas, todas com igual probabilidade de serem retiradas.
O gerente dessa loja acrescentará algumas fichas brancas a essa urna, de modo que a probabilidade de a primeira ficha retirada ser branca seja superior a 50%.
Qual é a quantidade mínima de fichas brancas que ele acrescentará à urna?
👉 Situação inicial
• Fichas brancas: [tex]20[tex]
• Fichas azuis: [tex]30 [tex]
• Fichas vermelhas: [tex]50[tex]
👉 Total inicial:
[tex]20 + 30 + 50 = 100[tex]
Após acrescentar [tex]x[tex] fichas brancas
• Brancas: [tex]20 + x [tex]
• Total de fichas: [tex]100 + x [tex]
👉 A probabilidade de sair ficha branca deve ser maior que 50%:
[tex]\frac{20\ +\ x}{100\ +\ x} > 0,5[tex]
[tex]20 + x > 0,5 \cdot (100 + x) [tex]
[tex]20 + x > 50 + 0,5x [tex]
[tex]x - 0,5x > 50 - 20 [tex]
[tex]0,5x > 30 [tex]
[tex] x > \frac{30}{0,5} [tex]
[tex] x > 60 [tex]
Logo, o menor número inteiro maior que [tex]60[tex] é [tex]61[tex].
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
A prefeitura de uma cidade lançou um edital convidando empresas para um processo de licitação, para execução de serviços relacionados a obras em uma rodovia. Cinco empresas se inscreveram para participar do pregão. Elas devem dar lances em três modalidades: maquinário, recursos humanos e manta asfáltica. As regras a serem seguidas no dia do pregão são:
• lances apresentados são conhecidos por todos e não podem ser alterados até o fim do pregão;
• para a prestação de serviço em cada modalidade, os lances devem ser de valores múltiplos de R$ 500,00;
• para cada modalidade haverá um período de 10 minutos para as empresas fazerem seus lances. A empresa cuja soma dos valores dos lances for menor que a das outras participantes será a vencedora. Em caso de empate, vence a licitação a empresa que tiver oferecido o lance de menor valor na modalidade “maquinário”. Se os lances das empresas empatadas forem iguais nessa modalidade, elas compartilharão os serviços.
No dia do pregão, o dono da Empresa 2 organizou um quadro para registrar os valores dos lances. Em determinado momento, faltava apenas seu lance para manta asfáltica.
Ele pretende que seu lance seja do maior valor possível, mas que permita que sua empresa seja a única vencedora nesse processo licitatório.
O valor do lance a ser feito pelo dono da Empresa 2 deverá ser, em real, de
👉 Soma dos lances das empresas (exceto a manta da Empresa 2)
• Empresa 1:
[tex]= 10\ 000 + 5\ 500 + 12\ 000 = 27\ 500[tex]
• Empresa 3:
[tex]= 11\ 500 + 6\ 000 + 11\ 000 = 28\ 500[tex]
• Empresa 4:
[tex]= 12\ 000 + 5\ 000 + 11\ 500 = 28\ 500[tex]
• Empresa 5:
[tex]= 11\ 000 + 5\ 000 + 12\ 500 = 28\ 500[tex]
O menor total entre as concorrentes é o da Empresa 1: 27 500.
👉 Situação da Empresa 2
• Maquinário: [tex]11\ 000[tex]
• Recursos humanos: [tex]7\ 000[tex]
Soma parcial:
[tex]= 11\ 000 + 7\ 000 = 18 000[tex]
Se o lance da manta asfáltica for [tex]x[tex], o total será:
[tex]18 000 + x[tex]
👉 Condição para ser a única vencedora
Para vencer sozinha, a Empresa 2 precisa ter:
[tex]18 000 + x < 27 500[tex]
[tex]x < 27\ 500\ –\ 18\ 000[tex]
[tex]x < 9\ 500[tex]
Os lances devem ser múltiplos de R$ 500,00.
O maior valor possível menor que [tex]9\ 500[tex] é [tex]9\ 000[tex].
👉 Verificação de empate
Se fosse [tex]9\ 500[tex], o total seria [tex]27\ 500[tex], empatando com a Empresa 1. No desempate, venceria quem tivesse menor lance em maquinário (Empresa 1, com [tex]10\ 000[tex]), então não serviria.
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma escultura metálica é composta por uma esfera de raio 5 cm e um pedestal em forma de paralelepípedo reto retângulo. O pedestal tem 15 cm de altura e sua base tem forma de quadrado, com lados de medida 8 cm. A fixação da esfera se dá no ponto de interseção das diagonais da face quadrada do pedestal, sendo esse o ponto de tangência entre os dois sólidos que compõem a escultura. O museu responsável pela guarda da escultura deverá transportá-la para um outro local e pretende acondicioná-la em uma caixa perfeitamente ajustada às dimensões da escultura. No estoque do museu, existem cinco tipos de caixa, todos com tampa e em formato de paralelepípedo reto retângulo com estas dimensões:
• caixa 1: 8 cm × 8 cm × 25 cm;
• caixa 2: 13 cm × 13 cm × 20 cm;
• caixa 3: 10 cm × 10 cm × 20 cm;
• caixa 4: 10 cm × 10 cm × 25 cm;
• caixa 5: 13 cm × 13 cm × 25 cm.
A caixa a ser escolhida, para embalar a escultura nas condições pretendidas, é a
👉 Dimensões da escultura
• Pedestal
Base quadrada: 8 cm × 8 cm e Altura: 15 cm
• Esfera
Raio: 5 cm → diâmetro = 10 cm
A esfera é tangente ao centro da face superior do pedestal. O ponto de contato é o ponto mais baixo da esfera. O centro da esfera fica 5 cm acima da face superior. Assim, a esfera se estende 10 cm acima do topo do pedestal.
• Altura total da escultura
[tex]= 15 + 10 = 25\ cm[tex]
👉 Dimensões mínimas da caixa
• Base
O pedestal ocupa 8 × 88 \times 88 × 8, mas a esfera tem diâmetro 10 cm. Logo, a base da caixa precisa ter no mínimo 10 × 10 cm.
• Altura
Deve ser 25 cm.
👉 Dimensão mínima necessária:
[tex]10\ cm × 10\ cm × 25\ cm[tex]
Análise das caixas disponíveis:
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Um laboratório precisa comprar lâminas de vidro com espessura de 2 mm. No entanto, no mercado estão disponíveis apenas 5 tipos de lâminas de vidro, com as seguintes especificações de espessura:
• tipo I: 1,97 mm;
• tipo II: 2,10 mm;
• tipo III: 1,098 mm;
• tipo IV: 2,06 mm;
• tipo V: 2,025 mm.
Como nenhum dos 5 tipos de lâminas possui 2 mm de espessura, então, o laboratório irá adquirir o tipo cuja espessura seja a mais próxima de 2 mm.
Nessas condições, o tipo de lâmina que será adquirido é
Queremos a lâmina cuja espessura seja a mais próxima de [tex]2\ mm[tex], ou seja, com menor diferença absoluta em relação a [tex]2\ mm[tex].
Vamos calcular essas diferenças:
• Tipo I:
[tex]∣1,97\ −\ 2,00∣ = 0,03\ mm[tex]
• Tipo II
[tex]∣2,10 − 2,00∣ = 0,10\ mm[tex]
• Tipo III:
[tex]∣1,098 − 2,00∣ = 0,902\ mm[tex]
• Tipo IV:
[tex]∣2,06 − 2,00∣ = 0,06\ mm[tex]
• Tipo V:
[tex]∣2,025 − 2,00∣ = 0,025\ mm[tex]
Comparando as diferenças:
[tex]0,025 < 0,03 < 0,06 < 0,10 < 0,902 [tex]
A menor diferença é [tex]0,025\ mm[tex], correspondente ao tipo V.
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Em uma palestra, um veterinário apresentou a evolução do rebanho bovino de dois produtores que possuem, cada um, 100 bovinos. O produtor 1 utiliza o procedimento de inseminação artificial, enquanto o produtor 2 não utiliza esse procedimento, sendo [tex]p_{1}(t)[tex] e [tex]p_{2}(t)[tex] os números de animais dos rebanhos desses dois produtores, respectivamente, depois de t semanas. Ambos os rebanhos apresentaram crescimento linear, conforme representado no gráfico.
Para comparar o crescimento populacional desses dois rebanhos, o veterinário calculou a razão entre as taxas de variação das funções que descrevem a evolução do número de animais do rebanho do produtor 1 e do rebanho do produtor 2, nessa ordem.
O valor dessa razão calculada é
Pelo gráfico, vamos identificar dois pontos de cada função para calcular as taxas de variação (coeficientes angulares).
• Rebanho do produtor 1: [tex]p_{1}(t)[tex]
Do gráfico:
• Em [tex]t = 0[tex]: [tex] p_{1}(0) = 100[tex]
• Em [tex]t = 5[tex]: [tex] p_{1}(5) = 125[tex]
👉 Taxa de variação:
[tex] \frac{125\ –\ 100}{5\ –\ 0} = \frac{25}{5} = 5\ bovinos/semana [tex]
• Rebanho do produtor 2: [tex]p_{2}(t)[tex]
Do gráfico:
• Em [tex]t = 0 : p_{2}(0) = 100[tex]
• Em [tex]t = 12 : p_{2}(12) = 103[tex]
👉 Taxa de variação:
[tex]\frac{103\ –\ 100}{12\ –\ 0} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\ bovinos/semana [tex]
A razão pedida é:
[tex]\frac{taxa\ de\ p_{1}}{taxa\ de\ p_{2}} = \frac{5}{1/4} = 20[tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Um tipo de bactéria se reproduz rapidamente, formando uma colônia com dois trilhões e quatrocentos e cinquenta bilhões de bactérias.
Em notação científica, o número de bactérias dessa colônia é
Vamos escrever o número por extenso em forma numérica.
Dois trilhões [tex]= 2 000 000 000 000 [tex]
Quatrocentos e cinquenta bilhões [tex]= 450 000 000 000 [tex]
Somando:
[tex]= 2 000 000 000 000 + 450 000 000 000 = 2\ 450\ 000\ 000\ 000 [tex]
Agora, em notação científica:
[tex]= 2 450 000 000 000 = 2,45 × 10^{12}[tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Os egípcios utilizavam um dos sistemas de escrita numérica mais antigos, datado aproximadamente de 3500 a.C. Esse sistema trabalhava com agrupamentos não posicionais. O quadro apresenta alguns dos símbolos utilizados e seus respectivos valores equivalentes.
Assim, a representação do número 12 023, em símbolos egípcios, é:
Disponível em: www.matematica.br. Acesso em: 24 ago. 2014 (adaptado).
No sistema egípcio, qual é a representação do número 2 030?
Ou seja, a escrita egípcia de 2 030 é formada por:
𓆼 𓆼 (dois símbolos de mil)
∩ ∩ ∩ (três símbolos de dez)
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma fábrica de televisores de tela plana vende esse produto a lojistas pelo valor unitário de R$ 1 200,00. Inicialmente, a gerência de uma loja planeja efetuar um pedido de 40 unidades de televisores para a fábrica. Uma transportadora cobra R$ 12 000,00 para o transporte de até 120 televisores.
A gerência da loja decide aumentar a quantidade de televisores no pedido, de forma a reduzir em 60% o custo do frete por televisor em relação ao inicialmente planejado.
O valor, em real, que a loja necessitará gastar a mais com a quantidade de televisores a serem adquiridos, em relação ao inicialmente planejado, é
👉 Situação inicial
Quantidade inicial: 40 televisores
Custo do frete: R$ 12 000,00
Custo do frete por televisor (inicial):
[tex] \frac{12 000}{40} = 300\ reais [tex]
👉 Nova condição
A loja quer reduzir em 60% o custo do frete por televisor.
[tex] 60 \%\ de\ 300 = 0,60 × 300 = 180[tex]
👉 Novo custo por televisor:
[tex]300 – 180 = 120\ reais[tex]
👉 Quantidade necessária para esse custo
Se o frete total continua sendo R$ 12 000,00:
[tex] \frac{12 000}{x} = 120[tex]
[tex] 120x = 12\ 000[tex]
[tex] x = \frac{12\ 000}{120}[tex]
[tex]x = 100\ televisores [tex]
(Está dentro do limite de até 120 televisores.)
👉 Custo dos televisores
Custo inicial:
[tex]= 40 × 1 200 = 48 000 [tex]
Novo custo:
[tex]= 100 × 1 200 = 120 000 [tex]
Valor gasto a mais
[tex]= 120 000 − 48 000 = 72 000[tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Por causa da escassez de água, a companhia de abastecimento de um município adotou uma medida de contenção de consumo. A medida consiste em calcular o acréscimo de consumo de água em um dos meses desse ano, em relação ao volume de água consumida no mesmo mês do ano anterior, para determinar o aumento a ser implementado na conta. Em função da faixa em que esse acréscimo de consumo se enquadrar, aplicam-se diferentes percentuais de aumento ao valor mensal a ser pago, em real. Para acréscimos de consumo de até 20%, o aumento no valor mensal da conta é de 50%, e para acréscimos de consumo superiores a 20%, o aumento no valor mensal da conta é de 100%.
Uma família, em determinado mês desse ano, consumiu 25% a mais de água em comparação ao consumo do mesmo mês do ano anterior. Com isso, o valor da conta de água dessa família seria de R$ 120,00, caso a companhia não estivesse adotando a medida de contenção de consumo.
Qual é o valor a ser pago, em real, por essa família no referido mês com a aplicação de medida de contenção de consumo?
Como o acréscimo de consumo foi de 25%, ele é superior a 20%. Portanto, aplica-se aumento de 100% no valor da conta.
Valor da conta sem a medida: R$ 120,00
Aumento de 100% = dobrar o valor:
[tex] 120 + 120 = 240 [tex]
Valor a ser pago será R$ 240,00
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma atleta consome, diariamente, uma porção de 60 g de um alimento. A informação nutricional desse alimento está indicada no rótulo do produto, em porcentagem do valor diário recomendado (% V.D.), com base em determinada dieta.
Disponível em: www.tabelanutricional.com.br. Acesso em: 18 abr. 2015 (adaptado).
Um nutricionista sugeriu um consumo diário maior desse alimento, de modo que, por meio da sua ingestão, a quantidade de proteínas aumentasse 80% do valor ingerido atualmente e a quantidade de sódio não ultrapassasse 36% do valor diário recomendado. Para seguir a sugestão do nutricionista, a atleta calculou as quantidades mínima e máxima desse alimento a serem ingeridas diariamente.
As quantidades mínima e máxima, em grama, calculadas pela atleta são, respectivamente,
Vamos organizar os dados do rótulo (porção de 60 g):
Proteínas: 9% do V.D.
Sódio: 12% do V.D.
👉 Quantidade mínima (condição das proteínas)
Atualmente, a atleta ingere 9% do V.D. de proteínas. O nutricionista recomendou aumentar essa quantidade em 80%:
[tex]9 \%\ × 1,8 = 16,2 \%\ do\ V.D. [tex]
Se 60 g fornecem 9%, a quantidade x necessária para fornecer 16,2% é:
[tex] \frac{9}{60} = \frac{16,2}{x} [tex]
[tex]x = \frac{16,2\ ×\ 60}{9} = 108 g [tex]
Quantidade mínima: 108 g
👉 Quantidade máxima (condição do sódio)
O consumo de sódio não pode ultrapassar 36% do V.D. Se 60 g fornecem 12%, então:
[tex] \frac{12}{60} = \frac{36}{x}[tex]
[tex]x = \frac{36\ ×\ 60}{12} = 180 g [tex]
Então, a quantidade máxima: 180 g
As quantidades mínima e máxima são, respectivamente, 108,0 e 180,0.
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Na bolsa de Paula, há uma cédula de R$ 2,00, duas de R$ 5,00, duas de R$ 10,00, uma de R$ 20,00, duas de R$ 50,00 e quatro moedas: uma de R$ 0,10, uma de R$ 0,25, uma de R$ 0,50 e uma de R$ 1,00.
Paula deseja pagar uma despesa de R$ 10,75 e, para isso, retira de sua bolsa, sem olhar, uma cédula juntamente com duas moedas.
Qual é a probabilidade de Paula retirar exatamente o valor de sua despesa?
O que Paula retira 1 cédula e 2 moedas, escolhidas dentre as 4 moedas diferentes
👉 Valores disponíveis
• Cédulas
R$ 2,00 (1)
R$ 5,00 (2)
R$ 10,00 (2)
R$ 20,00 (1)
R$ 50,00 (2)
Total: 8 cédulas
• Moedas
R$ 0,10
R$ 0,25
R$ 0,50
R$ 1,00
👉 Total de pares possíveis de moedas:
[tex] C_{4,2} = \frac{4!}{(4\ –\ 2)!\ 2!}= \frac{4\ \cdot\ 3\ \cdot\ \color{Red}{2!}}{\color{Red}{2!}\ \cdot\ 2\ \cdot\ 1} = \frac{12}{2} = 6 [tex]
👉 Número total de possibilidades
[tex]8 × 6 = 48 [tex]
👉 Casos favoráveis (total = R$ 10,75)
Precisamos que:
1 Cédula + 2 moedas = 10,75
Para as moedas temos apenas uma combinação de moedas, que é:
[tex]0,25 + 0,50 = 0,75 [tex] ✅
e que exige apenas 1 cédula de R$ 10,00.
Como existem duas cédulas de R$ 10,00, temos 2 casos favoráveis.
👉 Probabilidade
[tex]P = \frac{2}{48} = \frac{1}{24} [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
O gráfico apresenta a distribuição da quantidade de salários mínimos pagos por uma empresa a seus funcionários.
A média de salários mínimos pagos por funcionário dessa empresa é
Calcular a média de salários mínimos pagos por funcionário:
[tex] M = \frac{1\ ×\ 10\ +\ 2\ ×\ 30\ +\ 4\ ×\ 30\ +\ 5\ ×\ 50\ +\ 7\ ×\ 40}{10\ +\ 30\ +\ 30\ +\ 50\ +\ 40}[tex]
[tex]M = \frac{10\ +\ 60\ +\ 120\ +\ 250\ +\ 280}{160}[tex]
[tex]M = \frac{720}{160}[tex]
[tex]M = 4,5[tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Um gerador emite um sinal cuja intensidade I recebida por um receptor é inversamente proporcional ao quadrado da distância desse receptor ao gerador. O receptor 1 recebe uma intensidade de sinal [tex]I_{1}[tex] desse gerador, enquanto que o receptor 2 recebe uma intensidade de sinal [tex]I_{2}[tex] desse mesmo gerador. Sabe-se que a distância do receptor 2 ao gerador é o dobro da distância do receptor 1 ao gerador.
As intensidades [tex]I_{1}[tex] e [tex]I_{2}[tex] satisfazem a relação
Como a intensidade I é inversamente proporcional ao quadrado da distância ao gerador, temos:
[tex]I ∝ \frac{1}{d^{2}} [tex]
Seja [tex]d_{1}[tex] a distância do receptor 1 e [tex]d_{2}[tex] a do receptor 2. É dado que:
[tex]d_{2} = d\ d_{1}[tex]
Então:
[tex]I_{1} ∝ \frac{1}{d^{2}_{1}} e I_{2} ∝ \frac{1}{(2 d_{1})^{2}} = \frac{1}{4d^{2}_{1}} [tex]
Comparando as intensidades:
[tex]I_{2} = \frac{I_{1}}{4}[tex]
ou, de forma equivalente,
[tex]I_{1} = 4\ I_{2}[tex]
Essa é a relação correta entre as intensidades recebidas pelos dois receptores.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma pessoa irá de carro retirar uma mercadoria em uma loja. Pesquisou no aplicativo do seu celular as opções de loja onde poderá retirar essa mercadoria e obteve como resposta o mapa da região onde ele se encontra e as cinco possibilidades de lojas.
Ao escolher uma das cinco lojas, o aplicativo identificou sua localização e apresentou a seguinte descrição de trajeto:
1º) siga em frente até a rotatória, nela pegue a segunda saída;
2º) siga em frente até a rotatória, nela pegue a segunda saída;
3º) siga em frente até a rotatória, nela pegue a segunda saída e chegue ao seu destino final. As rotatórias são percorridas no sentido anti-horário e, no trajeto descrito pelo aplicativo, a distância entre a segunda e a terceira rotatórias é o dobro da distância entre a primeira e a segunda. As distâncias entre as rotatórias estão apresentadas no quadro.
Seguindo as instruções recebidas do aplicativo, ela irá retirar a mercadoria na loja
De acordo com o enunciado, a distância entre a segunda e a terceira rotatórias é o dobro da distância entre a primeira e a segunda.
Pela tabela:
• 2 ↔ 3 = 100 m
• 2 ↔ 1 = 200 m
• 2 ↔ 5 = 200 m
• 2 ↔ 6 = 200 m
Logo:
• 1ª → 2ª rotatória: 100 m
• 2ª → 3ª rotatória: 200 m
Portanto, o trajeto obrigatoriamente passa por:
👉 3 → 2 → (1, 5 ou 6)
Seguindo o trajeto no mapa
🚗 Primeira rotatória: 3
• Chegada pela Rua 16
• Sentido anti-horário
• Segunda saída → Rua 14
• Chega à rotatória 2
✔️ até aqui, correto.
🚗 Segunda rotatória: 2
• Chegada pela Rua 14
• No sentido anti-horário, as saídas são:
1. Rua 3
2. Rua 8
3. Rua 7
4. Rua 14 (retorno)
👉 Segunda saída: Rua 8
Seguindo pela Rua 8, chega-se à rotatória 4.
🚗 Terceira rotatória: 4
• Chegada pela Rua 8
• No sentido anti-horário:
o Segunda saída: Rua 10
A Rua 10 leva diretamente à Loja I.
✅ Conclusão final
Seguindo exatamente as instruções do aplicativo:
• três rotatórias
• sempre a segunda saída
• percurso no sentido anti-horário
• respeitando a proporção das distâncias o destino final é a Loja I. ✅
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
A produtividade P de um tipo de semente depende da quantidade Q de fertilizante aplicada, ambas em quilograma por hectare. Foram realizados quatro experimentos em pequenas regiões, onde foi possível medir a produção para diferentes valores de Q para aquele tipo de solo, obtendo-se os seguintes resultados:
• região 1: Q = 0 kg/ha resultou P = 1 000 kg/ha;
• região 2: Q = 100 kg/ha resultou P = 6 000 kg/ha;
• região 3: Q = 200 kg/ha resultou P = 9 000 kg/ha;
• região 4: Q = 500 kg/ha resultou P = 6 000 kg/ha.
A produtividade P é modelada por uma função quadrática na variável Q. O objetivo desses experimentos é obter a dosagem ideal de fertilizante que torne a produção máxima.
Qual deve ser a dosagem de fertilizante a ser aplicada, em quilograma por hectare, para que a produção seja máxima?
Como a produtividade P é modelada por uma função quadrática em função de Q, escrevemos:
[tex]P(Q) = aQ^{2} + BQ + c [tex]
Use os dados experimentais
👉 Da região 1:
[tex]Q = 0 ⇒ P = 1000 ⇒ c = 1000[tex]
👉 Da região 2:
[tex]Q = 100 ⇒ 10 000a + 100b + 1000 = 6000[tex]
[tex] 10 000a + 100b = 5000 [tex] (1)
👉 Da região 3:
[tex]Q = 200 ⇒ 40000a +200b + 1000 = 9000[tex]
[tex] 40 000a + 200b = 8 000 [tex] (2)
Agora, resolvendo o sistema: Multiplicando (1) por 2:
[tex]20 000a + 200b = 10 000 [tex]
Subtraindo de (2):
[tex](40 000a + 200b) − (20 000a + 200b) = 8 000[tex]
[tex]20 000a = - 20 000 ⇒ b = - 0,1[tex]
Substituindo em (1):
[tex]10 000 (−0,1) + 100b = 5 000 [tex]
[tex]- 1000 + 100b = 5000[tex]
[tex]B = 60[tex]
Logo:
[tex]P(Q) = − 0,1Q^{2} + 60Q + 1000 [tex]
Encontre o valor de Q que maximiza P
Para uma função quadrática, o máximo ocorre no vértice:
[tex]Qmáx = \frac{−b}{2a} = - \frac{60}{2 \cdot (- 0,1)} = \frac{60}{0,2} = 300[tex]
A dosagem ideal de fertilizante é 300 kg/ha
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma fábrica trabalha com chapas metálicas para fabricar laminados de diferentes espessuras por meio de sucessivas dobras. Em cada etapa, o laminado é dobrado ao meio, conforme a figura.
A partir de uma chapa metálica com 1 mm de espessura, esse procedimento é repetido sucessivamente até que se obtenha o laminado na espessura desejada.
As espessuras, em milímetro, desses laminados após a 1ª, 2ª, 3ª, 4ª e 5ª dobras são, respectivamente,
As espessuras em mm após as dobras são:
[tex]2, 4, 8, 16[tex] e [tex]32[tex] ➡️ [tex]2, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}[tex] e [tex]2^{5}[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
O proprietário de um terreno retangular, de dimensões 60 m × 70 m, pretende construir uma cerca de arame farpado dando cinco voltas de fio ao redor desse terreno. O arame a ser utilizado é vendido em rolos de dois tipos, com preços e metragens diferentes: • tipo I: R$ 300,00 por um rolo de 100 metros; • tipo II: R$ 440,00 por um rolo de 150 metros. Esse proprietário comprará a quantidade mínima de rolos de um mesmo tipo, de modo a obter o menor custo total com arame farpado.
Para isso, ele comprará rolos do tipo
👉 Comprimento total de arame necessário
O terreno é retangular, com dimensões 60 m × 70 m. Então o perímetro é:
[tex]P = 2(60 + 70) = 2 \cdot 130 = 260 m [tex]
Como serão 5 voltas de fio:
[tex]260 × 5 = 1 300 m [tex]
Logo, são necessários 1300 metros de arame.
👉 Análise dos tipos de rolo
• Tipo I (Cada rolo: 100 m e Preço: R$ 300,00)
Quantidade mínima de rolos:
[tex] \frac{1300}{100} = 13 rolos [tex]
Custo total:
[tex]13 × 300 = R$ 3 900 [tex]
• Tipo II (Cada rolo: 150 m e Preço: R$ 440,00)
Quantidade mínima de rolos:
[tex] \frac{1300}{150} ≈ 8,67 ⇒ 9 rolos [tex]
Comprimento adquirido:
[tex]9 × 150 = 1 350 m [tex]
Custo total:
[tex]9 × 440 = R$ 3 960 [tex]
Comparação dos custos
[tex]Tipo I → R$ 3 900[tex]
[tex]Tipo II → R$ 3 960[tex]
O menor custo ocorre com o tipo I.
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
O gerente de uma fábrica comparou a evolução das vendas de dois produtos similares, I e II, e percebeu que a quantidade mensal de unidades vendidas de um deles estava aumentando, enquanto a do outro estava diminuindo. Os resultados que levaram à essa conclusão estão registrados no quadro, que apresenta as quantidades de unidades vendidas de cada um desses produtos nos meses de abril a junho.
O gerente decidiu cessar a fabricação do produto II no mês seguinte àquele no qual a quantidade de unidades vendidas do produto I superasse a do produto II.
Considere que o padrão na variação da quantidade de unidades vendidas dos produtos I e II, mês a mês, se manteve para os meses subsequentes tal como no período representado no quadro.
Em qual mês o produto II parou de ser fabricado?
👉 Identificando o padrão
Produto I: aumenta 10 unidades por mês
Produto II: diminui 20 unidades por mês
🔹 Projeção para os meses seguintes
Em agosto, a quantidade vendida do produto I (120) supera a do produto II (110).
👉 Decisão do gerente
O gerente decidiu cessar a fabricação do produto II no mês seguinte àquele em que o produto I superasse o produto II.
Superação: Agosto
Mês seguinte: Setembro
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Com o objetivo de reduzir o consumo de água potável e combater o desperdício, o síndico de um prédio pretende instalar um sistema de captação de água da chuva para uso na limpeza das áreas externas e irrigação do jardim. Para isso, ao lado desse prédio, será instalado um reservatório cilíndrico, cujo diâmetro interno terá 3 metros. Esse reservatório receberá toda a água da chuva, sem perdas, que cai na laje superior desse prédio, cuja área mede 450 m2. Sua capacidade deverá ser igual ao volume de água captada através dessa laje durante um dia com uma chuva de 60 mm, ou seja, 60 litros por metro quadrado.
Utilize 3 como aproximação para π.
O reservatório a ser instalado deverá ter altura interna mínima, em metro, igual a
👉 Volume de água da chuva captada
A chuva é de 60 mm, isto é:
[tex]60\ mm = 60\ L/m^{2}[tex]
👉 Área da laje: [tex]450\ m^{2} [tex]
Volume total de água captada:
[tex]450 × 60 = 27 000\ L [tex]
Como:
[tex]1 000 L = 1\ m^{3} [tex]
temos:
[tex]27 000\ L = 27\ m^{3} [tex]
👉 Volume do reservatório cilíndrico
Diâmetro interno = [tex]3\ m[tex]; raio: [tex] r = \frac{3}{2} = 1,5 m [tex] e [tex]π ≈ 3[tex]
[tex]V = π\ r^{2}\ h [tex]
[tex]V = 3 \cdot (1,5)^{2} \cdot h[tex]
[tex]V = 3 \cdot 2,25 \cdot h[tex]
[tex]V = 6,75 \cdot h[tex]
👉 Igualando os volumes
[tex]6,75h = 27[tex]
[tex]h = \frac{27}{6,75} = 4\ m [tex]
Dessa forma, a altura mínima do reservatório deve será de [tex]4,00 m[tex].
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Em um jogo de computador, uma nave só pode se localizar em um dos vértices de um cubo com posição fixada na tela. A partir de um vértice, a nave só pode se deslocar para outro vértice que não lhe seja adjacente. A figura exemplifica algumas possibilidades de deslocamento da nave quando ela está posicionada no vértice V.
O número total de deslocamentos distintos que podem ser observados nesse jogo é
👉 Estrutura do cubo
Um cubo tem 8 vértices. Em cada vértice, existem 3 vértices adjacentes (ligados por arestas).
👉 Regra do jogo
A nave só pode se deslocar para vértices não adjacentes ao vértice onde está.
De um vértice qualquer temos:
🔹 Total de outros vértices possíveis: 7
🔹 Vértices adjacentes: 3
Logo, vértices não adjacentes:
[tex]7 − 3 = 4 [tex]
Ou seja, a partir de cada vértice, há 4 deslocamentos possíveis.
Número total de deslocamentos distintos
Como há 8 vértices, e de cada um partem 4 deslocamentos possíveis, o total é:
[tex]8 × 4 = 32 [tex]
Cada deslocamento é considerado distinto porque o ponto de partida importa.
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Os dados apresentados indicam os volumes médios de chuva nos diversos meses do ano em um município, onde as médias climatológicas são valores calculados com base em uma série de dados observados ao longo de 30 anos.
A mediana da distribuição das médias das precipitações pluviométricas mensais descritas no quadro, expressa em milímetro, é
Ordene em ordem crescente
40, 44, 50, 71, 71, 73, 127, 143, 161, 201, 222, 237
Encontre a mediana
São 12 valores, então a mediana é a média entre o 6º e o 7º termos:
6º valor: 73
7º valor: 127
[tex]Mediana = \frac{73\ +\ 127}{2} = \frac{200}{2} = 100[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
João viajou de carro com seu filho e, ao chegarem ao destino, observaram que, no painel do veículo, constava que o trecho percorrido nessa viagem era de 428,97 km.
Curioso, seu filho perguntou quantos decímetros o algarismo 7 representava naquele número, e João lhe respondeu corretamente.
A resposta de João foi
O número indicado no painel é 428,97 km.
Vamos analisar o algarismo 7:
Ele está na segunda casa decimal, isto é, representa centésimos de quilômetro.
Portanto, seu valor é:
[tex]0,07\ km [tex]
Agora, convertemos para decímetros:
[tex] 1\ km = 10 000\ dm[tex]
[tex]0,07\ km = 0,07 × 10 000 = 700\ dm [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb) é uma das primeiras iniciativas brasileiras para medir nacionalmente a qualidade do aprendizado no ensino básico e estabelecer metas para a melhoria do ensino. A tabela apresenta os resultados e as metas dos anos iniciais e dos anos finais em cinco escolas do ensino fundamental nos anos de 2015 e 2017.
Atingir a meta significa alcançar ou superar o valor estabelecido.
A escola que aumentou o seu Ideb no período e atingiu a meta estabelecida, tanto nos anos iniciais como nos anos finais do ensino fundamental, foi a
Vamos analisar escola por escola, verificando os dois critérios exigidos:
✔ aumentou o Ideb de 2015 para 2017
✔ atingiu ou superou a meta em 2017
• Escola I
Anos iniciais: 5,7 → 5,9 (aumentou), mas meta = 6,0 ❌
Anos finais: 4,0 → 4,5 (aumentou) e atingiu a meta ✔
❌ Não atende ambos
• Escola II
Anos iniciais: 5,1 → 5,4 (aumentou) e meta = 5,3 ✔
Anos finais: 4,2 → 4,3 (aumentou) e meta = 4,3 ✔
✅ Atende todos os critérios
• Escola III
Anos iniciais: 6,5 → 7,1 (aumentou) e meta atingida ✔
Anos finais: 6,1 → 5,9 (diminuiu) ❌
❌ Não atende
• Escola IV
Anos iniciais: 6,4 → 6,2 (diminuiu) ❌
Anos finais: 4,5 → 4,5 (não aumentou)
❌ Não atende
Anos iniciais: 5,4 → 5,4 (não aumentou) ❌
Anos finais: 4,6 → 4,6 (não aumentou)
❌ Não atende
Portanto, a escola II atingiu os dois critérios.
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Paulo esqueceu a senha de acesso à sua conta bancária. Ele se lembra apenas de que sua senha é uma das possíveis permutações da palavra DETETIVE que se iniciam pela letra D. O sistema do banco permite que ele faça até quatro tentativas antes de bloquear o acesso, e Paulo não digitará uma mesma combinação de letras duas vezes.
A probabilidade de Paulo acessar sua conta, sem bloqueá-la, é
Quantas senhas possíveis existem?
A palavra DETETIVE tem 8 letras, com repetições:
D → 1 vez
E → 3 vezes
T → 2 vezes
I → 1 vez
V → 1 vez
Paulo sabe que a senha começa com a letra D.
Fixando o D na primeira posição, restam 7 letras para permutar:
E, E, E, T, T, I, V
O número de permutações distintas é:
[tex]P^{7}_{3,\ 2} = \frac{7!}{3!\ 2!} = \frac{5\ 040}{6\ \cdot\ 2} = 420 [tex]
Portanto, existem [tex]420[tex] senhas possíveis.
Probabilidade de sucesso em até 4 tentativas
Paulo pode fazer [tex]4[tex] tentativas diferentes, sem repetir combinações.
▶ Casos favoráveis: [tex]4[tex]
▶ Casos possíveis: [tex]420[tex]
[tex]P = \frac{4}{420} = \frac{1}{105} [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma locadora de automóveis apresenta a seus clientes um gráfico que indica quanto deve ser pago de seguro em função do tempo de locação de qualquer automóvel, para os 5 primeiros dias de locação.
Essa locadora cobra R$ 50,00 para cada 6 horas de aluguel do automóvel mais o valor relativo ao seguro.
Qual é o valor total que um cliente deve pagar, em real, pela locação de um automóvel nessa locadora por 3 dias inteiros mais três quartos de um dia?
👉 Calcular o tempo de locação
3 dias inteiros + 3/4 de dia
[tex]3 + 0,75 = 3,75\ dias [tex]
Em horas:
[tex]3,75 × 24 = 90\ horas [tex]
• Valor do aluguel (sem seguro)
A locadora cobra R$ 50,00 a cada 6 horas.
Número de períodos de 6 horas:
[tex]90 ÷ 6 = 15 [tex]
Custo do aluguel:
[tex]15 × 50 = R \$\ 750,00 [tex]
👉 Valor do seguro (pelo gráfico)
Pelo gráfico:
• 3 dias → R$ 40
• 4 dias → R$ 80
O aumento é linear entre 3 e 4 dias. Em 0,75 dia, o acréscimo é:
[tex]0,75 × 40 = 30 [tex]
Logo, seguro para 3,75 dias:
[tex]40 + 30 = R \$\ 70,00[tex]
👉 Valor total a pagar
[tex]= 750 + 70 = 820 [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Um país decidiu investir em programas de reeducação alimentar da população adulta de suas cidades. Foram cinco os níveis de investimento, distribuídos de acordo com a idade média da população obesa em cada cidade, conforme o quadro.
Em uma cidade desse país, 70% da população obesa era composta por homens. A média de idade dos homens obesos era de 50 anos, e a média de idade das mulheres obesas era de 30 anos.
O nível de investimento recebido por essa cidade foi o
Vamos usar a idade média já calculada e comparar com a tabela.
Idade média da população obesa
• Homens: 70% com média de 50 anos
• Mulheres: 30% com média de 30 anos
[tex]M = 0,7 \cdot 50 + 0,3 \cdot 30 = 35 + 9 = 44\ anos [tex]
Comparação com a tabela
[tex]42 < M < 50 ⟶ Nível\ II[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
No último mês, dentre os clientes que realizaram um exame de laboratório, cujo valor cobrado é R$ 150,00, [tex]\frac{2}{3}[tex] tinham algum tipo de convênio e, por isso, tiveram 30% de desconto no valor desse exame. Os demais clientes não tiveram desconto. Considere [tex]V[tex] o valor arrecadado por esse laboratório com a realização de [tex]n[tex] desses exames no último mês.
A expressão algébrica que relaciona [tex]V[tex] com o número [tex]n[tex] é
👉 Vamos calcular o valor médio arrecadado por exame.
Valores pagos
Valor do exame: R$ 150,00
Clientes com convênio: 2/3 dos clientes
Desconto de 30% ⟶ pagam 70% de 150
[tex]0,7 × 150 = 105 [tex]
Clientes sem desconto: 1/3 ⟶ pagam R$ 150,00
👉 Valor médio arrecadado por exame
[tex]= \frac{2}{3} × 105 + \frac{1}{3} × 150[tex]
[tex]= 70 + 50 = 120[tex]
Ou seja, cada exame rende em média R$ 120,00.
👉 Expressão algébrica
Se foram realizados [tex]n[tex] exames:
[tex]V = 120 n[tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Um empresário pretende construir uma piscina no seu hotel fazenda. O gerente de uma empresa especializada apresentou cinco possíveis modelos de piscinas, todos com 2 m de profundidade:
▶ I: prisma triangular, com medidas das arestas da base iguais a 5 m, 12 m e 13 m;
▶ II: prisma triangular regular, com medida da aresta da base igual a 10 m;
▶ III: prisma quadrangular regular, com medida da aresta da base igual a 6 m;
▶ IV: prisma hexagonal regular, com medida da aresta da base igual a 6 m;
▶ V: cilindro circular reto, com medida do raio da base igual a 5 m. O empresário escolherá o modelo de menor volume.
Use 1,7 como valor aproximado para [tex]\sqrt{3}[tex] e 3 como valor aproximado para [tex]π[tex].
O modelo a ser escolhido pelo empresário será o
Todos os modelos têm profundidade (altura) de 2 m, então basta comparar as áreas da base: menor área ⇒ menor volume.
🔹 Modelo I – prisma triangular (5, 12, 13)
É um triângulo retângulo (5² + 12² = 13²).
Volume:
[tex]V = Área\ da\ base \cdot altura = \frac{5 \cdot 12}{2} \cdot 2 = \frac{60}{2} \cdot 2 = 30 \cdot 2 = 60\ m^{3} [tex]
🔹 Modelo II – prisma triangular regular (lado 10)
Volume:
[tex]V = Área\ da\ base \cdot altura = L^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h = 10^{2} × \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 [tex]
[tex]V = 100 \cdot \frac{1,7}{4} \cdot 2\ \cong\ 85\ m^{3} [tex]
🔹 Modelo III – prisma quadrangular regular (quadrado de lado 6)
Volume:
[tex]V = Área\ da\ base \cdot altura = 6^{2} \cdot 2 = 36 \cdot 2 = 72\ m^{3}[tex]
🔹 Modelo IV – prisma hexagonal regular (lado 6)
[tex]V = Área da base × altura = \frac{3\ L^{2}\sqrt{3}}{2} \cdot h = \frac{3\ \cdot\ 6^{2}\ \cdot\ 1,7}{\color{Red}{2}} \cdot \color{Red}{2} [tex]
[tex]V = 3\ \cdot\ 36\ \cdot\ 1,7 [tex]
[tex]V = 183,6\ m^{3} [tex]
🔹 Modelo V – cilindro (raio 5)
Volume:
[tex]V = Área\ da\ base \cdot altura = π \cdot r^{2} \cdot h [tex]
[tex]V = 3 \cdot 25 \cdot 2 = 150\ m^{3} [tex]
Logo, o modelo I possui o menor volume.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
No início do verão, uma loja de eletrodomésticos decidiu funcionar todos os dias da semana, devido à alta demanda por ventiladores.
O gráfico apresenta a quantidade de ventiladores vendidos por essa loja em cada um dos dias da 1ª semana de verão, além da reta que demonstra a tendência do crescimento dessas vendas.
De acordo com a reta de tendência do crescimento das vendas, qual é a quantidade total de ventiladores que deverão ser vendidos durante a 2ª semana de verão?
Observando os valores, apesar das oscilações, a tendência geral é de crescimento quase linear, com aumento médio aproximadamente de 1 ventilador por dia.
A reta ajustada indica, no 7º dia, cerca de 17 ventiladores (valor próximo ao observado 16).
Projeção para a 2ª semana
Mantendo o crescimento de 1 por dia, temos:
Somando:
[tex]= 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 147 [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma fábrica produzirá caixas de papelão com capacidade para exatamente 48 potes cilíndricos idênticos, cuja altura mede o dobro do diâmetro de sua base. Essas caixas têm formato de paralelepípedo reto retângulo, fechadas nas laterais e na base. A parte superior é tampada por quatro abas (duas grandes e duas pequenas) que se sobrepõem para fechar a caixa. Cada aba grande ocupa metade da face superior do paralelepípedo, enquanto cada aba pequena ocupa um terço. A figura apresenta uma dessas caixas com as abas abertas.
Em uma reunião, cinco funcionários apresentaram expressões para calcular a quantidade de papelão para confeccionar cada caixa, em função da medida (d) do diâmetro de cada pote.
• Funcionário 1: [tex]80\ d^{2}[tex].
• Funcionário 2: [tex]104\ d^{2}[tex].
• Funcionário 3: [tex]128\ d^{2}[tex].
• Funcionário 4: [tex]144\ d^{2}[tex].
• Funcionário 5: [tex]152\ d^{2}[tex].
Para a fábrica produzir caixas nas condições pretendidas, deverá ser utilizada a expressão apresentada pelo funcionário
👉 Dimensões dos potes
• Diâmetro da base: [tex]d [tex]
• Altura do pote = [tex]2d[tex]
👉 Organização dos [tex]48[tex] potes na caixa
A disposição mais comum (e indicada nesse tipo de problema) é:
• 6 potes no comprimento
• 4 potes na largura
• 2 camadas na altura
👉 Dimensões da caixa
• Comprimento: [tex]6d[tex]
• Largura: [tex]4d[tex]
• Altura: [tex]2 × 2d = 4d[tex]
👉 Área do paralelepípedo (sem as abas)
A caixa é fechada nas laterais e na base, então calculamos:
👉 Área lateral:
[tex]A(Lateral) = 2h(c + l) = 2 \cdot 4d(6d + 4d) = 8d \cdot 10d = 80d^{2} [tex]
👉 Área da base:
[tex]= 6d ⋅ 4d = 24d^{2} [tex]
Somando:
[tex]= 80d^{2} + 24d^{2} = 104d^{2} [tex]
👉 Área das abas superiores
A face superior mede:
[tex]= 6d ⋅ 4d = 24d^{2} [tex]
Cada aba grande ocupa metade da face:
[tex]= 2 × 1/2 × 24d^{2} = 24d^{2} [tex]
Cada aba pequena ocupa um terço da face:
[tex]= 2 × 1/3 × 24d^{2} = 16\ d^{2}[tex]
Área total das abas:
[tex]= 24d^{2} + 16d^{2} = 40d^{2}[tex]
👉 Área total de papelão
[tex]= 104d^{2} + 40d^{2} = 144d^{2} [tex]
A expressão correta é a do Funcionário 4.
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Um mestre de obras coordena o andamento da construção de uma pequena ponte. Esse trabalho estava inicialmente sendo realizado por 24 profissionais, com um mesmo rendimento r, que completariam a obra em um determinado prazo. Entretanto, durante o andamento da obra, 18 deles abandonaram o serviço e os demais continuaram trabalhando com rendimento r. Para terminar a obra exatamente no prazo estabelecido, o mestre de obras solicitou ao setor de recursos humanos (RH) da empresa a contratação de novos profissionais. Para isso, o RH sugeriu que fossem contratados menos profissionais e ofereceu as seguintes opções de contratação, indicando o rendimento desses profissionais em relação ao rendimento dos que saíram.
▶ Opção I: contratar 6 profissionais com rendimento igual a 2r.
▶ Opção II: contratar 8 profissionais com rendimento igual a 2,2r.
▶ Opção III: contratar 9 profissionais com rendimento igual a 1,5r.
▶ Opção IV: contratar 12 profissionais com rendimento igual a 1,5r.
▶ Opção V: contratar 15 profissionais com rendimento igual a 2r.
O mestre de obras deverá escolher a opção que permita terminar a obra dentro do prazo e com o menor número de profissionais.
Nessas condições, a escolha do mestre de obras deverá ser a opção
👉 Situação inicial
24 profissionais, todos com rendimento [tex]r[tex] e uma taxa total inicial de [tex]24r[tex]. Para cumprir exatamente o prazo, a taxa total de trabalho não pode mudar.
Após a saída de 18 profissionais, restam:
[tex]24\ –\ 18 = 6\ profissionais[tex]
Taxa atual:
[tex]6r[tex]
Falta completar a obra no mesmo prazo, então a taxa total precisa voltar a:
[tex]24r[tex]
Logo, os novos contratados devem fornecer juntos:
[tex]24r\ −\ 6r = 18r [tex]
Análise das opções
🔹 Opção I
• 6 profissionais com rendimento [tex]2r[tex]:
[tex]= 6 × 2r = 12r (insuficiente)[tex] ❌
🔹 Opção II
• 8 profissionais com rendimento [tex]2,2r[tex]:
[tex]= 8 × 2,2r = 17,6r (insuficiente)[tex] ❌
🔹 Opção III
• 9 profissionais com rendimento 1,5r:
[tex]= 9 × 1,5r = 13,5r (insuficiente) [tex] ❌
🔹 Opção IV
• 12 profissionais com rendimento 1,5r:
[tex]= 12 × 1,5r = 18r (exatamente\ o\ necessário) [tex] ✔️
🔹 Opção V
• 15 profissionais com rendimento [tex]2r[tex]:
[tex]= 15 × 2r = 30r (mais\ que\ o\ necessário) [tex] ❌
Mas usa mais profissionais, o que não atende ao critério.
Logo, a opção que permite terminar a obra no prazo e utiliza o menor número de profissionais possível é a Opção IV.
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Em um país, todos os produtos comercializados estão associados a uma única sequência numérica de 13 dígitos, e cada sequência numérica pode ser representada por um código de barras. Essas sequências são formadas de acordo com as seguintes regras:
▶ os três primeiros dígitos são associados ao país que comercializa o produto. Esses dígitos são 7, 8 e 9 (nessa ordem);
▶ dígitos nas posições quatro a nove identificam a empresa que comercializa o produto. Eles assumem os valores 4, 5, 6 ou 7;
▶ dígitos nas posições dez a doze identificam o produto. Eles podem ser qualquer algarismo de 0 a 9.
O último dígito, chamado de dígito verificador, é consequência dos doze primeiros, sendo obtido por meio de operações, previamente definidas, realizadas com os doze primeiros.
Quantos diferentes códigos de barras podem estar associados a produtos comercializados nesse país?
Vamos contar quantos códigos diferentes podem existir, analisando posição por posição.
Estrutura do código (13 dígitos)
🔹 Dígitos 1 a 3 (país)
São fixos: 7, 8 e 9 (nessa ordem). Então, o número de possibilidades é 1.
🔹 Dígitos 4 a 9 (empresa)
São 6 posições.
Cada uma pode assumir os valores: 4, 5, 6 ou 7.
Então o total de possibilidades será [tex]4^{6}[tex].
🔹 Dígitos 10 a 12 (produto)
São 3 posições.
Cada uma pode ser qualquer algarismo de 0 a 9.
Total de possibilidades: [tex]10^{3}[tex]
🔹 Dígito 13 (verificador)
É determinado pelos 12 primeiros, não é livre.
Número de possibilidades: [tex]1[tex]
Total de códigos de barras
Multiplicando todas as possibilidades:
[tex]1 × 4^{6} × 10^{3} × 1 = 4^{6} × 10^{3} [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Com o intuito de revestir o piso de uma sala retangular, com 8 m de largura por 4 m de comprimento, um construtor dirigiu-se a uma loja de revestimentos. Ao chegar à loja, constatou que dois tipos de porcelanato estavam com preços promocionais, caso fossem comprados em caixas fechadas, sem fracionamento. O quadro apresenta as características dos porcelanatos em promoção, como tamanho das peças, preço por caixa e quantidade de peças em cada caixa.
O construtor pretende adquirir o tipo de porcelanato que apresente o menor custo para revestir todo o piso da sala.
Para garantir o menor custo, o construtor deve comprar o porcelanato do tipo
Vamos comparar o custo total de cada tipo para revestir toda a sala.
Área da sala (sala retangular)
[tex]8\ m × 4\ m = 32\ m^{2}[tex]
👉 Tipo 1
Tamanho da peça: [tex]40\ cm × 40\ cm = 0,4\ m × 0,4\ m[tex]
Área de cada peça: [tex]0,4 × 0,4 = 0,16\ m^{2} [tex]
Quantidade de peças necessárias
[tex]= \frac{32}{0,16} = 200\ peças [tex]
Caixas necessárias (cada caixa tem 2 peças)
[tex] = \frac{200}{2} = 100\ caixas [tex]
Custo total (Cada caixa custa R$ 6,00)
[tex]= 100 × 6 = R \$\ 600,00[tex]
👉 Tipo 2
Tamanho da peça: [tex]80\ cm × 80\ cm = 0,8 m × 0,8\ m[tex]
Área de cada peça: [tex] 0,8 × 0,8 = 0,64\ m^{2} [tex]
Quantidade de peças necessárias
[tex] = \frac{32}{0,64} = 50\ peças [tex]
Caixas necessárias (cada caixa tem 5 peças)
[tex] = \frac{50}{5} = 10\ caixas [tex]
Custo total (cada caixa custa R$ 70,00)
[tex] = 10 × 70 = R \$\ 700,00 [tex]
Comparação final
Tipo 1: R$ 600,00
Tipo 2: R$ 700,00
O menor custo é com o tipo 1, pois gastará R$ 600,00, enquanto com as peças do tipo 2 gastaria R$ 700,00.
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
((ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Durante anos, as medições de colesterol e triglicerídeos no sangue têm sido usadas para avaliar o risco de doenças cardíacas. Estudos descobriram que a relação entre os níveis de triglicerídeos e o colesterol HDL se correlacionam fortemente com a incidência da doença arterial coronariana. Se a razão entre os níveis de triglicerídeos (T) e de colesterol HDL (C), nessa ordem, for superior a 4, ela indica risco de doença arterial coronariana.
Disponível em: www.docsopinion.com. Acesso em: 2 dez. 2018 (adaptado).
A expressão algébrica que relaciona T e C indicando o risco de doença arterial coronariana é
O enunciado afirma que “Se a razão entre os níveis de triglicerídeos (T) e de colesterol HDL (C) for superior a 4, há risco de doença arterial coronariana”.
Matematicamente, “razão entre T e C” significa:
[tex]\frac{T}{C} [tex]
E “superior a 4” significa:
[tex] \frac{T}{C } > 4 \Longrightarrow \frac{C}{T} < \frac{1}{4}[tex]
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma locadora de veículos possui uma frota distribuída em todas as cinco regiões brasileiras. Um levantamento indica que 18% dessa frota está no Nordeste, 12% encontra-se na região Centro-Oeste, e as regiões Sul e Norte, juntas, correspondem a 3/8 da frota. Objetivando concentrar um quantitativo maior de veículos no Sudeste, a região mais populosa do Brasil, a gerência da locadora estabelece que nessa região deverão estar 40% da frota total de veículos, e que um percentual do total da frota das regiões Sul e Norte deverá para lá ser transferido.
Qual percentual da frota total das regiões Sul e Norte deverá ser transferido?
👉 Distribuição atual da frota
Nordeste: 18%
Centro-Oeste: 12%
Sul + Norte: 3/8 = 37,5%
Somando esses três:
[tex]18 + 12 + 37,5 = 67,5 \% [tex]
Logo, a frota atual do Sudeste é:
[tex]100 \%\ −\ 67,5 \%\ = 32,5 \% [tex]
👉 Objetivo da empresa
A gerência quer que o Sudeste tenha 40% da frota.
Aumento necessário:
[tex]40 \%\ −\ 32,5 \% = 7,5 \% [tex]
Esse percentual será transferido das regiões Sul e Norte.
👉 Percentual pedido no enunciado
Qual percentual da frota total das regiões Sul e Norte deverá ser transferido? Ou seja, qual parte dos 37,5% (Sul + Norte) corresponde a 7,5%.
[tex] \frac{7,5}{37,5} = \frac{75}{375} = \frac{1}{5} = 20 \% [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
As folhas de papel retangular de tamanho A0, A1, A2, A3 e A4 são confeccionadas de maneira que uma folha A0 corresponde a duas folhas A1, que, por sua vez, corresponde a duas folhas A2, e assim por diante, conforme representado na figura. Além disso, a razão entre as medidas lineares, largura (medida menor) e altura (medida maior) de cada folha é igual a [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[tex].
Considere k a razão entre a medida da altura da folha de tamanho A1 pela altura da folha de tamanho A4. Qual é o valor de k?
Vamos usar apenas as relações de proporcionalidade do padrão A.
👉 Propriedade do padrão A
Cada folha é obtida cortando a anterior ao meio. Ao cortar uma folha ao meio a altura da nova folha passa a ser a largura da folha anterior. Em todas as folhas:
[tex]\frac{Largura}{altura} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Longrightarrow largura = \frac{altura}{\sqrt{2}} [tex]
👉 Relação entre as alturas
[tex]h_{1}[tex] = altura da folha A1
[tex]h_{4}[tex] = altura da folha A4
Cada passo de [tex]A_{n}[tex] para [tex]A_{n+1}[tex]:
altura nova [tex]= \frac{altura\ anterior}{\sqrt{2}}[tex]
De A1 até A4 são 3 reduções:
[tex]h_{2} = \frac{h_{1}}{\sqrt{2}}[tex], [tex]h_{3} = \frac{h_{1}}{(\sqrt{2})^{2}}[tex], [tex]h_{4} = \frac{h_{1}}{(\sqrt{2})^{3}}[tex]
👉 Cálculo de k
[tex]K = \frac{h_{1}}{h_{4}} = \frac{h_{1}}{h_{1}/(\sqrt{2})^{3}} = h_{1} \cdot \frac{(\sqrt{2})^{3}}{h_{1}} = (\sqrt{2})^{3} = 2 \sqrt{2} [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma fábrica produzia e vendia 200 000 garrafas de 2 litros de um suco. O administrador da fábrica decidiu aumentar a produção de suco em 20%, utilizando garrafas de menor capacidade. Com isso, precisou aumentar em 60% a quantidade de garrafas utilizadas, em relação à quantidade inicial, de modo a conseguir envazar todo o suco produzido.
Qual é a quantidade máxima de suco, em litro, que deverá ser reduzida na nova embalagem, em relação à de 2 litros?
Vamos resolver passo a passo, com atenção ao que é produção total de suco e capacidade da nova garrafa.
👉 Produção inicial
Quantidade de garrafas: 200 000
Capacidade de cada garrafa: 2 Litros
Produção inicial: [tex]200\ 000 × 2 = 400\ 000\ Litros[tex]
👉 Nova produção de suco
A produção aumentou [tex] 20 \%\ (100 \% + 20 \% = 120 \% = 1,2)[tex]:
[tex]400\ 000 × 1,2 = 480\ 000\ Litros [tex]
👉 Nova quantidade de garrafas
A quantidade de garrafas aumentou [tex]60 \%\ (100 \% + 60 \% = 160 \% = 1,6)[tex]:
[tex]200\ 000 × 1,6 = 320\ 000\ garrafas [tex]
👉 Capacidade da nova garrafa
Toda a produção será envasada nessas novas garrafas:
[tex]Capacidade\ nova = \frac{480\ 000}{320\ 000} = 1,5\ L [tex]
👉 Redução em relação à garrafa de 2 litros
[tex]2 − 1,5 = 0,5 L [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
O Sistema Nacional de Transplantes (SNT) é o órgão federal responsável pela captação e distribuição de tecidos, órgãos e partes retiradas do corpo humano para transplantes. Um modo de aumentar os investimentos na área seria ter aplicado em 2013 um aumento percentual igual ao maior aumento percentual entre dois anos consecutivos no período de 2007 a 2012.
Disponível em: http://portalsaude.saude.gov.br. Acesso em: 29 mar. 2014.
Se esse aumento percentual tivesse ocorrido, o valor mais próximo ao do investimento, em real, nesse sistema em 2013 teria sido de
Vamos identificar o maior aumento percentual entre anos consecutivos e aplicá-lo ao valor de 2012.
👉 Cálculo dos aumentos percentuais
• 2007 → 2008
[tex]\frac{824\ −\ 713}{713} ≈ 0,1557 = 15,6 \% [tex]
• 2008 → 2009
[tex] \frac{990\ −\ 824}{824} ≈ 0,201 = 20,1 \% [tex]
• 2009 → 2010
[tex]\frac{1100\ −\ 990}{990} ≈ 0,111 = 11,1 \% [tex]
• 2010 → 2011
[tex]\frac{1300\ −\ 1100}{1100} ≈ 0,1818 = 18,2 \% [tex]
• 2011 → 2012
[tex] \frac{1400\ −\ 1300}{1300} ≈ 0,0769 = 7,7 \% [tex]
🔎 Maior aumento percentual
O maior foi de 2008 para 2009, cerca de 20%.
👉 Projeção para 2013
Aplicando 20% sobre o valor de 2012:
[tex]1400 × 1,20 = 1680 [tex]
Como os valores estão em milhares de reais, isso corresponde a R$ 1 680,00.
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma pessoa comprará uma tinta especial para pintar, com apenas uma demão, uma parede que tem medida de 320 m2 de área. Para pintar uma área de 10 m2, é necessário exatamente 1 L de tinta. Em uma loja, essa tinta está em promoção e é vendida em latas de diversas capacidades, mas só é possível comprar latas do mesmo tipo. A pessoa tem como objetivo gastar o menor valor possível, em real, com a compra dessa tinta e observa os seguintes dados referentes aos tipos de latas disponíveis:
▶ I: contém 0,6 L de tinta e custa R$ 18,00;
▶ II: contém 0,8 L de tinta e custa R$ 23,00;
▶ III: contém 1,0 L de tinta e custa R$ 29,00;
▶ IV: contém 3,0 L de tinta e custa R$ 85,00;
▶ V: contém 5,0 L de tinta e custa R$ 150,00.
Para atingir seu objetivo, essa pessoa deverá comprar latas do tipo
Vamos calcular qual opção resulta no menor gasto total.
Quantidade de tinta necessária
Área da parede: 320 m²
Consumo: 1 L para cada 10 m²
[tex] \frac{320}{10} = 32 L [tex]
São necessários 32 litros de tinta.
Análise de cada tipo de lata
🔹 Tipo I
0,6 L por lata — R$ 18,00
Latas necessárias: [tex] \frac{32}{0,6} = 54[tex]
Custo total: [tex]54 × 18 = R \$\ 972,00[tex]
🔹 Tipo II
0,8 L por lata — R$ 23,00
Latas necessárias: [tex] \frac{32}{0,8} = 40[tex]
Custo total: [tex]40 × 23 = R \$\ 920[tex]
🔹 Tipo III
1,0 L por lata — R$ 29,00
Latas necessárias: 32
Custo total: [tex] 32 × 29 = R \$\ 928[tex]
🔹 Tipo IV
3,0 L por lata — R$ 85,00
Latas necessárias: [tex] \frac{32}{3} = 11[tex]
Custo total: [tex]11 × 85 = R \$\ 935,00[tex]
🔹 Tipo V
5,0 L por lata — R$ 150,00
Latas necessárias: [tex] \frac{32}{5} = 6,4 ≈ 7[tex]
Custo total: [tex] 7 × 150 = R \$\ 1.050,00[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
O esquema apresenta dois postes de 6 metros de altura sobre um solo horizontal, com um fio elétrico passando pelos pontos A e B, distando 8 metros entre si, que representam os extremos superiores de cada poste.
Considerando o ponto A como origem do plano cartesiano e o segmento AB contido no eixo horizontal desse plano, admita que a curva que o fio elétrico forma entre A e B seja modelada pela função quadrática [tex]y = 0,02x^{2}\ –\ 0,16x[tex], com [tex]x[tex] e [tex]y[tex] em metro.
A menor distância, em metro, dessa parte do fio até o solo é
👉 Sistema de referência
O ponto A (topo do poste) é a origem: A=(0, 0)
O segmento AB está sobre o eixo horizontal
Cada poste tem 6 m de altura, logo:
O solo está na reta y = −6
A curva do fio é dada por:
[tex] y = 0,02x^{2} − 0,16x [tex]
👉 Menor altura do fio (vértice da parábola)
Como a parábola é voltada para cima, o ponto mais baixo é o vértice.
[tex] x_{v} = \frac{−b}{2a} = \frac{0,16}{2\ \cdot\ 0,02} = \frac{0,16}{0,04} = 4 [tex]
Calculando a ordenada do vértice:
[tex] y(4) = 0,02 \cdot 42 − 0,16 \cdot 4 = 0,32 − 0,64 = −0,32 [tex]
Portanto, o ponto mais baixo do fio está 0,32 m abaixo do topo dos postes.
👉 Distância mínima até o solo
Altura do poste: 6 m
O fio desce 0,32 m em relação ao topo
[tex] Distância\ mínima\ ao\ solo = 6\ −\ 0,32 = 5,68 m [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Uma tecelagem oferece para venda diversos tecidos com diferentes espessuras. O preço de venda estabelecido para esses tecidos considera uma grandeza que é diretamente proporcional à sua massa, em quilograma, e à sua área, em metro quadrado.
A unidade de medida do tipo de grandeza utilizada por essa tecelagem para estabelecer o preço de venda é A
O enunciado diz que o preço de venda considera uma grandeza que é diretamente proporcional a:
massa, em quilograma (kg)
área, em metro quadrado (m²)
Logo, essa grandeza é o produto dessas duas medidas.
Unidade da grandeza
[tex] Massa × área = kg × m^{2} [tex]
Portanto, a unidade é:
[tex]kg \cdot m^{2}[tex]
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Pedro elaborou uma maquete de sua escola. A escala utilizada nessa maquete foi 1 : 100. Ao considerar que a maquete de Pedro ficou muito grande, Artur elaborou, com base na maquete de Pedro, uma menor aplicando a escala 4 : 1.
Em relação à escola, a maquete elaborada por Artur está na escala
👉 Maquete de Pedro em relação à escola
Escala: 1 : 1001
Ou seja:
1 unidade na maquete = 100 unidades reais
👉 O que significa a escala 4 : 1
Quando Artur aplica a escala 4 : 1 sobre a maquete de Pedro, isso quer dizer que 4 unidades da nova maquete correspondem a 1 unidade da maquete de Pedro. Logo, a maquete de Artur é 4 vezes MENOR que a de Pedro. Esse é o ponto-chave: 4 : 1 não é ampliação, é redução nesse contexto.
👉 Escala final em relação à escola
Se a maquete de Pedro já estava em 1 : 100 e Artur reduziu tudo por um fator 4, então:
1 : (100 × 4) = 1 : 400
A maquete elaborada por Artur está na escala:
1 : 400
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
(ENEM 2025 - 3ª Aplicação - PPL).
Pretende-se utilizar uma bomba de combustível para abastecer, simultaneamente, duas aeronaves ([tex]A_{1}[tex] e [tex]A_{2}[tex]), usando para isso vazões [tex]σ_{1} > 0[tex] e [tex]σ_{2} > 0[tex], respectivamente. A aeronave [tex]A_{2}[tex], tem um volume de 100 litros de combustível antes do início do abastecimento, mas [tex]A_{1}[tex], está sem combustível. Portanto, passados segundos a partir do início do abastecimento, os volumes de combustível nas aeronaves são dados por [tex]V_{1} = σ_{1}t[tex] e [tex]V_{2} = σ_{2}t + 100[tex]. A vazão [tex]σ_{1}[tex] é ajustável, mas a vazão [tex]σ_{2}[tex] deve ser mantida a um valor fixo de 2 litros por segundo, conforme especificado pelo fabricante de [tex]A_{2}[tex]. O abastecimento das duas aeronaves se inicia no mesmo instante, e o operador da bomba foi orientado para programá-la de modo que [tex]A_{1}[tex], e [tex]A_{2}[tex], tenham o mesmo volume [tex]V_{T}[tex] de combustível após 10 minutos de abastecimento.
Após ser ajustada, a vazão [tex]σ_{1}[tex], em termos do volume [tex]V_{T}[tex], é expressa por
👉 Informações do problema
• Tempo total: 10 minutos = 600 segundos
• Volumes após t segundos:
[tex]V_{1} = σ_{1}t [tex]
[tex]V_{2} = σ_{2}t + 100 [tex]
• Vazão fixa da [tex]A_{2}[tex]:
[tex]σ_{2} = 2\ L/s [tex]
• Após 10 minutos, os volumes são iguais:
[tex]V_{1} = V_{2} = V_{T} [tex]
👉 Condição de igualdade dos volumes no instante final
[tex]V_{T} = σ_{1} \cdot 600[tex]
[tex]V_{T} = 2 \cdot 600 \cdot 100 = 1300[tex]
👉 Mas o problema quer [tex]σ_{1}[tex] em função de [tex]V_{T}[tex], então usamos a igualdade estrutural:
[tex]V_{T} = 2 \cdot 600 \cdot 100 = 1200 + 100[tex]
👉 Rearranjando para isolar o tempo:
[tex]V_{T} = 1200 + 100[tex]
[tex]V_{T} = 2 \cdot 600 + 100[tex]
[tex]600 = \frac{V_{T}\ -\ 100}{2}[tex]
Substituindo em [tex]V_{T} = σ_{1} ⋅ 600[tex].
[tex]V_{T} = σ_{1} ⋅ 600[tex]
[tex]V_{T} = σ_{1} ⋅ \frac{V_{T}\ -\ 100}{2}[tex]
Isolando [tex]σ_{1}[tex]:
[tex]V_{T} = σ_{1} ⋅ \frac{V_{T}\ -\ 100}{2}[tex]
[tex]σ_{1} = \frac{V_{T}}{ \frac{V_{T} - 100}{2}}[tex]
[tex]σ_{1} = V_{T} \cdot \frac{2}{V_{T}\ -\ 100}[tex]
[tex]σ_{1} = \frac{2\ V_{T}}{V_{T}\ -\ 100} [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles)
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