D31 - Quiz por descritor - Mat - 3ª série - E.M

D31: MATEMÁTICA - Ensino Médio

D31: Determinar a solução de um sistema linear associando-o à uma matriz.

01

(SAEPE).

Observe o sistema de equações lineares abaixo.

$\begin{cases} 2x + 3y + 4z = 58 \\ 3x - 5y = 8 \\ 2y = 4 \end{cases}$

A solução desse sistema é o terno ordenado

A

(2, 3, 0).

B

(3, – 5, 2).

C

(4, 0, 0).

D

(6, 2, 10).

E

(58, 8, 4).

Resolvendo o sistema de equação:

    $\begin{cases} 2x + 3y + 4z = 58    (I) \\ 3x - 5y = 8    (II) \\ 2y = 4    (III) \end{cases}$

Da equação (III), temos:

    $2y = 4   \Longrightarrow   y = \frac{4}{2} = 2$

Da equação (II), temos:

    $3x - 5y = 8$

    $3x - 5 \cdot (2) = 8$

    $3x - 10 = 8$

    $3x = 8 + 10$

    $x = \frac{18}{3} = 6$

Da equação (I), temos:

    $2x + 3y + 4z = 58$

    $2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 + 4z = 58$

    $12 + 6 + 4z = 58$

    $4z = 58 - 12 - 6$

    $z = \frac{40}{4} = 10$

Logo, a solução é $S = (6, 2, 10)$

Portanto, opção "D".

---

Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

02

(SAEPE).

Observe o sistema linear abaixo.

    $\begin{cases} 2x + 4y + 6z = 4    (I) \\ 3x - 5y = 12    (II) \\ 10x + 5y = -25    (III) \end{cases}$

Qual é a solução desse sistema?

A

(2, 4, 6)

B

(– 1, – 3, 3)

C

(15, 24, 6)

D

(4, 12, – 25)

E

(13, 65, 390)

Resolvendo o sistema de equação:

    $\begin{cases} 2x + 4y + 6z = 4    (I) \\ 3x - 5y = 12    (II) \\ 10x + 5y = -25    (III) \end{cases}$

Somando as equações (II) e (III), temos:

    $\underline{ \begin{cases} 3x - 5y = 12 \\ 10x + 5y = -25 \end{cases} }$ +

    $13x = -13   \Longrightarrow   x = \frac{-13}{13} = -1$

Agora, substituindo na equação (II).

    $3x - 5y = 12$

    $3 \cdot (-1) - 5y = 12$

    $-3 -5y = 12$

    $-5y = 12 + 3$

    $y = \frac{-15}{5} = -3$

E por último substitui na equação (I).

    $2x + 4y + 6z = 4$

    $2 \cdot (-1) + 4 \cdot (-3) + 6z = 4$

    $-2 -12 + 6z = 4$

    $6z = 4 + 12 + 2$

    $z = \frac{18}{6} = 3$

Logo, a solução é $S = (– 1, – 3, 3)$

Portanto, opção "B".

---

Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

03

(SAEPE).

Observe o sistema linear representado abaixo.

$\begin{cases} 2x + y - 2z = 10  (I) \\   y + 10z = -28  (II) \\     -7z = 42   (III) \end{cases}$

Qual é o conjunto solução desse sistema?

A

S = {(– 33, – 88, – 6)}

B

S = {(– 17, 32, – 6)}

C

S = {(10, – 28, 42)}

D

S = {(12, 12, 24)}

E

S = {(55, – 88, 6)}

Resolvendo o sistema de equação:

    $\begin{cases} 2x + y - 2z = 10  (I) \\   y + 10z = -28  (II) \\     -7z = 42   (III) \end{cases}$

Da equação (III), temos:

    $-7z = 42   \Longrightarrow   z = \frac{-42}{7} = -6$

Da equação (II), temos:

    $y + 10z = -28$

    $y + 10 \cdot (-6) = -28$

    $y - 60 = -28$

    $y = - 28 + 60$

    $y = 32$

Da equação (I), temos:

    $2x + y - 2z = 10$

    $2x + 32 - 2 \cdot (-6) = 10$

    $2x + 32 + 12 = 10$

    $2x = 10 - 32 - 12$

    $x = \frac{-34}{2} = -17$

Logo, a solução é $S = (– 17, 32, – 6)$

Portanto, opção "B".

---

Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

04

(SAERJ).

Um funcionário do depósito separou as peças guardadas por peso, marcando com a mesma cor as peças de pesos iguais. O dono do depósito observou três pedidos e os seus respectivos pesos:

${\Large{•}}$ um pedido contendo uma peça amarela, uma azul e uma verde pesou 100 g;

${\Large{•}}$ outro pedido contendo duas peças amarelas, uma azul e três verdes pesou 200 g; e,

${\Large{•}}$ um pedido contendo uma peça amarela, duas azuis e quatro verdes pesou 250 g.

Com essas informações, o dono construiu um sistema de equações e conseguiu, então, calcular o peso de cada peça.

Um sistema que permite calcular o peso de cada peça é

A

$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 200 \\ x + 2y + 4z = 250 \end{cases}$

B

$\begin{cases} x + 2y + z = 100 \\ x + y + 2z = 200 \\ x + 3y + 4z = 250 \end{cases}$

C

$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ x + y + z = 200 \\ x + y + z = 250 \end{cases}$

D

$\begin{cases} x + y + z = 250 \\ 2x + y + 3z = 200 \\ x + 2y + 4z = 100 \end{cases}$

E

$\begin{cases} x + y + z = 550 \\ 2x + y + 3z = 550 \\ x + 2y + 4z = 550 \end{cases}$

Chamaremos a peça amarela de x, a azul de y e a verde de z. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "A".

05

(SAEPI).

A matriz M é a forma escalonada do sistema a seguir:

$\begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = -2 \end{cases}$     $M = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \end {bmatrix}$

A solução desse sistema é o terno

A

(0, 1, 0).

B

(1, – 3, – 4).

C

(1, 1, – 1).

D

(1, 2, 1).

E

(2, 0, 4).

Utilizando a forma matriz M que está na forma escalonada. Logo, começando pela 3ª linha da matriz M.

    $0x + 0y + 4z = -4$

    $z = \frac{-4}{4} = -1$

Agora, utilizando a 2ª linha da matriz M.

    $0x + y + z = 0$

    $y - 1 = 0$

    $y = 1$

E, por último, utilizando a 1ª linha da matriz M.

    $x + 2y + z = 2$

    $x + 2 \cdot 1 - 1 = 2$

    $x = 2 + 1 - 2$

    $x = 1$

Logo, a solução é $S = (1, 1, -1)$

Portanto, opção "C".

---

Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

06

(CEB).

Isabel, Helena e Carla saíram às compras e adquiriram mercadorias iguais, porém, em quantidades diferentes.

${\Large{•}}$ Isabel comprou uma sandália, duas saias e três camisetas, gastando um total de R$ 119,00.

${\Large{•}}$ Helena comprou duas sandálias, três saias e cinco camisetas, gastando um total de R$ 202,00.

${\Large{•}}$ Carla comprou duas sandálias, uma saia e duas camisetas, gastando um total de R$ 118,00.

Para determinar os preços x, y e z da sandália, da saia e da camiseta, respectivamente, resolve-se o sistema dado por:

O sistema associado a essa matriz é:

A

$\begin{cases} x + 2y + 2z = 119 \\ 2x + 3y + z = 202 \\ 3x + 5y + 2z = 118 \end{cases}$

B

$\begin{cases} 3x + 2y + z = 119 \\ 5x + 3y + 2z = 202 \\ 2x + y + 2z = 118 \end{cases}$

C

$\begin{cases} 2x + 2y + z = 119 \\ x + 3y + 2z = 202 \\ 2x + 5y + 3z = 118 \end{cases}$

D

$\begin{cases} 3x + 5y + 2z = 119 \\ 2x + 3y + z = 202 \\ x + 2y + 2z = 118 \end{cases}$

E

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 119 \\ 2x + 3y + 5z = 202 \\ 2x + y + 2z = 118 \end{cases}$

Chamaremos a sandália de "x", saia de "y" e camisetas de "z". Também, a 1ª equação para Isabel, a 2ª para Helena e a 3ª, para Carla. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".

07

(CEB).

Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes X, Y e Z. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durantes três dias consecutivos revelou que:

${\Large{•}}$ No 1º dia, foram vendidos dois componentes da marca X, um da marca Y e um da marca Z, resultando um total de vendas igual a R$ 150,00;

${\Large{•}}$ No 2º dia, foram vendidos quatro componentes da marca X, três da marca Y e nenhum da marca Z, num total de R$ 240,00;

${\Large{•}}$ No último dia, não houve vendas da marca X, mas foram vendidos cinco da marca Y e três da marca Z, totalizando R$ 350,00.

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 250 \\ 4 & 3 & 0 & 240 \\ 0 & 5 & 3 & 350 \end {bmatrix}$

Para determinar os preços dos componentes da marca X, Y e Z, respectivamente, resolve-se o sistema dado por:

O sistema associado a essa matriz é:

A

$\begin{cases} 2x + 3y + 4z = 150 \\ 4x + 0y + 5z = 240 \\ x + 2y + z = 350 \end{cases}$

B

$\begin{cases} x + y + 2z = 150 \\ 0x + 3y + 4z = 240 \\ 3x + 5y + 0z = 350 \end{cases}$

C

$\begin{cases} 2x + y + z = 150 \\ 4x + 3y + 0z = 240 \\ 0x + 5y + 3z = 350 \end{cases}$

D

$\begin{cases} 2x + y + z = 150 \\ 4x + 3y + 0z = 240 \\ 0x + 5y + 3z = 350 \end{cases}$

E

$\begin{cases} 2x + 4y + 0z = 150 \\ 1x + 3y + 5z = 240 \\ x + 0y + 3z = 350 \end{cases}$

Chamaremos os componentes eletrônicos de "x", "y" e "z". Também, a 1ª equação para 1º dia, a 2ª para o 2º dia e a 3ª para o 3º dia. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".

08

(CEB).

A solução do sistema seguir, é:

$\begin{cases} x + y + z = 2    (I) \\ 2x - y + 3z = -3  (II) \\ x - y + z = -2     (III) \end{cases}$

A

(–1, –2, 1)

B

(1, 2, –1)

C

(1, 0, 1)

D

(–1, 2, 1)

E

(–1, 0, 1)

Resolvendo o sistema equações.

Primeiro multiplica a equação (III) por (-1) e soma com a equação (I).

    $\underline{ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ - x + y - z = 2 \end{cases} }$ +

    $2y = 4   \Longrightarrow   y = \frac{4}{2} = 2$

Agora, multiplica a equação (I) por (-2) e soma com a equação (II).

    $\underline{ \begin{cases} -2x - 2y - 2z = -4 \\ 2x - y + 3z = -3 \end{cases} }$ +

    $-3y + z = -7$

    $-3 \cdot (2) + z = -7$

    $z = - 7 + 6$

    $z = - 1$

E, por último, substituindo na equação (I).

    $x + y + z = 2$

    $x + 2 - 1 = 2$

    $x = 2 - 2 + 1$

    $x = 1$

Logo, a solução é $S = (1, 2, -1)$

Portanto, opção "B".

---

Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.

09

(Enceja 2005).

A loja COMPROU GANHOU apresentou as quantidades vendidas do Produto A e do Produto B, por meio da tabela abaixo:

	Quantidade vendida
Tipo	Janeiro	Fevereiro
Produto A	10	36
Produto B	20	48

No mês seguinte, as quantidades vendidas dos mesmos produtos foram reduzidas pela metade.

A matriz que representa esta situação é

A

$\begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 10 & 26 \end {bmatrix}$

B

$\begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 20 & 24 \end {bmatrix}$

C

$\begin{bmatrix} 10 & 18 \\ 10 & 24 \end {bmatrix}$

D

$\begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 10 & 24 \end {bmatrix}$

E

$\begin{bmatrix} 24 & 10 \\ 18 & 10 \end {bmatrix}$

Como no mês seguinte, as quantidades vendidas dos mesmos produtos foram reduzidas pela metade. E, representando estas informações em forma de Matriz, temos:

    $\frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 10 & 36 \\ 20 & 48 \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 10 & 24 \end {bmatrix}$

Portanto, opção "D".

10

(SAEPE). A solução do sistema a seguir, em R³, é

$\begin{cases} - x + 2y + z = 8 \\ y - 2z = -4 \\ x + 3z = 8 \end{cases}$

A

{(1, 3, 3)}

B

{(– 31, – 10, – 3)}

C

{(31, – 10, – 3)}

D

{(– 1, 4, 4)}

E

{(– 1, 2, 3)}

Iremos resolver está questão ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas (soluções) e verificar a validade.

Vamos começar pela equação (III), por ser considerada mais simples.

A) $x + 3z = 8$

  $1 + 3 \cdot 3 = 10 ≠ 8.$   (Falsa)

B) $x + 3z = 8$

  $-31 + 3 \cdot (-3) = -40 ≠ 8.$   (Falsa)

C) $x + 3z = 8$

  $31 + 3 \cdot (-3) = 22 ≠ 8.$   (Falsa)

D) $x + 3z = 8$

  $-1 + 3 \cdot (4) = 11 ≠ 8.$   (Falsa)

E) $x + 3z = 8$

  $-1 + 3 \cdot (3) = 8 = 8.$   (Verdadeira)

Portanto, opção "E".

11

(PROED).

O alimento CHOCOBATE é vendido em três tamanhos, A, B e C, com preços diferentes.

${\Large{•}}$ Se Jorge comprar 3 unidades do tamanho A, 2 do tamanho B e 1 do C, pagará 14 reais.

${\Large{•}}$ Se ele comprar 2 unidades do tamanho A, 1 do B e 2 do C, pagará 17 reais.

${\Large{•}}$ Mas, se ele comprar 3 do A, 3 do B e 1 do C, pagará 20 reais.

Qual é o sistema de equação que permite calcular o preço de cada um dos tamanhos de CHOCOBATE?

A

$\begin{cases} 3A + 3B = 14 \\ 3A + 3C = 17 \\ 2A + 3B = 20 \end{cases}$

B

$\begin{cases} 3A + 2B = 14 \\ 2A + B + 2C = 17 \\ 3A + 3B = 20 \end{cases}$

C

$\begin{cases} 3A + 2B = 14 \\ 3A + 2C = 17 \\ 2A + 3B = 20 \end{cases}$

D

$\begin{cases} 3A + 2B + C = 14 \\ 2A + B + 2C = 17 \\ 3A + 3B = 20 \end{cases}$

E

$\begin{cases} 3A + 2B + C = 14 \\ 2A + B + 2C = 17 \\ 3A + 3B + C = 20 \end{cases}$

Chamaremos o tamanho do CHOCOBATE de "A", "B" e "C". Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".

12

(Saresp).

José precisava comprar ração e dar um banho em seu cão. Foi a uma "pet shop" e deparou-se com a seguinte promoção:

${\Large{•}}$ 3 banhos para o seu cão + 2 pacotes de ração = R$ 130,00

${\Large{•}}$ 4 banhos para o seu cão + 3 pacotes de ração = R$ 180,00

Qual o valor, em reais, do banho e da ração, respectivamente?

A

20 e 10.

B

25 e 15.

C

30 e 20.

D

35 e 25.

E

40 e 30.

Equacionando o problema:

preço do banho = x

preço da ração = y

   $\begin{cases} 3x + 2y = 130   (I) \\ 4x + 3y = 180   (II) \end{cases}$

Resolver pelo método da adição. Multiplica a equação (I) por (4) e a (II), por (-3).

   $\underline{ \begin{cases} 12x + 8y = 520 \\ -12x - 9y = -540 \end{cases} }$ +

   $- y = - 20  ×(-1)$

   $y = 20\ kg\ de\ ração$

e,

   $3x + 2y = 130$

   $3x + 2 \cdot 20 = 130$

   $3x + 40 = 130$

   $3x = 130 - 40$

   $x = \frac{90}{3} = 30\ banhos$

Portanto, opção "C".

  Quinta-feira, 27 de Março de 2025 

c B p I w N

RESULTADO DO QUIZ

00,0%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

08,3%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

16,7%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

25,0%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

33,3%

O resultado ficou "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

41,7%

O resultado foi "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

50,0%

O resultado foi "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

58,3%

O resultado foi "PROFICIÊNTE"!!

RESULTADO DO QUIZ

66,7%

O resultado foi "PROFICIÊNTE"!!

RESULTADO DO QUIZ

75,0%

O resultado foi "PROFICIÊNTE"!!

RESULTADO DO QUIZ

83,3%

O resultado foi "AVANÇADO"!!

RESULTADO DO QUIZ

91,7%

O resultado foi "AVANÇADO"!!

RESULTADO DO QUIZ

100,0%

O resultado foi "AVANÇADO"!!

<< Página Anterior