domingo, 29 de março de 2020

D31 - Quiz por descritor - Mat - 3ª série - E.M

Quiz D31: MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
D31: MATEMÁTICA - Ensino Médio

D31: Determinar a solução de um sistema linear associando-o à uma matriz.

01
(SAEPE).

Observe o sistema de equações lineares abaixo.

[tex] \begin{cases} 2x + 3y + 4z = 58 \\ 3x - 5y = 8 \\ 2y = 4 \end{cases} [tex]

A solução desse sistema é o terno ordenado

A
B
C
D
E

Resolvendo o sistema de equação:

    [tex] \begin{cases} 2x + 3y + 4z = 58    (I) \\ 3x - 5y = 8    (II) \\ 2y = 4    (III) \end{cases} [tex]


Da equação (III), temos:

    [tex] 2y = 4   \Longrightarrow   y = \frac{4}{2} = 2 [tex]

Da equação (II), temos:

    [tex] 3x - 5y = 8 [tex]

    [tex] 3x - 5 \cdot (2) = 8 [tex]

    [tex] 3x - 10 = 8 [tex]

    [tex] 3x = 8 + 10 [tex]

    [tex] x = \frac{18}{3} = 6 [tex]

Da equação (I), temos:

    [tex] 2x + 3y + 4z = 58 [tex]

    [tex] 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 + 4z = 58 [tex]

    [tex] 12 + 6 + 4z = 58 [tex]

    [tex] 4z = 58 - 12 - 6 [tex]

    [tex] z = \frac{40}{4} = 10 [tex]

Logo, a solução é [tex]S = (6, 2, 10)[tex]

Portanto, opção "D".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.


02
(SAEPE).

Observe o sistema linear abaixo.

    [tex] \begin{cases} 2x + 4y + 6z = 4    (I) \\ 3x - 5y = 12    (II) \\ 10x + 5y = -25    (III) \end{cases} [tex]


Qual é a solução desse sistema?

A
B
C
D
E

Resolvendo o sistema de equação:

    [tex] \begin{cases} 2x + 4y + 6z = 4    (I) \\ 3x - 5y = 12    (II) \\ 10x + 5y = -25    (III) \end{cases} [tex]


Somando as equações (II) e (III), temos:

    [tex] \underline{ \begin{cases} 3x - 5y = 12 \\ 10x + 5y = -25 \end{cases} } [tex] +

    [tex] 13x = -13   \Longrightarrow   x = \frac{-13}{13} = -1 [tex]

Agora, substituindo na equação (II).

    [tex] 3x - 5y = 12 [tex]

    [tex] 3 \cdot (-1) - 5y = 12 [tex]

    [tex] -3 -5y = 12 [tex]

    [tex] -5y = 12 + 3 [tex]

    [tex] y = \frac{-15}{5} = -3 [tex]

E por último substitui na equação (I).

    [tex] 2x + 4y + 6z = 4 [tex]

    [tex] 2 \cdot (-1) + 4 \cdot (-3) + 6z = 4 [tex]

    [tex] -2 -12 + 6z = 4 [tex]

    [tex] 6z = 4 + 12 + 2 [tex]

    [tex] z = \frac{18}{6} = 3 [tex]

Logo, a solução é [tex]S = (– 1, – 3, 3)[tex]

Portanto, opção "B".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.


03
(SAEPE).

Observe o sistema linear representado abaixo.

[tex] \begin{cases} 2x + y - 2z = 10  (I) \\   y + 10z = -28  (II) \\     -7z = 42   (III) \end{cases} [tex]

Qual é o conjunto solução desse sistema?

A
B
C
D
E

Resolvendo o sistema de equação:

    [tex] \begin{cases} 2x + y - 2z = 10  (I) \\   y + 10z = -28  (II) \\     -7z = 42   (III) \end{cases} [tex]


Da equação (III), temos:

    [tex] -7z = 42   \Longrightarrow   z = \frac{-42}{7} = -6 [tex]

Da equação (II), temos:

    [tex] y + 10z = -28 [tex]

    [tex] y + 10 \cdot (-6) = -28 [tex]

    [tex] y - 60 = -28 [tex]

    [tex] y = - 28 + 60 [tex]

    [tex] y = 32[tex]

Da equação (I), temos:

    [tex] 2x + y - 2z = 10 [tex]

    [tex] 2x + 32 - 2 \cdot (-6) = 10 [tex]

    [tex] 2x + 32 + 12 = 10 [tex]

    [tex] 2x = 10 - 32 - 12 [tex]

    [tex] x = \frac{-34}{2} = -17 [tex]

Logo, a solução é [tex] S = (– 17, 32, – 6)[tex]

Portanto, opção "B".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.


04
(SAERJ).

Um funcionário do depósito separou as peças guardadas por peso, marcando com a mesma cor as peças de pesos iguais. O dono do depósito observou três pedidos e os seus respectivos pesos:

[tex]{\Large{•}}[tex] um pedido contendo uma peça amarela, uma azul e uma verde pesou 100 g;

[tex]{\Large{•}}[tex] outro pedido contendo duas peças amarelas, uma azul e três verdes pesou 200 g; e,

[tex]{\Large{•}}[tex] um pedido contendo uma peça amarela, duas azuis e quatro verdes pesou 250 g.

Com essas informações, o dono construiu um sistema de equações e conseguiu, então, calcular o peso de cada peça.

Um sistema que permite calcular o peso de cada peça é

A
B
C
D
E

Chamaremos a peça amarela de x, a azul de y e a verde de z. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "A".


05
(SAEPI).

A matriz M é a forma escalonada do sistema a seguir:

[tex] \begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = -2 \end{cases} [tex]     [tex] M = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \end {bmatrix} [tex]

A solução desse sistema é o terno

A
B
C
D
E

Utilizando a forma matriz M que está na forma escalonada. Logo, começando pela 3ª linha da matriz M.

    [tex] 0x + 0y + 4z = -4 [tex]

    [tex] z = \frac{-4}{4} = -1 [tex]

Agora, utilizando a 2ª linha da matriz M.

    [tex] 0x + y + z = 0 [tex]

    [tex] y - 1 = 0 [tex]

    [tex] y = 1 [tex]

E, por último, utilizando a 1ª linha da matriz M.

    [tex] x + 2y + z = 2 [tex]

    [tex] x + 2 \cdot 1 - 1 = 2 [tex]

    [tex] x = 2 + 1 - 2 [tex]

    [tex] x = 1 [tex]

Logo, a solução é [tex]S = (1, 1, -1)[tex]

Portanto, opção "C".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.


06
(CEB).

Isabel, Helena e Carla saíram às compras e adquiriram mercadorias iguais, porém, em quantidades diferentes.

[tex]{\Large{•}}[tex] Isabel comprou uma sandália, duas saias e três camisetas, gastando um total de R$ 119,00.

[tex]{\Large{•}}[tex] Helena comprou duas sandálias, três saias e cinco camisetas, gastando um total de R$ 202,00.

[tex]{\Large{•}}[tex] Carla comprou duas sandálias, uma saia e duas camisetas, gastando um total de R$ 118,00.

Para determinar os preços x, y e z da sandália, da saia e da camiseta, respectivamente, resolve-se o sistema dado por:

O sistema associado a essa matriz é:

A
B
C
D
E

Chamaremos a sandália de "x", saia de "y" e camisetas de "z". Também, a 1ª equação para Isabel, a 2ª para Helena e a 3ª, para Carla. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".


07
(CEB).

Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes X, Y e Z. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durantes três dias consecutivos revelou que:

[tex]{\Large{•}}[tex] No 1º dia, foram vendidos dois componentes da marca X, um da marca Y e um da marca Z, resultando um total de vendas igual a R$ 150,00;

[tex]{\Large{•}}[tex] No 2º dia, foram vendidos quatro componentes da marca X, três da marca Y e nenhum da marca Z, num total de R$ 240,00;

[tex]{\Large{•}}[tex] No último dia, não houve vendas da marca X, mas foram vendidos cinco da marca Y e três da marca Z, totalizando R$ 350,00.

[tex] \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 250 \\ 4 & 3 & 0 & 240 \\ 0 & 5 & 3 & 350 \end {bmatrix} [tex]

Para determinar os preços dos componentes da marca X, Y e Z, respectivamente, resolve-se o sistema dado por:

O sistema associado a essa matriz é:

A
B
C
D
E

Chamaremos os componentes eletrônicos de "x", "y" e "z". Também, a 1ª equação para 1º dia, a 2ª para o 2º dia e a 3ª para o 3º dia. Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".


08
(CEB).

A solução do sistema seguir, é:

[tex] \begin{cases} x + y + z = 2    (I) \\ 2x - y + 3z = -3  (II) \\ x - y + z = -2     (III) \end{cases}[tex]

A
B
C
D
E

Resolvendo o sistema equações.

Primeiro multiplica a equação (III) por (-1) e soma com a equação (I).

    [tex] \underline{ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ - x + y - z = 2 \end{cases} } [tex] +

    [tex] 2y = 4   \Longrightarrow   y = \frac{4}{2} = 2 [tex]

Agora, multiplica a equação (I) por (-2) e soma com a equação (II).

    [tex] \underline{ \begin{cases} -2x - 2y - 2z = -4 \\ 2x - y + 3z = -3 \end{cases} } [tex] +

    [tex] -3y + z = -7 [tex]

    [tex] -3 \cdot (2) + z = -7 [tex]

    [tex] z = - 7 + 6 [tex]

    [tex] z = - 1 [tex]

E, por último, substituindo na equação (I).

    [tex] x + y + z = 2 [tex]

    [tex] x + 2 - 1 = 2 [tex]

    [tex] x = 2 - 2 + 1 [tex]

    [tex] x = 1 [tex]

Logo, a solução é [tex] S = (1, 2, -1)[tex]

Portanto, opção "B".


Ou

Pode ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas e verificar a validade.


09
(Enceja 2005).

A loja COMPROU GANHOU apresentou as quantidades vendidas do Produto A e do Produto B, por meio da tabela abaixo:

Quantidade vendida
TipoJaneiroFevereiro
Produto A1036
Produto B2048

No mês seguinte, as quantidades vendidas dos mesmos produtos foram reduzidas pela metade.

A matriz que representa esta situação é

A
B
C
D
E

Como no mês seguinte, as quantidades vendidas dos mesmos produtos foram reduzidas pela metade. E, representando estas informações em forma de Matriz, temos:

    [tex] \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 10 & 36 \\ 20 & 48 \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 18 \\ 10 & 24 \end {bmatrix} [tex]

Portanto, opção "D".


10
(SAEPE). A solução do sistema a seguir, em R³, é

[tex] \begin{cases} - x + 2y + z = 8 \\ y - 2z = -4 \\ x + 3z = 8 \end{cases} [tex]

A
B
C
D
E

Iremos resolver está questão ser por tentativas. Ou seja, substituindo os valores das respostas (soluções) e verificar a validade.

Vamos começar pela equação (III), por ser considerada mais simples.

A) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] 1 + 3 \cdot 3 = 10 ≠ 8. [tex]   (Falsa)

B) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] -31 + 3 \cdot (-3) = -40 ≠ 8. [tex]   (Falsa)

C) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] 31 + 3 \cdot (-3) = 22 ≠ 8.[tex]   (Falsa)

D) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] -1 + 3 \cdot (4) = 11 ≠ 8.[tex]   (Falsa)

E) [tex] x + 3z = 8 [tex]

  [tex] -1 + 3 \cdot (3) = 8 = 8. [tex]   (Verdadeira)

Portanto, opção "E".


11
(PROED).

O alimento CHOCOBATE é vendido em três tamanhos, A, B e C, com preços diferentes.

[tex]{\Large{•}}[tex] Se Jorge comprar 3 unidades do tamanho A, 2 do tamanho B e 1 do C, pagará 14 reais.

[tex]{\Large{•}}[tex] Se ele comprar 2 unidades do tamanho A, 1 do B e 2 do C, pagará 17 reais.

[tex]{\Large{•}}[tex] Mas, se ele comprar 3 do A, 3 do B e 1 do C, pagará 20 reais.

Qual é o sistema de equação que permite calcular o preço de cada um dos tamanhos de CHOCOBATE?

A
B
C
D
E

Chamaremos o tamanho do CHOCOBATE de "A", "B" e "C". Logo, fazendo o equacionamento do problema obtemos a opção "E".


12
(Saresp).

José precisava comprar ração e dar um banho em seu cão. Foi a uma "pet shop" e deparou-se com a seguinte promoção:

[tex]{\Large{•}}[tex] 3 banhos para o seu cão + 2 pacotes de ração = R$ 130,00

[tex]{\Large{•}}[tex] 4 banhos para o seu cão + 3 pacotes de ração = R$ 180,00

Qual o valor, em reais, do banho e da ração, respectivamente?

A
B
C
D
E

Equacionando o problema:

preço do banho = x

preço da ração = y

   [tex] \begin{cases} 3x + 2y = 130   (I) \\ 4x + 3y = 180   (II) \end{cases} [tex]

Resolver pelo método da adição. Multiplica a equação (I) por (4) e a (II), por (-3).

   [tex] \underline{ \begin{cases} 12x + 8y = 520 \\ -12x - 9y = -540 \end{cases} } [tex] +

   [tex]- y = - 20  ×(-1)[tex]

   [tex] y = 20\ kg\ de\ ração [tex]

e,

   [tex] 3x + 2y = 130 [tex]

   [tex] 3x + 2 \cdot 20 = 130 [tex]

   [tex] 3x + 40 = 130 [tex]

   [tex] 3x = 130 - 40 [tex]

   [tex] x = \frac{90}{3} = 30\ banhos [tex]

Portanto, opção "C".






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