(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram
Análise de gráfico.
O eixo das ordenadas (eixo y) representa a venda, em reais, do medicamento e o eixo das abscissas (eixo x), os meses em que estas vendas foram efetuadas.
A linha vertical tracejada (no gráfico) é proporcional à quantidade vendida em cada mês, assim junho é o mês com maior venda, por apresentar maior ”y” e tamanho de sua linha.
O mês de agosto apresenta menor “y” e tamanho de sua linha.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
Cada figura espacial é formada por um conjunto específico ou variável (de acordo com sua característica) de figuras planas. Considerando as figuras espaciais retas, o cilindro é formado por 2 círculos e 1 retângulo, o cone por um círculo e um setor circular, com mesmo comprimento que o círculo.
Já o prisma é formado por 2 bases (qualquer polígono) e “n” faces laterais retangulares, com “n” igual ao número de lados do polígono da base e a pirâmide por 1 base (qualquer polígono) e “k” faces laterais triangulares, com “k” igual ao número de lados do polígono da base.
A base dos prismas e pirâmides os caracterizam. Assim, a primeira planificação representa um cilindro, a segunda um prisma de base pentagonal e a terceira uma pirâmide (de base triangular, também chamada de tetraedro).
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é
As cartas organizadas nas colunas formam uma PA de razão 1, (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
A soma desta PA pode ser calculada segundo a fórmula , sendo [tex]a_{n} [tex] o termo que ocupa a última posição e n o total de termos da PA.
Neste caso o monte é formado pelas cartas que sobraram 52 - 28 = 24.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.
Disponível em: http://sustentabilidade.allianz.com.br. Acesso em: Fev. 2012 (adaptado).
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em
De acordo com o texto, quanto maior a quantidade de gelo, maior o resfriamento.
Se queremos saber em que ano ocorreu maior aquecimento global, precisamos descobrir em que ano a quantidade de gelo foi menor.
E, de acordo com o gráfico, em 1995 havia maior quantidade de gelo, em 1998, a quantidade de gelo diminuiu, em 2000 houve nova diminuição na quantidade de gelo, sendo que em 2007 havia a menor quantidade de gelo.
Sendo assim, a alternativa correta é a E, pois em 2007 houve maior aquecimento global devido a uma menor extensão de gelo marítimo presente no globo terrestre.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?
Um jovem gasta 5 horas em cada dia da semana e 1 em cada dia do fim de semana.
Gastando um total de: 5 × 5 + 2 × 1 = 25 + 2 = 27 horas por semana.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101º produto vendido.
Função salário (S) em relação aos produtos vendidos (x) é uma função definida por duas sentenças.
De modo que S = 750 + 3x, se 0 ≤ x ≤ 100; caso o funcionário venda mais que 100 unidades, ele ganha 9 reais de comissão a partir do 101° produto.
Calcula-se o salário ganho pelas primeiras 100 unidades vendidas, esta parte fixa é de 750 +3.100=1050 e a parte variável é de 9(x-100) = 9x - 900, caso x > 100.
Somando-se a parte fixa e variável obtêm-se S = 9x + 150.
O gráfico é formado por duas retas, a primeira passando pelos pontos (0, 750) e (100, 1050) e a segunda por este último e por (200, 1950).
Observa-se também que a comissão é a responsável pela inclinação da reta, quanto maior a comissão, maior a inclinação.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C.
O desenho que Bruno deve fazer é
A questão exige o conceito de projeção ortogonal, a qual pode ser, analogamente, considerada como uma sombra. Desta forma, destacamos em azul o caminho do deslocamento e em vermelho sua projeção:
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = – 20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
De acordo com o enunciado, o preço de equilíbrio ocorrerá em [tex]Q_{o}= Q_{D}[tex].
Dessa forma, temos:
–20 + 4P = 46 – 2P → P = 11
Logo, o preço de equilíbrio é igual a 11.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.
Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9.200 tíquetes.
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é
Uma criança recebe 20 tíquetes por período.
Para o uso da bicicleta são necessários 9200 tíquetes, logo são necessários [tex] \frac{9\ 200}{20} = 460[tex] períodos.
Como cada período custa R$ 3,00, com efeito o custo dos 460 períodos totalizam:
460 ∙ R$ 3,00 = R$ 1 380,00
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
O total de possibilidades de um dos 6 personagens esconder um dos 5 objetos num dos 9 cômodos é:
6 × 5 × 9 = 270
Assim, temos 10 alunos a mais que o total de possibilidades de respostas distintas.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
A escala apresenta a proporção do desenho para a realidade.
Considerando o lado do quadrado do desenho como L, na figura I a altura da árvore no desenho é de 9L. Como sua escala é de 1:100 (cada 1 unidade no desenho equivale a 100 na realidade), sua altura real é de 9L × 100 = 900L.
A figura II tem uma altura de 9L no desenho, porém sua escala é de 2 : 100, simplificando tem-se 1 : 50. Assim 9L × 50 = 450L na realidade.
A figura III tem uma altura de 6L e escala de 2 : 300 ou 1 : 150, assim, 6L × 150 = 900L na realidade.
A figura IV tem altura de 4,5L e escala de 1 : 300, na realidade tem 4,5L × 300 = 1 350L.
A figura V tem também 4,5L de altura, porém 2 : 300 ou 1 : 150 de escala, portanto 4,5L × 150 = 675L na realidade.
Logo a árvore de maior altura é a da figura IV.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Uma jogada consiste em:
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2;
2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2;
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
Após a transferência de uma bola da urna 1 para a urna 2, esta pode conter 0 ou 1 bolas amarelas, 1 ou 2 azuis, 2 ou 3 brancas, 3 ou 4 verdes, 4 vermelhas e um total de 11 bolas.
Sendo assim, a probabilidade de retirar uma vermelha será de 411, enquanto a probabilidade da verde será algum valor entre 311 e 411. Este valor poderia ser calculado, mas não é necessário, visto que a probabilidade de ser retirada a bola vermelha certamente é maior.
A probabilidade de ser retirada uma bola branca, azul ou amarela é menor ainda.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m³, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir.
Disponível em: www.aguasdearacoiaba.com.br (adaptado).
Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a
Verifica-se pelo mostrador que foram consumidos:
(3 534 m³ = 3 534 000 litros) + (8 centenas de litros = 800) + (5 dezenas de litros = 50 litros) = 3 534 850 litros.
Pelos relógios de ponteiro, verifica-se que foram gastos:
(9 litros) + (3,5 décimos de litro = 0,35 litro de água) = 9,35 litros.
Somando as indicações do marcador e dos ponteiros tem-se 3 534 850 + 9,35 = 3 534 859,35 litros de água.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Um maquinista de trem ganha R$ 100,00 por viagem e só pode viajar a cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe que estará de férias de 1º a 10 de junho, quando não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano tem 365 dias.
Se o maquinista quiser ganhar o máximo possível, quantas viagens precisará fazer?
O maquinista pode fazer viagens de 1° de janeiro a 31 de maio e de 11 de junho a 31 de dezembro.
Neste primeiro período são 31 dias de janeiro, 28 de fevereiro, 31 de março, 30 de abril e 31 de maio, 31 + 28 + 31 + 30 + 31 = 151 dias.
No 2° período tem-se 20 dias de junho, 31 de julho, 31 de agosto, 30 de setembro, 31 de outubro, 30 de novembro e 31 de dezembro, são 20 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31= 204 dias.
Esta questão poderia ser interpretada de duas maneiras, pois a duração de cada viagem não é específica.
Assim, se for considerado que o maquinista complete uma viagem de 4 em 4 dias, no 1° período ele pode fazer 37 viagens, pois 151 = 37 × 4 + 3 e no 2° período 51 viagens, pois 204 = 51 × 4.
No total são 37 + 51 = 88 viagens.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostra a figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2.400 cm³?
O volume do objeto é igual ao da água que ele desloca ao entrar no tanque. Suponha a água desloca na forma de um paralelepípedo de dimensões 40cm, 30cm e x, temos:
[tex] 30 × 40 × x = 2\ 400 [tex]
[tex] x = 2\ cm[tex]
De acordo com a figura dada, a altura da água era de 20 cm. Com a entrada do objetivo, temos:
20 + 2 = 22 cm
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m² de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m² de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
Cálculo das áreas:
O compartimento I só pode ser contemplado com o aquecedor B, o único que comporta uma área de 40 m². O compartimento IV também só pode comportar o aquecedor B, pelo mesmo motivo. O compartimento II tem área de 30 m² , e nesse caso o melhor é o aquecedor A, com menor consumo.
O compartimento III também se adequará melhor ao aquecedor A.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem [tex] \frac{1}{4}[tex] da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m².
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
Área escura:
[tex] 4 \cdot (\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}) + 4 \cdot (\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}) = \frac{3}{4} [tex]
Área clara:
[tex] 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} [tex]
Logo,
[tex] \frac{3}{4} \cdot 30 + \frac{1}{4} \cdot 50 = 35 [tex]
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.
Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
A escala é a razão entre a medida do desenho e a medida real. Assim, temos:
[tex] \frac{60\ cm}{42\ 000\ 000\ cm} [tex]
Ou seja, 1 : 700 000
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.
O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de
De acordo com a figura, temos:
Figura 1: perímetro = 8R
Figura 2: perímetro = 12R
Aumento de 4R. Esse valor corresponde a 50% de 8R, vez que [tex] \frac{4R}{8R} = 0,5 = 50 \% [tex]
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4: 4 : 2, respectivamente.
Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
Conclui-se que Carlos levou, na 2ª parte, 50 laranjas a mais. Com efeito, sendo o total de laranjas, tem-se:
[tex] (\frac{4}{10} - \frac{5}{15}) \cdot x = 50\ laranjas [tex]
[tex] x = 750\ laranjas [tex]
Desta forma:
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”.
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por
Trata-se de um problema de probabilidade condicionada, onde o espaço amostral não é o total de entrevistados, mas sim o total de pessoas que opinaram, já que esta foi a condição imposta pelo problema.
Sendo 12% os casos favoráveis (responderam “chato”) e o espaço amostral de 100% - 21% = 79%, retirando-se do total de entrevistados aqueles que não opinaram, a probabilidade pedida pode ser calculada como (melhor aproximação com duas casas decimais).
Logo, [tex] \frac{12 \%}{79 \%} [tex] = 0,1518...
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30.000 m² e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10.000 m²).
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é
De acordo com o enunciado, tem-se que o desvio padrão (d) é dado por d = 90 kg/talhão. Ainda pelo enunciado, tem-se que 1 saca = 60 kg e 1 talhão = 30 000 m² = 3 hectares.
Deste modo,
[tex] V = \frac{1,5\ sacas}{3\ hectares} = 0,5 \frac{sacas}{hectares} [tex]
Sabe-se que a variância (V) é o quadrado do desvio padrão.
V = d²
Sendo assim, temos:
[tex] V = (\frac{0,5 \cdot sacas}{hectares})^{2} = 0,25 (\frac{sacas}{hectares})^{2} [tex]
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem estar associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.
Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado).
De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?
Do enunciado, entende-se: PARTE I: Usando as cores primárias e o princípio fundamental da contagem:
[tex] \underbrace{3}_{azul\\amarelo\\vermelho} \cdot \underbrace{3}_{claro\\escuro\\normal} = 9\ possibilidades [tex]
PARTE II: Usando a combinação de duas cores primárias:
[tex] \frac{\overbrace{3}^{azul\\amarelo\\vermelho} \cdot \overbrace{2}^{todas,\\exceto\\a\ usada}}{\underbrace{2!}_{desprezo\\da\ ordem}} \cdot \underbrace{3}_{claro\\escuro\\normal} = 9 [tex] possibilidades de cores
PARTE III: Somente preto e branco. Logo, 2 possibilidades de cores
Total: 9 + 9 + 2 = 20 possibilidades de cores
Observação: Na prática é possível combinar o preto e o branco formando o cinza e, além disso, combinar as três cores, formando o roxo. No entanto, o enunciado não levanta essa hipótese.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é
Espaço amostral do lançamento de dois dados:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
[tex] \vdots [tex]
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
José (soma 7) = (1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3)
Paulo (soma 4) = (1, 3); (3, 1); (2, 2)
Antônio (soma 8) = (2, 6); (6, 2); (3, 5); (5, 3); (4, 4)
Sendo assim, José possui 6 possibilidades, Antônio 5 possibilidades, e Paulo possui 3 possibilidades.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é
Colocando os valores do rol em ordem crescente, temos:
181.419, 181.796, 204.804, 209.425, 212.952, 246.875, 266.415, 298.041, 299.415, 305.068.
A mediana é a média entre o 5º e o 6º termos.
Assim:
Mediana = [tex] \frac{212\ 952\ +\ 246\ 875}{2} = 229\ 913,5 [tex]
A parte inteira é 229 913.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).
Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é
De acordo com o enunciado, a argila sofre uma contração linear de 20%, logo a aresta a do cubo, contraindo-se, resulta em 0,8 a (redução de 20%).
Desta forma o novo volume do cubo, após a contração da argila, é dado por:
V = (0,8 a)³ = 0,512 a³ = 51,2% a³
Com efeito, o novo volume é 51,2% do volume anterior.
Por conseguinte, o volume total é 48,8% menor do que o volume original.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.
Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012.
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por
A trajetória de uma volta dada pelo motoqueiro é descrita por uma circunferência cuja sombra, no chão, é um segmento de reta como mostra a figura:
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.
Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é
Pela figura, observa-se que a altura mínima e máxima acessível ao cadeirante é de 0,4m e 1,35m.
Assim, as tomadas e interruptores devem ser instalados em uma altura (h) de forma que
0,4 ≤ h ≤ 1,35m
Somente a alternativa E apresenta valores dentro destes limites.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona- se com a sua massa m pela fórmula [tex] A = k \cdot m^{\frac{2}{3}} [tex], em que k é uma constante positiva.
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?
Sendo m’ a massa na maioridade e A’ a área, temos:
[tex] A' = k\sqrt[3]{(m')^{2}}[tex], com m’ = 8m
Logo,
[tex] A' = k\sqrt[3]{(8m)^{2}} = k\sqrt[3]{64m^{2}} = k \cdot 4 \cdot \sqrt[3]{m^{2}} [tex]
[tex] A' = 4 \cdot A [tex]
A área será multiplicada por 4.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por
A média de Matemática é obtida da seguinte forma:
[tex] M = \frac{5,9\ \cdot\ 1\ +\ 6,2\ \cdot\ 1\ +\ 4,5\ \cdot\ 1\ +\ 5.5\ \cdot\ 1}{4} [tex]
[tex] M = 5,9 \cdot \frac{1}{4} + 6,2 \cdot \frac{1}{4} + 4,5 \cdot \frac{1}{4} + 5,5 \cdot \frac{1}{4} [tex]
Essa fórmula também se aplica às outras disciplinas. Logo, o produto matricial seria:
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele?
Como a energia (E) é diretamente proporcional à potência e a potência é diretamente proporcional ao quadrado da intensidade de corrente (i), a energia também é diretamente proporcional ao quadrado da intensidade de corrente.
O gráfico que apresenta a forma de parábola da função quadrática é o da alternativa D.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado).
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude na forma decimal é
Localização:
[tex] 124°3'0'' = 124° + (\frac{3}{60})° = 124° + (\frac{1}{20})° [tex]
[tex] = 124° + 0,05° = 124,05° [tex]
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:
• Opção 1 : Pagar à vista, por R$ 55.000,00.
• Opção 2 : Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30.000,00, e mais uma prestação de R$ 26.000,00 para dali a 6 meses.
• Opção 3 : Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00, mais uma prestação de R$ 20.000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data da compra.
• Opção 4 : Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39.000,00.
• Opção 5 : pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60.000,00.
Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção
Como a questão é analisar qual opção é mais vantajosa do ponto de vista financeiro, vamos verificar cada uma delas, a partir da segunda, pois a primeira opção o pagamento é à vista, logo não restará nada para investir.
1º Semestre:
(55 000 − 30 000) ∙ 1,1 = 25 000 ∙ 1,1 ⇒ R$ 27 500,00
Saldo = 27 500 − 26 000 ⇒ Saldo = R$ 1 500,00
1º Semestre:
(55 000 − 20 000) ∙ 1,1 = 35 000 ∙ 1,1 ⇒ R$ 38 500,00
38 500 − 20 000 = R$ 18 500,00
2º Semestre:
18500 ∙ 1,1 = R$20 350,00
Saldo: 20 350 − 18 000 ⇒ Saldo = R$ 2 350,00
1º Ano:
(55 000 − 15 000) ∙ 1,1² = 40 000 ∙ 1,21 = R$ 48 400,00
Saldo = 48 400 − 39 000 ⇒ Saldo = R$ 9 400,00
55 000 ∙ 1,1² = 55 000 ∙ 1,21 ⇒ R$ 66 550,00
Saldo = 66 550 − 60 000 ⇒ Saldo = R$ 6 550,00
Portanto, do ponto de vista financeiro, a opção 4 é a mais rentável.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por
A área do forro retangular, antes da lavagem, é:
5 × 3 = 15
A área do forro retangular, após o encolhimento, é:
(5 – x)(3 – y) = 15 – 5y – 3x + xy
A área perdida, após a primeira lavagem, é:
15 – (15 – 5y – 3x + xy) = 5y + 3x – xy
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
A capacidade mínima, em BTU/h, de um aparelho de ar condicionado, para ambientes sem exposição ao sol, pode ser determinada da seguinte forma:
• 600 BTU/h por m², considerando-se até duas pessoas no ambiente;
• para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h;
• acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletroeletrônico em funcionamento no ambiente.
Será instalado um aparelho de ar condicionado em uma sala, sem exposição ao sol, de dimensões 4 m x 5 m, em que permaneçam quatro pessoas e possua um aparelho de televisão em funcionamento.
A capacidade mínima, em BTU/h, desse aparelho de ar condicionado deve ser
Como são 600 BTU/h a cada m² e a sala possui (4m × 5m) = 20 m², são 600 × 20 = 12 000 BTU/h.
Acrescenta-se ainda 600 × 2 = 1 200 BTU/h pelas duas pessoas a mais e 600 BTU/h pela televisão em funcionamento.
No total são 12 000 + 1 200 + 600 = 13 800 BTU/h.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
S é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado de sua altura (d), logo é diretamente proporcional ao produto (b × d²).
Como S é inversamente proporcional ao quadrado do seu comprimento (x), segue que [tex] S = \frac{k\ \cdot\ b\ \cdot\ d^{2}}{x^{2}}[tex].
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br (adaptado).
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a
A distância de 325 mil quilômetros é a menor distância que o asteroide passou da superfície da Terra. Ela deve ser escrita em notação científica 325 000 km = 3,25 x 10⁵ km.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
A economia de água é de 15 - 6 = 9 litros por descarga ao usar a bacia sanitária ecológica.
Calcula-se o número de descargas diárias a fim de encontrar a economia diária.
São 60 litros/dia e 15 litros/descarga, logo, [tex]\frac{60}{15} = 4[tex] descargas/dia.
Portanto, a economia diária será de 4 × 9 = 36 litros.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual.
As empresas que este investidor escolhe comprar são
Calculando as médias:
[tex] Média\ V = \frac{200\ +\ 220\ +\ 240}{3} = 220 [tex]
[tex] Média\ W = \frac{200\ +\ 230\ +\ 200}{3} = 210 [tex]
[tex] Média\ X = \frac{250\ +\ 210\ +\ 215}{3} = 225 [tex]
[tex] Média\ Y = \frac{230\ +\ 230\ +\ 230}{3} = 230 [tex]
[tex] Média\ Z = \frac{160\ +\ 210\ +\ 245}{3} = 205 [tex]
Portanto, as empresas com maiores médias são: Chocolates X e Pizzaria Y.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.
Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de
A perda na primeira etapa foi de 0,3 × 300 = 90 mg/dL, resultando em uma taxa de glicose de 300 - 90 = 210 mg/dL.
A perda na segunda etapa foi de 0,1 × 210 = 21 mg/dL, resultando na taxa final de 210 - 21 = 189 mg/dL.
Taxa maior que 125 e menor que 250 mg/dL, correspondente a diabetes melito.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 __ 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de
A cada 3 algarismos forma-se uma classe. A cada classe, o algarismo mais a direita é o das unidades, o seguinte das dezenas e o mais a esquerda das centenas correspondente à classe. A primeira classe é a simples, a segunda do milhar, terceira do milhão e assim por diante. O algarismo que não foi entendido por João é o mais a esquerda da 2ª classe, portanto das centenas de milhar.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela.
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio?
Calcula-se o ganho por ação de cada investidor através da diferença entre o valor da venda e o da compra. Os valores de compra e venda são retirados do gráfico de acordo com a hora em que foram efetuados. Aquele cujo valor for maior é o que fez o melhor negócio, uma vez que todos venderam a mesma quantidade de ações.
Investidor 1, lucrou 460 – 150 = 310;
Investidor 2, 200 – 150 = 50;
Investidor 3, 460 – 380 = 80;
Investidor 4, 100 – 460 = – 360 (prejuízo de 360)
Investidor 5, 460 – 200 = – 260 (prejuízo de 260).
O maior valor é 310 reais obtido pelo investidor 1.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em:
http://blog.bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado).
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na
Verifica-se em cada vertical, aquelas que os pontos correspondentes da linha contínua (reclamações resolvidas) estão acima da linha tracejada (ligações recebidas). Isso ocorre na terça e na quarta feira.
(ENEM 2012 - 1ª Aplicação).
Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
Dados: 5 gotas/2kg, a cada 8 horas.
Assim, temos:
5 gotas ------ 2 kg
30 gotas ----- x kg
[tex] x = \frac{30\ \cdot\ 2}{5} = \frac{60}{5} = 12\ kg [tex]
