(PAEBES).
Uma caixa d’água com capacidade máxima de 200 litros estava completamente cheia quando teve seu fundo perfurado no dia primeiro de janeiro. Essa perfuração provocou, nesse dia, uma perda de 10 litros de água, que se manteve constante ao longo dos demais dias. Considere que a água nessa caixa d’água não foi reposta e nem usada durante esse mês.
Em quantos dias essa caixa ficou completamente vazia?
Subtraindo 10 litros a cada dia, temos:
190 - 180 - 170 - 160 - 150 - 140 - 130 - 120 - 110 - 100 - 90 - 80 - 70 - 60 - 50 - 40 - 30 - 20 - 10 - 0
Logo, são necessários 20 dias para esvaziar a caixa d’água.
Ou
Trata-se de uma P.A de razão negativa, ou seja, -10L. Logo, a fórmula do termo geral pode ser dada por [tex] a_{n} = a_{1} - 10n [tex].
[tex] a_{1} = 200\ L [tex]
[tex] a_{n} = 0\ L [tex]
[tex] n =\ ? [tex]
[tex] a_{n} = 200 - 10n [tex]
[tex] 0 = 200 - 10n [tex]
[tex] 10n = 200 [tex]
[tex] n = \frac{200}{10} [tex]
[tex] n = 20\ dias [tex]
(SAEB 2013).
O termo que ocupa a posição n em uma progressão aritmética (PA) de razão r é dado pela fórmula [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex].
Com o auxílio dessa informação, assinale a alternativa que apresenta o décimo quarto termo de uma PA de razão 3, cujo primeiro termo é igual a 20.
Somando 3 a cada termo quatorze vezes, temos:
20 - 23 - 26 - 29 - 32 - 35 - 38 - 41 - 44 - 47 - 50 - 53 - 56 - 59
ou
A questão trata-se de uma P.A.
[tex] a_{14} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 20 [tex]
[tex] r = 3 [tex]
[tex] n =\ 14 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{14} = 20 + (14 - 1) \cdot 3 [tex]
[tex] a_{14} = 20 + 13 \cdot 3 [tex]
[tex] a_{14} = 20 + 39 [tex]
[tex] a_{14} = 59 [tex]
(SAEPE).
A empresa que realiza a manutenção nas rodovias estaduais do Norte do país, pintou as faixas de divisão das pistas após uma reforma. No primeiro dia de trabalho, a empresa pintou 5 km de faixa e nos dias subsequentes, sempre pintava 5 km a mais que no dia anterior até concluir o serviço.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])
Quantos quilômetros no total foram pintados até o final do sexto dia de serviço?
A questão trata-se de uma P.A.
Podemos analisar da seguinte maneira:
Total: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 105 km
ou
Dados:
[tex] a_{6} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 5\ km [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 10 - 5 = 5\ km [tex]
[tex] n =\ 6 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{6} = 5 + (6 - 1) \cdot 5 [tex]
[tex] a_{6} = 5 + 5 \cdot 5 [tex]
[tex] a_{6} = 5 + 25 [tex]
[tex] a_{6} = 30 [tex]
Então, o total de quilômetros pintados até o 6° dia foi:
[tex] S_{6} = \frac{(a_{1}\ +\ a_{6})\ \cdot\ n}{2} [tex]
[tex] S_{6} = \frac{(5\ +\ 30)\ \cdot\ 6}{2} [tex]
[tex] S_{6} = \frac{35\ \cdot\ 6}{2} [tex]
[tex] S_{6} = \frac{210}{2} [tex]
[tex] S_{6} = 105\ km [tex]
(AREAL).
Em uma experiência, Pablo registra a amplitude da extensão de uma mola. No 1º segundo, ele registrou uma amplitude de 24 centímetros, no 2º segundo, uma amplitude de 12 centímetros, e, assim por diante, registrando, em cada segundo, a metade da amplitude registrada no segundo anterior.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1}[tex])
A amplitude registrada no 4° segundo foi de
Como trata-se de uma P.G. de razão [tex] \frac{1}{2} [tex], o termo seguinte é a metade do anterior. Logo:
24 - 12 - 6 - 3
ou
A questão trata-se de uma P.G de razão [tex] \frac{1}{2} [tex].
Dados:
[tex] a_{4} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 24\ cm [tex]
[tex] a_{2} = 12\ cm [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} [tex]
[tex] n =\ 4 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{4-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{3} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ \frac{1}{8} [tex]
[tex] a_{4} = \frac{24}{8} [tex]
[tex] a_{4} = 3 [tex]
(SAEPE).
O diretor de uma escola resolveu melhorar sua biblioteca. Para tanto, pediu aos alunos que o ajudassem trazendo para a escola no primeiro mês 2 livros, no segundo mês 3 livros, no terceiro 4 livros e, assim, sucessivamente.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])
Quantos livros os alunos deveriam trazer no décimo segundo mês?
A questão trata-se de uma P.A. de razão 1.
Podemos analisar da seguinte maneira:
2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13
ou
Dados:
[tex] a_{12} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 2\ livros [tex]
[tex] a_{2} = 3\ livros [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 3 - 2 = 1\ livro [tex]
[tex] n =\ 12 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{10} = 2 + (12 - 1) \cdot 1 [tex]
[tex] a_{10} = 2 + 11 \cdot 1 [tex]
[tex] a_{10} = 2 + 11 [tex]
[tex] a_{10} = 13 [tex]
(Telecurso 2000).
Bianca está digitando seu trabalho de história no computador que ganhou de presente de aniversário. No primeiro dia, ela digitou 500 palavras, no segundo; 550 palavras e manteve esse ritmo de aumento até o quinto dia.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])
Então, a quantidade de palavras que Bianca digitou no quinto dia foi de
A questão trata-se de uma P.A. de razão 50. Logo:
500 - 550 - 600 - 650 - 700
ou
Dados:
[tex] a_{5} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 500\ palavras [tex]
[tex] a_{2} = 550\ palavras [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 550 - 500 = 50\ palavras [tex]
[tex] n =\ 5 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{5} = 500 + (5 - 1) \cdot 50 [tex]
[tex] a_{5} = 500 + 4 \cdot 50 [tex]
[tex] a_{5} = 500 + 200 [tex]
[tex] a_{5} = 700 [tex]
(Avaliação Paraíba).
Numa festa, os balões estão arrumados em arranjos enfileirados de modo que, a partir do segundo, cada arranjo tenha 50 balões a mais do que o anterior. No 5º arranjo, há 600 balões.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])
Quantos balões há no primeiro arranjo?
A questão trata-se de uma P.A. de razão 50. Logo:
400 - 450 - 500 - 550 - 600
ou
Dados:
[tex] a_{5} =\ 600\ balões [tex]
[tex] a_{1} =\ ? [tex]
[tex] r = 50\ balões [tex]
[tex] n =\ 5 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] 600 = a_{1} + (5 - 1) \cdot 50 [tex]
[tex] 600 = a_{1} + 4 \cdot 50 [tex]
[tex] 600 = a_{1} + 200 [tex]
[tex] 600 - 200 = a_{1} [tex]
[tex] a_{1} = 400 [tex]
(SAEMS).
Um atleta iniciou o treino para uma corrida percorrendo no primeiro dia 2 000 m; no segundo, 2200 m; no terceiro, 2400 m e assim por diante, obedecendo à sequência (2000, 2200, 2400, ...).
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])
Quantos metros ele percorrerá no 10º dia?
A questão trata-se de uma P.A. de razão 200. Logo:
2000 - 2200 - 2400 - 2600 - 2800 - 3000 - 3200 - 3400 - 3600 - 3800
ou
Dados:
[tex] a_{10} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} =\ 2000 [tex]
[tex] a_{2} =\ 2200 [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 2200 - 2000 = 200 [tex]
[tex] n =\ 10 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{10} = 2000 + (10 - 1) \cdot 200 [tex]
[tex] a_{10} = 2000 + 9 \cdot 200 [tex]
[tex] a_{10} = 2000 + 1800 [tex]
[tex] a_{10} = 3800 [tex]
(SAEMS).
Carol pegou uma folha de papel e cortou-a ao meio, obtendo 2 pedaços. Colocou um pedaço sobre o outro e cortou novamente ao meio, obtendo 4 pedaços. Repetiu o processo com mais um corte, obtendo 8 pedaços.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1}[tex])
Continuando dessa forma, quantos pedaços de papel Carol terá após fazer 7 cortes?
A questão trata-se de uma P.G. de razão 2. Logo:
2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128
ou
Dados:
[tex] a_{7} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 2\ pedaços [tex]
[tex] a_{2} = 4\ pedaços [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{4}{2} = 2 [tex]
[tex] n =\ 7 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{7} = 2\ \cdot\ (2)^{7-1} [tex]
[tex] a_{7} = 2\ \cdot\ (2)^{6} [tex]
[tex] a_{7} = 2\ \cdot\ 64 [tex]
[tex] a_{7} = 128 [tex]
(PAEBES).
No meio de uma avenida movimentada, o motorista aciona os freios de seu automóvel. Após a freada, o automóvel percorre 24 metros no 1º segundo, 12 metros no 2º segundo, e assim por diante, percorrendo, em cada segundo, metade da distância que percorreu no segundo anterior.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} e S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex])
A distância total a ser percorrida no tempo de 4 segundos após a freada será de
A questão trata-se de uma P.G. de razão [tex]\frac{1}{2}[tex]. Logo:
24 + 12 + 6 + 3 = 45 metros
ou
[tex] a_{4} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 24\ metros [tex]
[tex] a_{2} = 12\ metros [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{24}{12} = \frac{1}{2} [tex]
[tex] n =\ 4 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{4-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{3} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{8}) [tex]
[tex] a_{4} = \frac{24}{8} [tex]
[tex] a_{4} = 3\ m [tex]
Então, a distância total percorrida foi de:
[tex] S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{24\ \cdot\ ((\frac{1}{2})^{4} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{24\ \cdot\ (\frac{1}{16} - 1)}{-\frac{1}{2}} [tex]
[tex] S_{n} = -48\ \cdot\ (-\frac{15}{16}) [tex]
[tex] S_{n} = 45\ metros [tex]
(Supletivo 2012 – MG).
No dia em que foi lançado um novo modelo de telefone celular, uma loja vendeu 1 024 aparelhos desse tipo. Em cada um dos nove dias seguintes, o número de aparelhos desse modelo que essa loja vendeu foi sempre igual à metade do que foi vendido no dia anterior.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} e S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex])
No total, quantos aparelhos desse modelo essa loja vendeu nesses dez dias?
A questão trata-se de uma P.G. de razão [tex]\frac{1}{2}[tex]. Logo, em 10 dias serão vendidos:
1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 2046 telefones
ou
[tex] a_{10} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 1024\ telefones [tex]
[tex] a_{2} = 512\ telefones [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{512}{1024} = \frac{1}{2} [tex]
[tex] n =\ 10 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{10-1} [tex]
[tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{9} [tex]
[tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ \frac{1}{512} [tex]
[tex] a_{10} = \frac{1024}{512} [tex]
[tex] a_{10} = 2\ telefones [tex]
Então, o total de telefones vendidos foram:
[tex] S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{1024\ \cdot\ ((\frac{1}{2})^{10} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{1024\ \cdot\ (\frac{1}{1024} - 1)}{-\frac{1}{2}} [tex]
[tex] S_{n} = -2048\ \cdot\ (-\frac{1023}{1024}) [tex]
[tex] S_{n} = 2\ \cdot\ 1023 [tex]
[tex] S_{n} = 2046\ telefones[tex]
(SAEPE).
Em um rally de motociclismo com 13 etapas, Luiz percorreu 325 quilômetros na primeira etapa. Para conseguir ser o vencedor, ele teria que percorrer 28 quilômetros a mais em relação a cada etapa anterior até o final da competição. Luiz foi o vencedor desse rally.
(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])
Quantos quilômetros ele percorreu na décima terceira etapa?
A questão trata-se de uma P.A. de razão 28. Logo:
325 - 353 - 381 - 409 - 437 - 465 - 493 - 521 - 549 - 577 - 605 - 633 - 661
ou
[tex] a_{13} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} =\ 325 [tex]
[tex] r = 28 [tex]
[tex] n =\ 13 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{13} = 325 + (13 - 1) \cdot 28 [tex]
[tex] a_{13} = 325 + 12 \cdot 28 [tex]
[tex] a_{13} = 325 + 336 [tex]
[tex] a_{13} = 661 [tex]
