D17 - Quiz por descritor - Mat - 3ª série - E.M

D17: MATEMÁTICA - Ensino Médio

D17: Resolver problema envolvendo equação do 2° grau.

01

(SAEPE).

Em uma gincana escolar, participaram três equipes. A equipe vencedora dessa gincana fez o quadrado de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Já a equipe que ficou em 2º lugar fez o quádruplo de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Nessa gincana, a soma da pontuação das equipes que ficaram em 1º e 2º lugar foi igual a 140 pontos e nenhuma das equipes participantes teve pontuação negativa.

Qual foi a pontuação da equipe que ficou em 1º lugar nessa gincana?

A

10

B

14

C

40

D

100

E

130

Equacionando o problema:

A equipe vencedora dessa gincana fez o quadrado de pontos da equipe que ficou em 3º lugar.

    $1°\ lugar\ (x) = z^{2}$

Agora, a equipe que ficou em 2º lugar fez o quádruplo de pontos da equipe que ficou em 3º lugar.

    $2°\ lugar\ (y) = 4z$

    $3°\ lugar\ (x):$

e, a soma da pontuação das equipes que ficaram em 1º e 2º lugar foi igual a 140 pontos.

    $x + y = 140$.

Substituindo x e y, em função de z obtemos:

    $z^{2} + 4z = 140$

    $z^{2} + 4z\ - 140 = 0$

Agora, resolvendo a equação do 2° grau.

$a = 1,\ b = 4,\ c = -140$

    $Δ = b^{2} - 4ac$

    $Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576$

Agora, encontrando as raízes:

  $z = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-4\ \pm\ \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

  $z = \frac{-4\ \pm\ 24}{2}$

Logo,

  $z' = \frac{- 4 + 24}{2} = \frac{20}{2} = 10$

  $z'' = \frac{- 4 - 24}{2} = \frac{-28}{2} = -14$ (Não convém)

A equipe vencedora dessa gincana fez o quadrado de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Logo:

    $1°\ lugar\ (x) = z^{2} = 10^{2} = 100\ pontos$

Logo, opção "D".

02

(SAEPE).

Em uma competição, um atleta arremessa um dardo, que percorre uma boa distância até atingir o solo. A distância d percorrida pelo dardo, em metros, é a solução da equação $–4d^{2} + 600d\ –\ 22 500 = 0$.

Qual é a distância percorrida por esse dardo?

A

150

B

75

C

149

D

100

E

200

Então, encontrando a solução da equação $–4d^{2} + 600d\ –\ 22 500 = 0$:

$a = -4,\ b = 600,\ c = -22\ 500$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (600)^{2} - 4 \cdot (-4) \cdot (-22\ 500) = 360\ 000\ - 360\ 000 = 0$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-600\ \pm\ \sqrt{0}}{2 \cdot (-4)}$

  $x' = x'' = \frac{-600\ \pm\ 0}{-8} = \frac{-600}{-8} = 75$

Logo, opção "B".

03

(SAERO).

    Numa experiência de física, observou-se que a placa de metal esquentou obedecendo a função $F(t) = t^{2} + t\ – 6,\ t ≥ 0$, onde F representa a temperatura em ºC e t o tempo em segundos.

Em quantos segundos a placa atingiu a temperatura de 0 °C?

A

0

B

2

C

3

D

4

E

6

Pode-se ser por tentativas: (Verificar qual opção tem a $F(t) = 0$).

A) Para t = 0.

    $F(0) = 0^{2} + 0\ – 6 = - 6 ≠ 0$ (Falso)

B) Para t = 2.

    $F(2) = 2^{2} + 2\ – 6 = 0$ (Verdadeiro)

C) Para t = 3.

    $F(3) = 3^{2} + 3\ – 6 = 9 + 3\ - 6 = 6 ≠ 0$ (Falso)

D) Para t = 4.

    $F(4) = 4^{2} + 4\ – 6 = 16 + 4\ - 6 = 14 ≠ 0$ (Falso)

E) Para t = 6.

    $F(6) = 6^{2} + 6\ – 6 = 36 ≠ 0$ (Falso)

Logo, opção "B".

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $F(t) = t^{2} + t\ – 6$, ou seja, $0 = t^{2} + t\ – 6$.

$a = 1,\ b = 1,\ c = -6$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-1\ \pm\ \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

  $x' = \frac{-1\ + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

  $x'' = \frac{-1\ - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ (Não convém, pois deve-se ter t ≥ 0).

Logo, opção "B".

04

(PROEB).

O número de diagonais (d) de um polígono é dado pela fórmula: $d = \frac{n(n - 2)}{3}$, em que (n) representa o número de lados do polígono.

O número de lados de um polígono que tem 90 diagonais é

A

12

B

15

C

27

D

45

E

90

Pode-se ser por tentativas: $90 = \frac{n(n - 3)}{2}   \Rightarrow   180 = n(n - 3)$.

A) Para n = 12.

  $180 = 12(12 - 3)   \Rightarrow   180 = 12 \cdot 9   \Rightarrow   180 ≠ 108$ (Falso)

B) Para n = 15.

  $180 = 15(15 - 3)   \Rightarrow   180 = 15 \cdot 12   \Rightarrow   180 = 180$ (Verdadeiro)

C) Para t = 27.

  $180 = 27(27 - 3)   \Rightarrow   180 = 27 \cdot 24   \Rightarrow   180 ≠ 648$ (Falso)

D) Para t = 45.

  $180 = 45(45 - 3)   \Rightarrow   180 = 45 \cdot 42   \Rightarrow   180 ≠ 1890$ (Falso)

E) Para t = 90.

  $180 = 90(90 - 3)   \Rightarrow   180 = 90 \cdot 87   \Rightarrow   180 ≠ 7830$ (Falso)

Logo, opção "B".

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $90 = \frac{n(n - 3)}{2}   \Rightarrow   n^{2} - 3n - 180 = 0$.

$a = 1,\ b = -3,\ c = -180$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Agora, encontrando as raízes:

  $n = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-3)\ \pm\ \sqrt{729}}{2 \cdot 1}$

  $n' = \frac{3\ + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$

  $n'' = \frac{3\ - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ (Não convém, pois deve-se ter $n > 0$).

Logo, opção "B".

05

(SAEPI).

Para garantir o sigilo da senha de seu cofre, Jairo, que adora Matemática, escreveu essa senha na sua agenda, usando o seguinte código: “O quadrado de um número menos 6 000 é igual a 70 vezes esse número”. A raiz positiva da equação que traduz esse código dá a senha do cofre.

Qual é a senha do cofre de Jairo?

A

120

B

170

C

1 100

D

2 300

E

3 035

Equacionando o problema: "O quadrado de um número menos 6 000 é igual a 70 vezes esse número" → $x^{2} - 6\ 000 = 70x$.

Logo, temos: $x^{2}\ - 70x - 6\ 000 = 0$.

Pode-se ser por tentativas ou substituição.

A) Para x = 120.

  $(120)^{2}\ - 70 \cdot 120 - 6\ 000 = 0$

  $14\ 400\ - 8\ 400 - 6\ 000 = 0   \Rightarrow   0 = 0$ (Verdadeiro)

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $x^{2}\ - 70x - 6\ 000 = 0$.

$a = 1,\ b = -70,\ c = -6000$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (-70)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 4900 + 24000 = 28\ 900$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-70)\ \pm\ \sqrt{28\ 900}}{2 \cdot 1}$

  $x' = \frac{70\ + 170}{2} = \frac{240}{2} = 120$

  $x'' = \frac{70\ - 170}{2} = \frac{-100}{2} = -50$ (Não convém, pois deve-se ter $x > 0$).

Logo, opção "A".

06

(APA – Crede-CE).

A idade de Mariana é representada por um número que somado ao seu quadrado é igual a 12.

Qual a idade de Mariana?

A

2 anos

B

3 anos

C

4 anos

D

5 anos

E

6 anos

Equacionando o problema: "um número que somado ao seu quadrado é igual a 12" → $x + x^{2} = 12$.

Logo, temos: $x^{2}\ + x - 12 = 0$.

Pode-se ser por tentativas ou substituição.

A) Para x = 2.

  $2^{2}\ + 2 - 12 = 4 + 2\ -12 = -6   \Rightarrow   -6 ≠ 0$ (Falso)

A) Para x = 3.

  $3^{2}\ + 3 - 12 = 9 + 3\ -12 = 0   \Rightarrow   0 = 0$ (Verdadeiro)

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $x^{2}\ + x - 12 = 0$.

$a = 1,\ b = 1,\ c = -12$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-1\ \pm\ \sqrt{49}}{2 \cdot 1}$

  $x' = \frac{-1\ + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

  $x'' = \frac{-1\ - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ (Não convém, pois deve-se ter $x > 0$).

Logo, opção "B".

07

(SAERJ).

José planta alface em um canteiro quadrado. Ele verificou que, se aumentasse 3 m nas duas dimensões, como mostra a figura abaixo, a área plantada passaria a ter 64 m².

Quanto mede cada lado do canteiro de José?

A

11 m

B

9 m

C

8 m

D

6 m

E

5 m

Equacionando o problema.

   $lado × lado = área$

   $(x + 3) × (x + 3) = 64$

   $x^{2} + 6x + 9 = 64$

   $x^{2} + 6x + 9 - 64 = 0$

   $x^{2} + 6x - 55 = 0$

Pode-se ser por tentativas ou substituição.

A) Para x = 11.

  $11^{2} + 6 \cdot 11 - 55 = 121 + 66 - 55 = 132   \Rightarrow   132 ≠ 0$ (Falso)

B) Para x = 9.

  $9^{2} + 6 \cdot 9 - 55 = 81 + 54 - 55 = 80   \Rightarrow   80 ≠ 0$ (Falso)

C) Para x = 8.

  $8^{2} + 6 \cdot 8 - 55 = 64 + 48 - 55 = 57   \Rightarrow   57 ≠ 0$ (Falso)

D) Para x = 6.

  $6^{2} + 6 \cdot 6 - 55 = 36 + 36 - 55 = 17   \Rightarrow   17 ≠ 0$ (Falso)

E) Para x = 5.

  $5^{2} + 6 \cdot 5 - 55 = 25 + 30 - 55 = 0   \Rightarrow   0 = 0$ (Verdadeiro)

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $x^{2} + 6x - 55 = 0$.

$a = 1,\ b = 6,\ c = -55$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-6\ \pm\ \sqrt{256}}{2 \cdot 1}$

  $x' = \frac{-6\ + 16}{2} = \frac{10}{2} = 5$

  $x'' = \frac{-6\ - 16}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ (Não convém, pois deve-se ter $x > 0$).

Logo, opção "E".

08

(SAEMS).

Em uma formatura, João reparou que os 300 formandos estavam enfileirados em n linhas e (n + 5) colunas.

Em quantas linhas os formandos estavam enfileirados?

A

10

B

15

C

20

D

25

E

30

Equacionando o problema.

   $filas × colunas = total\ de\ formandos$

   $n × (n + 5) = 300$

   $n^{2} + 5n - 300 = 0$

Pode-se ser por tentativas ou substituição.

A) Para n = 10.

  $10^{2} + 5 \cdot 10 - 300 = 100 + 50\ - 300 = -150   \Rightarrow   -150 ≠ 0$ (Falso)

B) Para n = 15.

  $15^{2} + 5 \cdot 15 - 300 = 225 + 75\ - 300 = 0   \Rightarrow   0 = 0$ (Verdadeira)

C) Para n = 20.

  $20^{2} + 5 \cdot 20 - 300 = 400 + 100\ - 300 = 200   \Rightarrow   200 ≠ 0$ (Falso)

D) Para n = 25.

  $25^{2} + 5 \cdot 25 - 300 = 625 + 125\ - 300 = 450   \Rightarrow   450 ≠ 0$ (Falso)

E) Para n = 30.

  $30^{2} + 5 \cdot 30 - 300 = 900 + 150\ - 300 = 750   \Rightarrow   750 ≠ 0$ (Falso)

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $n^{2} + 5n - 300 = 0$.

$a = 1,\ b = 5,\ c = -300$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Agora, encontrando as raízes:

  $n = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-5\ \pm\ \sqrt{1225}}{2 \cdot 1}$

  $n' = \frac{-5\ + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$

  $n'' = \frac{-5\ - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$ (Não convém, pois deve-se ter $n > 0$).

Logo, opção "B".

09

(SAEPE).

Para determinar o preço de venda de cada pizza, o gerente de uma pizzaria usa a fórmula $P = (\frac{D}{5})^{2} + 6$, em que P é o preço da pizza, e D é o seu diâmetro, em centímetros.

Nessa pizzaria, qual o diâmetro da Super Pizza, que custa 55 reais?

A

60 cm

B

49 cm

C

35 cm

D

16 cm

E

11 cm

Como a pizza custa R$ 55,00. O seu Diâmetro é:

    $P = (\frac{D}{5})^{2} + 6$

    $55 = (\frac{D}{5})^{2} + 6$

    $55 - 6 = \frac{D^{2}}{25}$

    $49 = \frac{D^{2}}{25}$

    $49 \cdot 25 = D^{2}$

    $\sqrt{1225} = D$

    $D = 35\ centímetros$

10

(Saresp).

O retângulo representado na figura tem 35 m² de área.

A área do quadrado sombreado é, em m², igual a

A

3.

B

4.

C

9.

D

16.

E

18.

Equacionando o problema.

   $largura × comprimento = área$

   $(x + 3) × (x + 5) = 35$

Pode-se ser por tentativas ou substituição.

A) Para x = 3.

  $(3 + 3) × (3 + 5) = 6 × 8 = 48   \Rightarrow   48 ≠ 35$ (Falso)

B) Para x = 4.

  $(4 + 3) × (4 + 5) = 7 × 9 = 35   \Rightarrow   35 = 35$ (Verdadeiro)

C) Para x = 9.

  $(9 + 3) × (9 + 5) = 12 × 14 = 168   \Rightarrow   168 ≠ 35$ (Falso)

D) Para x = 16.

  $(16 + 3) × (16 + 5) = 19 × 21 = 399   \Rightarrow   399 ≠ 35$ (Falso)

E) Para x = 18.

  $(18 + 3) × (18 + 5) = 21 × 23 = 483   \Rightarrow   483 ≠ 35$ (Falso)

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

   $largura × comprimento = área$

   $(x + 3) × (x + 5) = 35$

   $x^{2} + 5x + 3x + 15 - 35 = 0$

   $x^{2} + 8x - 20 = 0$

Então, encontrando a solução da equação $x^{2} + 8x - 20 = 0$.

$a = 1,\ b = 8,\ c = -20$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-8\ \pm\ \sqrt{144}}{2 \cdot 1}$

  $x' = \frac{-8\ + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$

  $x'' = \frac{-8\ - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$ (Não convém, pois deve-se ter $x > 0$).

Logo, a área do quadrado sombreado é:

   $Área = x \cdot x = 2 \cdot 2 = 4\ m^{2}$

Logo, opção "B".

11

(SPAECE).

    Para acabar com o estoque de inverno, uma loja fez uma “queima” oferecendo ofertas em todas as mercadorias. Após x dias de ofertas verificou-se que as vendas diárias y poderiam ser calculadas de acordo com a função $y = - x^{2} + 11x + 12$.

Depois de quantos dias as vendas se reduziriam a zero?

A

169

B

24

C

13

D

12

E

2

Para que as vendas se reduziriam a zero devemos ter: $-x^{2} + 11x + 12 = 0$

Pode-se ser por tentativas ou substituição.

A) Para x = 169.

  $y = -(169)^{2} + 11 \cdot 169 + 12 = -28561 + 1859 + 12 = 30430   \Rightarrow   -26\ 690 ≠ 0$ (Falso)

B) Para x = 24.

  $y = -(24)^{2} + 11 \cdot 24 + 12 = -576 + 264 + 12 = 300   \Rightarrow   300 ≠ 0$ (Falso)

C) Para x = 13.

  $y = -(13)^{2} + 11 \cdot 13 + 12 = -169 + 143 + 12 = -14   \Rightarrow   -14 ≠ 0$ (Falso)

D) Para x = 12.

  $y = -(12)^{2} + 11 \cdot 12 + 12 = -144 + 132 + 12 = 0   \Rightarrow   0 ≠ 0$ (Verdadeiro)

E) Para x = 2.

  $y = -(2)^{2} + 11 \cdot 2 + 12 = -4 + 22 + 12 = 30   \Rightarrow   30 ≠ 0$ (Falso)

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $-x^{2} + 11x + 12 = 0$.

$a = -1,\ b = 11,\ c = 12$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (11)^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot (12) = 121 + 48 = 169$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-11\ \pm\ \sqrt{169}}{2 \cdot (-1)}$

  $x' = \frac{-11\ + 13}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$ (Não convém, pois deve-se ter $x > 0$).

  $x'' = \frac{-11\ - 13}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12$ .

Logo, opção "D".

12

(SAEPE).

O lucro L de uma empresa é dado pela expressão $L(n) = n^{2} - 12n + 32$, em que n representa a quantidade em milhares de produtos vendidos.

Qual a quantidade de produtos, em milhares, no mínimo, que essa empresa tem que vender para que o seu lucro seja nulo?

A

2

B

4

C

8

D

16

E

28

Para que essa empresa tenha lucro nulo, devemos ter: $0 = n^{2} - 12n + 32$.

Pode-se ser por tentativas ou substituição.

A) Para x = 2.

  $L(2) = 2^{2} - 12 \cdot 2 + 32 = 4 - 24 + 32 = 12   \Rightarrow   12 ≠ 0$ (Falso)

B) Para x = 4.

  $L(4) = 4^{2} - 12 \cdot 4 + 32 = 16 - 48 + 32 = 0   \Rightarrow   0 = 0$ (Verdadeiro)

C) Para x = 8.

  $L(8) = 8^{2} - 12 \cdot 8 + 32 = 64 - 96 + 32 = 0   \Rightarrow   0 = 0$ (Falso), pois deve-se ter o mínimo de produtos vendidos.

---

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação $n^{2} - 12n + 32 = 0$.

$a = 1,\ b = -12,\ c = 32$

  $Δ = b^{2} - 4ac$

  $Δ = (-12)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot 32 = 144 - 128 = 16$

Agora, encontrando as raízes:

  $x = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-12)\ \pm\ \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

  $x' = \frac{12\ + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$ (Não convém, pois deve-se ter o mínimo de produtos vendidos).

  $x'' = \frac{12\ - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Logo, opção "B".

  Quinta-feira, 27 de Março de 2025 

1 o 2 h i W

RESULTADO DO QUIZ

00,0%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

08,3%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

16,7%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

25,0%

O resultado ficou "ABAIXO" do "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

33,3%

O resultado ficou "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

41,7%

O resultado foi "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

50,0%

O resultado foi "BÁSICO"!!

RESULTADO DO QUIZ

58,3%

O resultado foi "PROFICIÊNTE"!!

RESULTADO DO QUIZ

66,7%

O resultado foi "PROFICIÊNTE"!!

RESULTADO DO QUIZ

75,0%

O resultado foi "PROFICIÊNTE"!!

RESULTADO DO QUIZ

83,3%

O resultado foi "AVANÇADO"!!

RESULTADO DO QUIZ

91,7%

O resultado foi "AVANÇADO"!!

RESULTADO DO QUIZ

100,0%

O resultado foi "AVANÇADO"!!

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