(SAEPE).
Observe, no plano cartesiano abaixo, as retas r, s e t e os pontos M, N, O, P e Q.
/D09EM01.png )
A solução do sistema de equações formado pelas equações das retas s e t está representado nesse plano cartesiano pelo ponto
A solução de um sistema de equações é dado pelo ponto de intersecção entre as retas s e t. Portanto, pelo gráfico, é o Ponto "M".
Logo, opção A.
(SAEPE).
No plano cartesiano abaixo estão representados as retas m, n e suas respectivas equações.
/D09EM02.png )
As coordenadas do ponto P, intersecção dessas retas, são
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} x + y = 7 \\ 6x - y = 21 \end{cases} + [tex]
[tex] 7x = 28 [tex]
[tex] x = \frac{28}{7} = 4 [tex]
e,
[tex] x + y = 7 [tex]
[tex] 4 + y = 7 [tex]
[tex] y = 7 - 4 = 3 [tex]
Logo, solução (4, 3). Portanto, opção B.
(SAEB).
Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo.
/D09EM03.png )
Sabendo que [tex]r_{1}[tex] representa a reta de equação [tex] x + y = 25 [tex] e [tex]r_{2}[tex] a reta de equação [tex] 20x + 50y = 980 [tex], onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de [tex]r_{1}[tex] e [tex]r_{2}[tex] é o par ordenado:
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} x + y = 25 ×(-20)\\ 20x + 50y = 980 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -20x - 20y = -500 \\ 20x + 50y = 980 \end{cases} + [tex]
[tex] 30y = 480 [tex]
[tex] y = \frac{480}{30} = 16 [tex]
e,
[tex] x + y = 25 [tex]
[tex] x + 16 = 25 [tex]
[tex] x = 25 - 16 = 9 [tex]
Logo, solução (9, 16). Portanto, opção B.
(SAEB).
Em um estacionamento há carros e motos num total de 12 veículos e 40 rodas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo.
/D09EM04.png )
Sabendo que “v” representa a reta de equação [tex]x + y = 12[tex] e “u” a reta de equação [tex]2x + 4y = 40[tex], onde x representa à quantidade de motos e y a quantidade de carros, a solução do sistema formado pelas equações de “u” e “v” é o par ordenado:
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} x + y = 12 ×(-2)\\ 2x + 4y = 40 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -2x - 2y = -24 \\ 2x + 4y = 40 \end{cases} + [tex]
[tex] 2y = 16 [tex]
[tex] y = \frac{16}{2} = 8 [tex]
e,
[tex] x + y = 12 [tex]
[tex] x + 8 = 12 [tex]
[tex] x = 12 - 8 = 4 [tex]
Logo, solução (4, 8). Portanto, opção A.
(C.P).
O ponto de interseção das retas de equações [tex]x + 3y - 1 = 0 [tex] e [tex]x - y + 3 = 0[tex] é:
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} x + 3y -1 = 0 \\ x - y + 3 = 0 ×(3)\end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} x + 3y -1 = 0 \\ 3x - 3y + 9 = 0 \end{cases} + [tex]
[tex] 4x + 8 = 0 [tex]
[tex] 4x = -8 [tex]
[tex] x = \frac{-8}{4} = -2 [tex]
e,
[tex] x - y + 3 = 0 [tex]
[tex] -2 - y + 3 = 0 [tex]
[tex] 1 = y [tex]
Logo, solução (-2, 1). Portanto, opção B.
(Saresp 2007).
Na figura abaixo estão representadas as retas r, de equação [tex]y =\ –3x + b[tex], e a reta t, de equação [tex]y = ax + 1[tex].
A resolução do sistema formado por estas duas equações
A solução de um sistema de equações é dado pelo ponto de intersecção entre as retas r e t. Portanto, pelo gráfico, temos (2, 3).
Logo, opção A.
(Saresp 2007).
As duas retas a e b, representadas na figura abaixo, têm as seguintes equações:
/D09EM06.png )
O ponto P (m, n) é intersecção das duas retas. O valor de m – n é igual a:
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} y = x + 5 \\ y = -2x + 11 ×(-1)\end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} y = x + 5 \\ -y = 2x - 11 \end{cases} + [tex]
[tex] 0 = 3x -6 [tex]
[tex] 6 = 3x [tex]
[tex] x = \frac{6}{3} = 2 [tex]
e,
[tex] y = x + 5 [tex]
[tex] y = 2 + 5 [tex]
[tex] y = 7 [tex]
Logo, [tex]P(x, y) = P(m, n) = P(2, 7)[tex]. Então, [tex]m - n = 2 - 7 = -5[tex]
Logo, opção C.
(Supletivo 2011).
Na figura, abaixo, estão representados um sistema de equações e os gráficos de duas retas.
Os valores de x e y para que o gráfico corresponda à solução do sistema são
A solução de um sistema de equações é dado pelo ponto de intersecção entre as retas. Portanto, pelo gráfico, temos (-6, 4). Ou seja, x = -6 e y = 4.
Logo, opção C.
(SAEPE).
As retas r: [tex]y = 2x[tex] e s: [tex]y = 3x\ – 9[tex] descrevem as trajetórias de dois aviões que levantaram voo de uma mesma pista, conforme indica o desenho abaixo.
/D09EM08.png )
As coordenadas do ponto P são
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} y = 2x ×(-1)\\ y = 3x - 9 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -y = -2x \\ y = 3x - 9 \end{cases} + [tex]
[tex] 0 = x - 9 [tex]
[tex] 9 = x [tex]
e,
[tex] y = 2x [tex]
[tex] y = 2 \cdot 9 [tex]
[tex] y = 18 [tex]
Logo, solução (9, 18). Portanto, opção D.
(3ª P.D 2013 – SEDUC-GO).
Observe o gráfico representado na figura a seguir.
/D09EM09.png )
Nele o ponto é a intersecção das retas r e s, representadas respectivamente pelas equações [tex] y = 2x - \frac{3}{2} [tex] e [tex] y = -x + 6 [tex].
Com base nessas informações as coordenadas do ponto são aproximadamente
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} y = 2x - \frac{3}{2} ×(-1)\\ y = -x + 6 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -y = -2x + 1,5 \\ y = -x + 6 \end{cases} + [tex]
[tex] 0 = -3x + 7,5 [tex]
[tex] 3x = 7,5 [tex]
[tex] x = \frac{7,5}{3} = 2,5 [tex]
e,
[tex] y = -x + 6[tex]
[tex] y = -2,5 + 6 [tex]
[tex] y = 3,5 [tex]
Logo, solução (2,5; 3,5). Portanto, opção B.
(SAEPE).
Num sistema cartesiano, o ponto Q representa a intersecção das retas [tex]2x\ – y\ – 1 = 0[tex] e [tex]5x\ – y\ – 4 = 0[tex].
Quais são as coordenadas desse ponto Q?
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} 5x - y - 4 = 0 ×(-1)\\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -5x + y + 4 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases} + [tex]
[tex] -3x + 3 = 0 [tex]
[tex] 3 = 3x [tex]
[tex] x = \frac{3}{3} = 1 [tex]
e,
[tex] 2x - y - 1 = 0 [tex]
[tex] 2 \cdot 1 - y - 1 = 0 [tex]
[tex] 2 - y - 1 = 0 [tex]
[tex] 1 = y [tex]
Logo, solução (1; 1). Portanto, opção A.
(SAEPE).
(SAEPE). As retas, cujas equações são [tex] 2x\ - 3y = 2 [tex] e [tex] x =\ – 2[tex], se interceptam no ponto
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} 2x - 3y = 2 \\ x = -2 \end{cases} [tex]
Fazendo a substituição de [tex]x = -2[tex].
[tex] 2x - 3y = 2 [tex]
[tex] 2 \cdot (-2) - 2 = 3y [tex]
[tex] -4 - 2 = 3y [tex]
[tex] - 6 = 3y [tex]
[tex] y = \frac{-6}{3} = -2 [tex]
Logo, solução (-2; -2). Portanto, opção B.
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