(SAEPE).
Em uma gincana escolar, participaram três equipes. A equipe vencedora dessa gincana fez o quadrado de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Já a equipe que ficou em 2º lugar fez o quádruplo de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Nessa gincana, a soma da pontuação das equipes que ficaram em 1º e 2º lugar foi igual a 140 pontos e nenhuma das equipes participantes teve pontuação negativa.
Qual foi a pontuação da equipe que ficou em 1º lugar nessa gincana?
Equacionando o problema:
A equipe vencedora dessa gincana fez o quadrado de pontos da equipe que ficou em 3º lugar.
[tex] 1°\ lugar\ (x) = z^{2}[tex]
Agora, a equipe que ficou em 2º lugar fez o quádruplo de pontos da equipe que ficou em 3º lugar.
[tex]2°\ lugar\ (y) = 4z [tex]
[tex]3°\ lugar\ (x): [tex]
e, a soma da pontuação das equipes que ficaram em 1º e 2º lugar foi igual a 140 pontos.
[tex]x + y = 140[tex].
Substituindo x e y, em função de z obtemos:
[tex]z^{2} + 4z = 140[tex]
[tex]z^{2} + 4z\ - 140 = 0 [tex]
Agora, resolvendo a equação do 2° grau.
[tex] a = 1,\ b = 4,\ c = -140 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] z = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-4\ \pm\ \sqrt{576}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] z = \frac{-4\ \pm\ 24}{2} [tex]
Logo,
[tex] z' = \frac{- 4 + 24}{2} = \frac{20}{2} = 10 [tex]
[tex] z'' = \frac{- 4 - 24}{2} = \frac{-28}{2} = -14 [tex] (Não convém)
A equipe vencedora dessa gincana fez o quadrado de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Logo:
[tex] 1°\ lugar\ (x) = z^{2} = 10^{2} = 100\ pontos [tex]
Logo, opção "D".
(SAEPE).
Em uma competição, um atleta arremessa um dardo, que percorre uma boa distância até atingir o solo. A distância d percorrida pelo dardo, em metros, é a solução da equação [tex] –4d^{2} + 600d\ –\ 22 500 = 0[tex].
Qual é a distância percorrida por esse dardo?
Então, encontrando a solução da equação [tex] –4d^{2} + 600d\ –\ 22 500 = 0[tex]:
[tex] a = -4,\ b = 600,\ c = -22\ 500 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (600)^{2} - 4 \cdot (-4) \cdot (-22\ 500) = 360\ 000\ - 360\ 000 = 0 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-600\ \pm\ \sqrt{0}}{2 \cdot (-4)} [tex]
[tex] x' = x'' = \frac{-600\ \pm\ 0}{-8} = \frac{-600}{-8} = 75 [tex]
Logo, opção "B".
(SAERO).
Numa experiência de física, observou-se que a placa de metal esquentou obedecendo a função [tex] F(t) = t^{2} + t\ – 6,\ t ≥ 0[tex], onde F representa a temperatura em ºC e t o tempo em segundos.
Em quantos segundos a placa atingiu a temperatura de 0 °C?
Pode-se ser por tentativas: (Verificar qual opção tem a [tex]F(t) = 0[tex]).
A) Para t = 0.
[tex] F(0) = 0^{2} + 0\ – 6 = - 6 ≠ 0[tex] (Falso)
B) Para t = 2.
[tex] F(2) = 2^{2} + 2\ – 6 = 0 [tex] (Verdadeiro)
C) Para t = 3.
[tex] F(3) = 3^{2} + 3\ – 6 = 9 + 3\ - 6 = 6 ≠ 0[tex] (Falso)
D) Para t = 4.
[tex] F(4) = 4^{2} + 4\ – 6 = 16 + 4\ - 6 = 14 ≠ 0[tex] (Falso)
E) Para t = 6.
[tex] F(6) = 6^{2} + 6\ – 6 = 36 ≠ 0[tex] (Falso)
Logo, opção "B".
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] F(t) = t^{2} + t\ – 6 [tex], ou seja, [tex] 0 = t^{2} + t\ – 6 [tex].
[tex] a = 1,\ b = 1,\ c = -6 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-1\ \pm\ \sqrt{25}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] x' = \frac{-1\ + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 [tex]
[tex] x'' = \frac{-1\ - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 [tex] (Não convém, pois deve-se ter t ≥ 0).
Logo, opção "B".
(PROEB).
O número de diagonais (d) de um polígono é dado pela fórmula: [tex] d = \frac{n(n - 2)}{3} [tex], em que (n) representa o número de lados do polígono.
O número de lados de um polígono que tem 90 diagonais é
Pode-se ser por tentativas: [tex] 90 = \frac{n(n - 3)}{2} \Rightarrow 180 = n(n - 3) [tex].
A) Para n = 12.
[tex] 180 = 12(12 - 3) \Rightarrow 180 = 12 \cdot 9 \Rightarrow 180 ≠ 108 [tex] (Falso)
B) Para n = 15.
[tex] 180 = 15(15 - 3) \Rightarrow 180 = 15 \cdot 12 \Rightarrow 180 = 180 [tex] (Verdadeiro)
C) Para t = 27.
[tex] 180 = 27(27 - 3) \Rightarrow 180 = 27 \cdot 24 \Rightarrow 180 ≠ 648 [tex] (Falso)
D) Para t = 45.
[tex] 180 = 45(45 - 3) \Rightarrow 180 = 45 \cdot 42 \Rightarrow 180 ≠ 1890 [tex] (Falso)
E) Para t = 90.
[tex] 180 = 90(90 - 3) \Rightarrow 180 = 90 \cdot 87 \Rightarrow 180 ≠ 7830 [tex] (Falso)
Logo, opção "B".
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] 90 = \frac{n(n - 3)}{2} \Rightarrow n^{2} - 3n - 180 = 0 [tex].
[tex] a = 1,\ b = -3,\ c = -180 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] n = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-3)\ \pm\ \sqrt{729}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] n' = \frac{3\ + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15 [tex]
[tex] n'' = \frac{3\ - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]n > 0[tex]).
Logo, opção "B".
(SAEPI).
Para garantir o sigilo da senha de seu cofre, Jairo, que adora Matemática, escreveu essa senha na sua agenda, usando o seguinte código: “O quadrado de um número menos 6 000 é igual a 70 vezes esse número”. A raiz positiva da equação que traduz esse código dá a senha do cofre.
Qual é a senha do cofre de Jairo?
Equacionando o problema: "O quadrado de um número menos 6 000 é igual a 70 vezes esse número" → [tex] x^{2} - 6\ 000 = 70x [tex].
Logo, temos: [tex] x^{2}\ - 70x - 6\ 000 = 0 [tex].
Pode-se ser por tentativas ou substituição.
A) Para x = 120.
[tex] (120)^{2}\ - 70 \cdot 120 - 6\ 000 = 0 [tex]
[tex] 14\ 400\ - 8\ 400 - 6\ 000 = 0 \Rightarrow 0 = 0 [tex] (Verdadeiro)
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] x^{2}\ - 70x - 6\ 000 = 0 [tex].
[tex] a = 1,\ b = -70,\ c = -6000 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (-70)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 4900 + 24000 = 28\ 900 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-70)\ \pm\ \sqrt{28\ 900}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] x' = \frac{70\ + 170}{2} = \frac{240}{2} = 120 [tex]
[tex] x'' = \frac{70\ - 170}{2} = \frac{-100}{2} = -50 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]x > 0[tex]).
Logo, opção "A".
(APA – Crede-CE).
A idade de Mariana é representada por um número que somado ao seu quadrado é igual a 12.
Qual a idade de Mariana?
Equacionando o problema: "um número que somado ao seu quadrado é igual a 12" → [tex] x + x^{2} = 12 [tex].
Logo, temos: [tex] x^{2}\ + x - 12 = 0 [tex].
Pode-se ser por tentativas ou substituição.
A) Para x = 2.
[tex] 2^{2}\ + 2 - 12 = 4 + 2\ -12 = -6 \Rightarrow -6 ≠ 0 [tex] (Falso)
A) Para x = 3.
[tex] 3^{2}\ + 3 - 12 = 9 + 3\ -12 = 0 \Rightarrow 0 = 0 [tex] (Verdadeiro)
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] x^{2}\ + x - 12 = 0 [tex].
[tex] a = 1,\ b = 1,\ c = -12 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-1\ \pm\ \sqrt{49}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] x' = \frac{-1\ + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 [tex]
[tex] x'' = \frac{-1\ - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]x > 0[tex]).
Logo, opção "B".
(SAERJ).
José planta alface em um canteiro quadrado. Ele verificou que, se aumentasse 3 m nas duas dimensões, como mostra a figura abaixo, a área plantada passaria a ter 64 m².
/D17EM01.png )
Quanto mede cada lado do canteiro de José?
Equacionando o problema.
/D17EM02.png )
[tex]lado × lado = área [tex]
[tex] (x + 3) × (x + 3) = 64 [tex]
[tex] x^{2} + 6x + 9 = 64 [tex]
[tex] x^{2} + 6x + 9 - 64 = 0 [tex]
[tex] x^{2} + 6x - 55 = 0 [tex]
Pode-se ser por tentativas ou substituição.
A) Para x = 11.
[tex] 11^{2} + 6 \cdot 11 - 55 = 121 + 66 - 55 = 132 \Rightarrow 132 ≠ 0 [tex] (Falso)
B) Para x = 9.
[tex] 9^{2} + 6 \cdot 9 - 55 = 81 + 54 - 55 = 80 \Rightarrow 80 ≠ 0 [tex] (Falso)
C) Para x = 8.
[tex] 8^{2} + 6 \cdot 8 - 55 = 64 + 48 - 55 = 57 \Rightarrow 57 ≠ 0 [tex] (Falso)
D) Para x = 6.
[tex] 6^{2} + 6 \cdot 6 - 55 = 36 + 36 - 55 = 17 \Rightarrow 17 ≠ 0 [tex] (Falso)
E) Para x = 5.
[tex] 5^{2} + 6 \cdot 5 - 55 = 25 + 30 - 55 = 0 \Rightarrow 0 = 0 [tex] (Verdadeiro)
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] x^{2} + 6x - 55 = 0 [tex].
[tex] a = 1,\ b = 6,\ c = -55 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-6\ \pm\ \sqrt{256}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] x' = \frac{-6\ + 16}{2} = \frac{10}{2} = 5 [tex]
[tex] x'' = \frac{-6\ - 16}{2} = \frac{-24}{2} = -12 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]x > 0[tex]).
Logo, opção "E".
(SAEMS).
Em uma formatura, João reparou que os 300 formandos estavam enfileirados em n linhas e (n + 5) colunas.
Em quantas linhas os formandos estavam enfileirados?
Equacionando o problema.
[tex]filas × colunas = total\ de\ formandos [tex]
[tex] n × (n + 5) = 300[tex]
[tex] n^{2} + 5n - 300 = 0 [tex]
Pode-se ser por tentativas ou substituição.
A) Para n = 10.
[tex] 10^{2} + 5 \cdot 10 - 300 = 100 + 50\ - 300 = -150 \Rightarrow -150 ≠ 0 [tex] (Falso)
B) Para n = 15.
[tex] 15^{2} + 5 \cdot 15 - 300 = 225 + 75\ - 300 = 0 \Rightarrow 0 = 0 [tex] (Verdadeira)
C) Para n = 20.
[tex] 20^{2} + 5 \cdot 20 - 300 = 400 + 100\ - 300 = 200 \Rightarrow 200 ≠ 0 [tex] (Falso)
D) Para n = 25.
[tex] 25^{2} + 5 \cdot 25 - 300 = 625 + 125\ - 300 = 450 \Rightarrow 450 ≠ 0 [tex] (Falso)
E) Para n = 30.
[tex] 30^{2} + 5 \cdot 30 - 300 = 900 + 150\ - 300 = 750 \Rightarrow 750 ≠ 0 [tex] (Falso)
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] n^{2} + 5n - 300 = 0 [tex].
[tex] a = 1,\ b = 5,\ c = -300 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] n = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-5\ \pm\ \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] n' = \frac{-5\ + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15 [tex]
[tex] n'' = \frac{-5\ - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]n > 0[tex]).
Logo, opção "B".
(SAEPE).
Para determinar o preço de venda de cada pizza, o gerente de uma pizzaria usa a fórmula [tex] P = (\frac{D}{5})^{2} + 6 [tex], em que P é o preço da pizza, e D é o seu diâmetro, em centímetros.
Nessa pizzaria, qual o diâmetro da Super Pizza, que custa 55 reais?
Como a pizza custa R$ 55,00. O seu Diâmetro é:
[tex] P = (\frac{D}{5})^{2} + 6 [tex]
[tex] 55 = (\frac{D}{5})^{2} + 6 [tex]
[tex] 55 - 6 = \frac{D^{2}}{25} [tex]
[tex] 49 = \frac{D^{2}}{25} [tex]
[tex] 49 \cdot 25 = D^{2} [tex]
[tex] \sqrt{1225} = D [tex]
[tex] D = 35\ centímetros [tex]
(Saresp).
O retângulo representado na figura tem 35 m² de área.
/D17EM03.png )
A área do quadrado sombreado é, em m², igual a
Equacionando o problema.
[tex] largura × comprimento = área [tex]
[tex] (x + 3) × (x + 5) = 35 [tex]
Pode-se ser por tentativas ou substituição.
A) Para x = 3.
[tex] (3 + 3) × (3 + 5) = 6 × 8 = 48 \Rightarrow 48 ≠ 35 [tex] (Falso)
B) Para x = 4.
[tex] (4 + 3) × (4 + 5) = 7 × 9 = 35 \Rightarrow 35 = 35 [tex] (Verdadeiro)
C) Para x = 9.
[tex] (9 + 3) × (9 + 5) = 12 × 14 = 168 \Rightarrow 168 ≠ 35 [tex] (Falso)
D) Para x = 16.
[tex] (16 + 3) × (16 + 5) = 19 × 21 = 399 \Rightarrow 399 ≠ 35 [tex] (Falso)
E) Para x = 18.
[tex] (18 + 3) × (18 + 5) = 21 × 23 = 483 \Rightarrow 483 ≠ 35 [tex] (Falso)
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
[tex] largura × comprimento = área [tex]
[tex] (x + 3) × (x + 5) = 35 [tex]
[tex] x^{2} + 5x + 3x + 15 - 35 = 0 [tex]
[tex] x^{2} + 8x - 20 = 0 [tex]
Então, encontrando a solução da equação [tex] x^{2} + 8x - 20 = 0 [tex].
[tex] a = 1,\ b = 8,\ c = -20 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-8\ \pm\ \sqrt{144}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] x' = \frac{-8\ + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 [tex]
[tex] x'' = \frac{-8\ - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]x > 0[tex]).
Logo, a área do quadrado sombreado é:
[tex] Área = x \cdot x = 2 \cdot 2 = 4\ m^{2} [tex]
Logo, opção "B".
(SPAECE).
Para acabar com o estoque de inverno, uma loja fez uma “queima” oferecendo ofertas em todas as mercadorias. Após x dias de ofertas verificou-se que as vendas diárias y poderiam ser calculadas de acordo com a função [tex] y = - x^{2} + 11x + 12[tex].
Depois de quantos dias as vendas se reduziriam a zero?
Para que as vendas se reduziriam a zero devemos ter: [tex] -x^{2} + 11x + 12 = 0[tex]
Pode-se ser por tentativas ou substituição.
A) Para x = 169.
[tex] y = -(169)^{2} + 11 \cdot 169 + 12 = -28561 + 1859 + 12 = 30430 \Rightarrow -26\ 690 ≠ 0 [tex] (Falso)
B) Para x = 24.
[tex] y = -(24)^{2} + 11 \cdot 24 + 12 = -576 + 264 + 12 = 300 \Rightarrow 300 ≠ 0 [tex] (Falso)
C) Para x = 13.
[tex] y = -(13)^{2} + 11 \cdot 13 + 12 = -169 + 143 + 12 = -14 \Rightarrow -14 ≠ 0 [tex] (Falso)
D) Para x = 12.
[tex] y = -(12)^{2} + 11 \cdot 12 + 12 = -144 + 132 + 12 = 0 \Rightarrow 0 ≠ 0 [tex] (Verdadeiro)
E) Para x = 2.
[tex] y = -(2)^{2} + 11 \cdot 2 + 12 = -4 + 22 + 12 = 30 \Rightarrow 30 ≠ 0 [tex] (Falso)
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] -x^{2} + 11x + 12 = 0[tex].
[tex] a = -1,\ b = 11,\ c = 12 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (11)^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot (12) = 121 + 48 = 169 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-11\ \pm\ \sqrt{169}}{2 \cdot (-1)} [tex]
[tex] x' = \frac{-11\ + 13}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]x > 0[tex]).
[tex] x'' = \frac{-11\ - 13}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12 [tex] .
Logo, opção "D".
(SAEPE).
O lucro L de uma empresa é dado pela expressão [tex] L(n) = n^{2} - 12n + 32[tex], em que n representa a quantidade em milhares de produtos vendidos.
Qual a quantidade de produtos, em milhares, no mínimo, que essa empresa tem que vender para que o seu lucro seja nulo?
Para que essa empresa tenha lucro nulo, devemos ter: [tex] 0 = n^{2} - 12n + 32[tex].
Pode-se ser por tentativas ou substituição.
A) Para x = 2.
[tex] L(2) = 2^{2} - 12 \cdot 2 + 32 = 4 - 24 + 32 = 12 \Rightarrow 12 ≠ 0 [tex] (Falso)
B) Para x = 4.
[tex] L(4) = 4^{2} - 12 \cdot 4 + 32 = 16 - 48 + 32 = 0 \Rightarrow 0 = 0 [tex] (Verdadeiro)
C) Para x = 8.
[tex] L(8) = 8^{2} - 12 \cdot 8 + 32 = 64 - 96 + 32 = 0 \Rightarrow 0 = 0 [tex] (Falso), pois deve-se ter o mínimo de produtos vendidos.
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] n^{2} - 12n + 32 = 0[tex].
[tex] a = 1,\ b = -12,\ c = 32 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (-12)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot 32 = 144 - 128 = 16 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-12)\ \pm\ \sqrt{16}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] x' = \frac{12\ + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 [tex] (Não convém, pois deve-se ter o mínimo de produtos vendidos).
[tex] x'' = \frac{12\ - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 [tex].
Logo, opção "B".
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