(MEC-CAED - ADF).
Considere a função polinomial de 2º grau [tex]f: \mathbb{R} → \mathbb{R}[tex], com lei de formação [tex]f(x) = x^{2}\ –\ 8x + 22[tex].
Qual é o intervalo do domínio no qual essa função é decrescente?
Como o coeficiente [tex]a = 1 > 0[tex], logo a parabola tem concavidade voltada para cima. Dessa forma, intervalo do domínio que a função é decrescente são valores de [tex]x[tex] menores do que o [tex] x_{(vértice)}[tex].
Cálculo do [tex] x_{(vértice)}[tex]:
[tex] x_{(vértice)} = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2\ \cdot\ 1} = \frac{8}{2} = 4[tex]
Portanto, o intervalo do domínio no qual essa função é decrescente é [tex](– ∞,\ 4][tex].
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe o sistema de equações lineares abaixo.
[tex] \begin{cases} 3x + 4y - z = 22 \\ -2y + 2z = 10 \\ 4z = 8 \end{cases} [tex]
Qual é o terno ordenado [tex](x, y, z)[tex] solução desse sistema?
Primeiro encontrar o valor de [tex]z[tex]:
[tex]4z = 8 [tex]
[tex]z = \frac{8}{4} = 2 [tex]
Agora, encontrar o valor de [tex]y[tex]:
[tex]-2y + 2z = 10 [tex]
[tex]-2y + 2 \cdot 2 = 10 [tex]
[tex]-2y + 4 = 10 [tex]
[tex]-2y = 10 - 4 [tex]
[tex]-2y = 6 [tex]
[tex]y = \frac{6}{-2} [tex]
[tex]y = -3 [tex]
Para finalizar, encontrar o valor de [tex]x[tex]:
[tex]3x + 4y -z = 22 [tex]
[tex]3x + 4 \cdot (-3) - 2 = 22 [tex]
[tex]3x - 12 - 2 = 22 [tex]
[tex]3x = 22 + 12 + 2 [tex]
[tex]3x = 36 [tex]
[tex]x = \frac{36}{3} [tex]
[tex]x = 12 [tex]
Logo, o terno ordenado [tex](x, y, z)[tex] solução desse sistema é (12, – 3, 2).
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Considere a função [tex]f : [– 5, 0] → \mathbb{R}[tex] definida por
[tex]f(x) = x^{^2} + 4x\ –\ 5[tex]
Qual é o conjunto I, imagem dessa função?
Como o coeficiente [tex]a = 1 > 0[tex], logo a parabola tem concavidade voltada para cima. E que o domínio é definido no intervalo [tex][-5, 0][tex]. Dessa forma, o conjunto imagem estará definido no intervalo ([tex] y_{(vértice)},\ 0[tex]).
Cálculo do [tex] y_{(vértice)}[tex]:
[tex] y_{(vértice)} = \frac{-Δ}{4a} = \frac{-\ (b^{2}\ -\ 4ac)}{4a} [tex]
[tex] y_{(vértice)} = \frac{-\ (4^{2}\ -\ 4\ \cdot\ 1\ \cdot\ (-5))}{4\ \cdot\ 1} [tex]
[tex] y_{(vértice)} = \frac{-\ (16\ +\ 20)}{4} [tex]
[tex] y_{(vértice)} = \frac{-\ 36}{4} = -\ 9 [tex]
Observe a representação gráfica a seguir:
/img1_quiz18_mat_1serie.png)
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
O responsável pelo departamento de vendas de uma empresa fez uma análise de mercado para um novo produto que será comercializado. Para essa análise, ele utilizou o modelo polinomial que está apresentado abaixo.
[tex]L(p) =\ –\ p^{2} + 184p\ –\ 720 [tex]
Nesse modelo, [tex]L(p)[tex] é a projeção do lucro, em reais, que a empresa conseguirá com as vendas desse produto, e [tex]p[tex] representa o preço que esse produto deve ter no mercado. Com base nesse modelo, o responsável pelo departamento de vendas dessa empresa encontrou o melhor preço para que esse produto entre no mercado, de modo que a projeção do lucro com as vendas desse produto seja a máxima.
De acordo com essas informações, qual é o melhor preço, em reais, para que esse produto entre no mercado?
O melhor preço do produto será o [tex] x_{(vértice)}[tex], pois tem a concavidade voltada para baixo devido [tex]a =\ -\ 1 < 0[tex].
Agora, calcular o [tex] x_{(vértice)}[tex].
[tex] x_{(vértice)} = \frac{-\ b}{2a} = \frac{-\ 184}{2\ \cdot\ (-\ 1)} = \frac{-\ 184}{-\ 2}[tex]
[tex] x_{(vértice)} = 92[tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Considere a função [tex]f: \mathbb{R} → \mathbb{R}[tex] cuja lei de formação é dada por [tex]f(x) =\ –\ 3x^{2} + 3[tex].
O gráfico dessa função está representado em
Como a função [tex]f(x) =\ –\ 3x^{2} + 3[tex] tem concavidade voltada para baixo, pois [tex]a = -3 < 0[tex]. Dessa forma, eliminamos as alternativas "A" e "B".
Agora, calcular as raízes ou zeros da função:
[tex]f(x) =\ –\ 3x^{2} + 3[tex]
[tex]0 =\ –\ 3x^{2} + 3[tex]
[tex]-3 =\ –\ 3x^{2} ÷ (-3)[tex]
[tex]1 =\ x^{2} [tex]
[tex]± \sqrt{1} = x [tex]
[tex]x = ± 1 [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Um pórtico de formato parabólico será construído na entrada de um parque e sua forma será modelada pela função que tem como lei de formação [tex]f(x)= - \frac{x^{2}}{8} + x + 6[tex], de modo que a distância entre os pontos que representam os zeros dessa função correspondem à largura da pista que passa sob esse pórtico. Essa pista possui duas vias cujas medidas de suas larguras são iguais. Além disso, são separadas por um canteiro central cuja largura total é igual a 2 metros. Observe um esboço do projeto desse pórtico na figura abaixo, em que há a indicação do canteiro central e das vias indicadas por I e II.
/img2_quiz18_mat_1serie.png)
Com base nessa figura, qual será a largura, em metros, de cada via que passa sob esse pórtico?
Para obter a largura de cada via,deve-se obter, inicialmente, a largura do pórtico. Primeiramente, encontrar as raízes da função [tex]f(x)= - \frac{x^{2}}{8} + x + 6[tex].
Cálculo do Δ:
[tex]a = - \frac{1}{8}, b = 1 e c = 6 [tex]
[tex] Δ = b^{2}\ - 4ac = (1)^{2}\ - 4 \cdot (- \frac{1}{8}) \cdot 6 [tex]
[tex] Δ = 1\ + \frac{24}{8} [tex]
[tex] Δ = 1\ + 3 = 4 [tex]
Agora, calcular as raízes da função.
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-1\ \pm\ \sqrt{4}}{2\ \cdot\ (- \frac{1}{8})} = \frac{-1\ \pm\ 2}{- \frac{1}{4}} [tex]
[tex] x' = \frac{-1\ +\ 2}{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{- \frac{1}{4}} = -\ 4 [tex]
e
[tex] x'' = \frac{-1\ -\ 2}{- \frac{1}{4}} = \frac{-\ 3}{- \frac{1}{4}} = 12 [tex]
Assim, temos que a largura total da avenida, ou seja, das duas pistas mais o canteiro central é igual:
[tex]= |x_{2}\ -\ x_{1}| [tex]
[tex]= |(-\ 4)\ -\ 12| [tex]
[tex]= |-16| = 16\ metros [tex]
Como se quer saber a largura de cada pista, o estudante deve subtrair a largura do canteiro central e, em seguida, dividir o resultado por 2, obtendo
[tex]= \frac{16\ -\ 2}{2} = 7\ metros [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Em uma fábrica, o custo unitário, em reais, de produção de um determinado produto pode ser descrito em função da quantidade, em milhares, de produto produzido. O gráfico abaixo representa o custo unitário de produção desse produto em relação à quantidade produzida.
/img3_quiz18_mat_1serie.png)
Essa fábrica vende esse produto apenas em lotes contendo mil unidades, e cada lote é vendido por 150 mil reais. O lucro dessa fábrica pode ser obtido subtraindo o custo total de produção do valor total obtido com a venda dessa produção. Em determinado mês, essa fábrica produziu uma quantidade desse produto com custo unitário de produção mínimo, e vendeu todos.
Qual foi o lucro total, em milhares de reais, dessa fábrica nesse mês?
O custo mínimo será dado pelo vértice da parábola, ou seja, (20, 50). O custo total, em milhares de reais, dessa fábrica nesse mês é:
[tex]= 20\ 000 × 50 [tex]
[tex]= 1\ 000\ 000 [tex]
Como cada lote é vendido por 150 mil reais. Logo:
[tex]= 150\ 000 × 50 = 3\ 000\ 000 [tex]
Logo, o lucro dessa fábrica foi de:
[tex]= 3\ 000\ 000\ -\ 1\ 000\ 000 [tex]
[tex]= 2\ 000\ 000\ [tex]
Portanto, o lucro total dessa fábrica, em milhares de reais, foi de 2 000 nesse mês.
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe, na tabela abaixo, alguns pontos de uma função polinomial de 2º grau com domínio real.
| [tex]x[tex] | [tex]f(x)[tex] |
|---|---|
| – 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
Qual é o gráfico que representa essa função?
O gráfico "A" corresponde corretamente com a tabela.
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe o gráfico de uma função polinomial de segundo grau, representado no plano cartesiano abaixo.
/img4_quiz18_mat_1serie.png)
De acordo com esse gráfico, qual é o intervalo de crescimento dessa função?
Observe o gráfico a seguir:
/img5_quiz18_mat_1serie.png)
O intervalo de crescimento dessa função é [tex](– ∞,\ – 2][tex].
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Para reflorestar uma região, uma organização precisou plantar algumas mudas seguindo um padrão. Na primeira fileira, foram plantadas 7 mudas; na segunda, 11 mudas; na terceira, 15 mudas, e assim sucessivamente, até chegar na 500ª e última fileira.
Quantas mudas, no total, foram plantadas para reflorestar essa região?
Dados:
[tex] a_{1} = 7 [tex]
[tex] a_{2} = 11 [tex]
[tex] a_{3} = 15 [tex]
[tex] a_{500} = ? [tex]
[tex] r = 11 - 7 = 4 [tex]
Cálculo do 500° termo.
[tex] a_{n} = a_{1} + (n\ -\ 1) \cdot r[tex]
[tex] a_{500} = 7 + (500\ -\ 1) \cdot 4[tex]
[tex] a_{500} = 7 + (499) \cdot 4[tex]
[tex] a_{500} = 7 + 1\ 996[tex]
[tex] a_{500} = 2\ 003[tex]
Total de mudas plantadas.
[tex] S_{n} = \frac{a_{1}\ +\ a_{n}}{2} \cdot n[tex]
[tex] S_{n} = \frac{7\ +\ 2\ 003}{2} \cdot 500[tex]
[tex] S_{n} = \frac{2\ 010}{2} \cdot 500[tex]
[tex] S_{n} = 1\ 005 \cdot 500[tex]
[tex] S_{n} = 502\ 500[tex]
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Considere a função [tex]v[tex] definida por [tex]v(x)= \frac{x^2\ -\ 144}{4}[tex]. O domínio dessa função é o conjunto [tex]T[tex], formado por todos os números reais [tex]x[tex] tais que [tex]v(x) \in [–\ 36,\ 0][tex].
O domínio [tex]T[tex] dessa função está representado em
Encontrar os zeros da função utilizando a fórmula resolutiva de Baskara: [tex]0= \frac{x^2\ -\ 144}{4} = \frac{1\ x^2}{4} - \frac{144}{4}[tex]
[tex] a = \frac{1}{4},\ b = 0,\ c = -\ \frac{144}{4} [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (0)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\ \frac{144}{4}) = 0 + 36 = 36 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{0\ \pm\ \sqrt{36}}{2\ \cdot\ \frac{1}{4}} = \frac{0\ \pm\ 6}{\frac{1}{2}} [tex]
[tex] x' = \frac{0\ +\ 6}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{0,5} = 12 [tex]
[tex] x' = \frac{0\ -\ 6}{\frac{1}{2}} = - \frac{6}{0,5} =\ -\ 12 [tex]
Como a concavidade da parábola é voltada para cima, pelo fato de o coeficiente [tex]a[tex] ser positivo [tex] (a = \frac{1}{4} > 0)[tex], pode-se concluir que o intervalo no qual [tex]f[tex] é negativo é dado pelo intervalo entre –12 e 12. Logo, o conjunto domínio dessa função será [tex] T = [tex] { [tex]x \in \mathbb{R}\ | –\ 12 ≤ x ≤ 12[tex] } .
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Observe o gráfico de uma função polinomial de 2º grau, com domínio restrito a um intervalo real, apresentado na malha quadriculada abaixo.
/img6_quiz18_mat_1serie.png)
Qual é o domínio dessa função?
Observe o gráfico a seguir:
/img7_quiz18_mat_1serie.png)
Dessa forma, o domínio dessa função é dado pelo intervalo [– 2, 4].
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
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