(MEC-CAED - ADF).
Em uma atividade de matemática, os estudantes levaram objetos tridimensionais para calcularem algumas de suas dimensões, sem o uso de régua. Gustavo levou para essa atividade um troféu composto pela junção de um cone e uma esfera de maneira que o raio da base circular e o raio da esfera medem, ambos, 6 cm. Observe o troféu levado por Gustavo, representado na figura abaixo
/img1_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
Gustavo informou a sua turma que o volume total do troféu, considerando os volumes do cone e da esfera, é 408π cm³ e propôs aos colegas que encontrassem a medida da altura da parte cônica desse troféu.
Qual é a medida, em centímetros, da altura da parte cônica desse troféu?
(MEC-CAED - ADF).
Observe, na malha quadriculada abaixo, uma figura e uma reta r.
/img2_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
A reflexão dessa figura em relação à reta r pode ser observada em
A transformação isométrica de reflexão de uma figura em extremidades, no ponto original e no seu respectivo ponto transformado, é sempre perpendicular em relação ao eixo de simetria e que o ponto original e seu respectivo transformado estão sempre a uma mesma distância do eixo x.
Observe a figura a seguir:
/img8_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Lucas é serralheiro e está produzindo a estrutura de um telhado. O formato dessa estrutura com algumas medidas de seus lados e ângulos foram representados em um esboço, conforme ilustrado na figura abaixo.
/img9_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
(Considere: [tex]sen\ 30° = 0,50[tex] e [tex] cos\ 30° = 0,87[tex])
Lucas já cortou quase todas as vigas dessa estrutura, exceto as que estão indicadas com medida x nesse esboço.
De acordo com esse esboço, Lucas deve cortar cada uma dessas vigas com quantos metros de comprimento?
Primeiro vamos encontrar o valor do comprimento da hipotenusa, utilizando o Teorema de Pitágoras:
/img10_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 28^{2} + 21^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 784 + 441 [tex]
[tex] a^{2} = 1\ 225 [tex]
[tex] a = \sqrt{1\ 225} [tex]
[tex] a = 35\ m [tex]
Agora, encontrar o valor do comprimento x, utilizando o seno.
[tex] sen\ 30° = \frac{cateto\ oposto}{hipotenusa} [tex]
[tex] 0,5 = \frac{x}{35} [tex]
[tex] x = 0,5 \cdot 35 [tex]
[tex] x = 17,5\ metros [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Uma indústria alimentícia utilizará uma lata metálica que possui formato cilíndrico reto com diâmetro da base medindo 6 cm e volume de 216 cm³, para comercializar os alimentos. Para fazer uma análise sobre os custos com a produção dessa embalagem, o gerente precisa determinar a medida da área da superfície de metal utilizada na fabricação do modelo de lata que irá utilizar.
Considere: [tex]π = 3[tex].
A medida da área total da superfície dessa lata, em centímetros quadrados, é
Observe a figura a seguir:
/img11_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
Primeiro encontrar a altura da lata metálica:
[tex] Volume = Área_{(base)} × altura [tex]
[tex] V = πR^{2} × h [tex]
[tex] 216 = 3 \cdot 3^{2} × h [tex]
[tex] 216 = 3 \cdot 9 × h [tex]
[tex] 216 = 27 × h [tex]
[tex] \frac{216}{27} = h [tex]
[tex] h = 8\ cm [tex]
Agora, encontrar a área total dessa lata:
[tex] Área_{(Total)} = 2 × Área_{(base)} + Área_{(Lateral)} [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 2 × πR^{2} + 2πR × h [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{2}+ 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 8 [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 6 \cdot 9 + 144 [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 54 + 144 [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 198\ cm^{2} [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Mateus desenhou uma figura no plano cartesiano e, em seguida, realizou uma translação horizontal dessa figura, 1 unidade no sentido positivo do eixo x. Observe abaixo essa figura antes da translação.
/img12_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
A representação dessa figura no plano cartesiano após a translação realizada por Mateus é
A transformação que foi realizada por Mateus é a de translação de 1 unidade no sentido positivo do eixo x. Observe a figura a seguir:
/img18_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
Portanto, alternativa "E".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Um topógrafo precisou calcular a medida da distância entre duas nascentes localizadas em lados opostos de uma montanha. Para isso, ele marcou os pontos T e U próximos às nascentes e um ponto V, de onde é possível avistar os pontos T e U sob um ângulo de 80°, e esses três pontos formaram um triângulo. Esse topógrafo utilizou equipamentos específicos para determinar as medidas de alguns ângulos e, com isso, calculou a medida da distância que precisava. Na figura abaixo está apresentado um esquema feito por esse topógrafo para esse cálculo.
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(Dados: [tex] sen\ 80° \cong 0,98,\ sen\ 55° \cong 0,82)[tex].
Qual é a distância aproximada, em metros, entre essas duas nascentes?
(MEC-CAED - ADF).
Um reservatório de grãos possui o formato de um sólido originado pela junção de um cone e um cilíndrico reto, possuindo somente uma base circular, localizada em sua parte inferior. O preço do metro quadrado do material utilizado na construção de toda a superfície externa desse reservatório foi R$ 100,00. Observe esse reservatório representado na figura abaixo, com algumas de suas medidas.
/img20_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
(Considere: [tex] π = 3[tex])
Qual foi o valor mínimo, em reais, gasto com a compra do material utilizado na construção de toda a superfície externa desse reservatório?
Vamos encontrar a superfície externa desse reservatório:
/img21_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
[tex] Área_{(Total)} = Área_{(cone)} + Área_{(cilindro)}[tex]
[tex] Área_{(Total)} = πRg + (2πRh +πR^{2}) [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 3 \cdot 2 \cdot 3,6 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2^{2} [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 21,6 + 48 + 12 [tex]
[tex] Área_{(Total)} = 81,6\ m^{2} [tex]
Agora, encontrar o valor mínimo, em reais, gasto com a compra do material utilizado na construção de toda a superfície externa desse reservatório.
[tex] Valor = 81,6\ m^{2} \cdot R \$\ 100,00 [tex]
[tex] Valor = R \$\ 8\ 160,00 [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Uma empresa está projetando uma estrutura metálica para toldos. Essa estrutura pode ser ajustada em até 120°, ângulo máximo formado com a parede na qual essa estrutura se apoiará. Observe abaixo o desenho desse projeto, no qual consta a representação dessa estrutura e o ângulo máximo que ela atinge em relação à parede.
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Considere:
[tex] sen\ 30° = 0,5 [tex] e [tex] sen\ 120° = 0,9 [tex]
[tex] cos\ 30° = 0,9 [tex] e [tex] cos\ 120° = -\ 0,5 [tex]
[tex] tg\ 30° = 0,6 [tex] e [tex] tg\ 120° = -\ 1,7 [tex]
De acordo com esse projeto, qual deverá ser a medida do comprimento, em metros, da lona desse toldo a ser fixada nessa estrutura?
Vamos utilizar a Lei dos Senos para encontrar o comprimento da lona é:
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[tex]\frac{\overline{BC}}{sen\ 30º} = \frac{\overline{AC}}{sen\ 120º} [tex]
[tex]\frac{1}{0,5} = \frac{\overline{AC}}{0,9} [tex]
[tex]0,5\ \overline{AC} = 1 \cdot 0,9 [tex]
[tex]0,5\ \overline{AC} = 0,9 [tex]
[tex]\overline{AC} = \frac{ 0,9}{0,5} [tex]
[tex]\overline{AC} = 1,8\ metros [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Em um condomínio, as caixas d’água P e Q ficam a 12 m de distância uma da outra e, para melhor atender aos moradores, será instalada uma terceira caixa d’água, indicada por R. A orientação recebida é que essa nova caixa seja instalada a 20 m de distância da caixa Q, de maneira que as três formem a disposição apresentada no esboço abaixo.
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(Dados: [tex]sen\ 120° \cong\ 0,9[tex]; [tex]cos\ 120° =\ –\ 0,5[tex])
De acordo com esse esboço, a nova caixa d’água R será instalada a quantos metros de distância da caixa d’água P?
Vamos utilizar a Lei dos cossenos para encontrar a distância entre as caixas P e R.
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos\ 120° [tex]
[tex] (\overline{PR})^{2} = (\overline{PQ})^{2} + (\overline{QR})^{2}\ -\ 2 \cdot (\overline{PQ}) \cdot (\overline{QR}) \cdot cos\ 120° [tex]
[tex] (\overline{PR})^{2} = (12)^{2} + (20)^{2}\ -\ 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot (-\ 0,5) [tex]
[tex] (\overline{PR})^{2} = 144 + 400\ -\ (-\ 240) [tex]
[tex] (\overline{PR})^{2} = 144 + 400\ + 240 [tex]
[tex] (\overline{PR})^{2} = 784 [tex]
[tex] \overline{PR} = \sqrt{784} [tex]
[tex] \overline{PR} = 28\ metros [tex]
Portanto, alternativa "D".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Em um jardim botânico foi construída uma estufa com o formato de uma pirâmide reta de base quadrada com volume total de 64 m³. Essa estufa foi toda feita de vidro, inclusive o chão, e está representada abaixo com algumas medidas indicadas.
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Qual é a medida, em metros, da altura dessa estufa e quantos metros quadrados de vidro, no mínimo, foram utilizados em sua construção, nessa ordem?
Observe a figura a seguir:
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Primeiro vamos encontrar a altura dessa estufa utilizando o Teorema de Pitágoras.
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] 5^{2} = 4^{2} + h^{2} [tex]
[tex] 25 = 16 + h^{2} [tex]
[tex] 25 - 16 = h^{2} [tex]
[tex] 9 = h^{2} [tex]
[tex] h = \sqrt{9} [tex]
[tex] h = 3\ metros [tex]
Também poderia utilizar o volume para calcular a altura:
[tex] Volume = \frac{1}{3} \cdot Área_{(base)} \cdot h [tex]
[tex] 64 = \frac{1}{3} \cdot L^{2} \cdot h [tex]
[tex] 64 = \frac{1}{3} \cdot 8^{2} \cdot h [tex]
[tex] 64 = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot h [tex]
[tex] \frac{64}{64} = \frac{1}{3} \cdot h [tex]
[tex] 1 = \frac{1}{3} \cdot h [tex]
[tex] h = 3\ metros [tex]
Agora, encontrar área da estufa, em metros quadrados de vidro, que foram utilizados em sua construção:
[tex] Área\ total = Área_{(base)} × Área_{(Lateral)} [tex]
[tex] Área\ total = 8^{2}\ ×\ 4\ \cdot \frac{8\ ×\ 5}{2} [tex]
[tex] Área\ total = 64\ ×\ \color{Red}{4}\ \cdot \frac{40}{\color{Red}{2}} [tex]
[tex] Área\ total = 64\ ×\ 2\ \cdot 40 [tex]
[tex] Área\ total = 64\ ×\ 80 [tex]
[tex] Área\ total = 144\ m^{2} [tex]
Portanto, alternativa "C".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Uma fábrica produz um suco de caixinha cuja embalagem, com formato de paralelepípedo de base quadrada, tem 5 cm de medida interna da aresta da base e 10 cm de medida da altura interna. Essa embalagem está sendo reformulada e deve assumir um formato cilíndrico com área interna da base medindo 50 cm².
Qual deve ser a medida interna da altura da nova embalagem desse suco para que ela tenha a mesma capacidade da embalagem atual?
Observe a figura a seguir:
/img27_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
Devemos ter o volume interno máximo da embalagem cilíndrica igual ao da embalagem com formato de paralelepípedo. Logo, o volume desse paralelepípedo é:
[tex] Volume = C \cdot L \cdot h [tex]
[tex] Volume = 5 \cdot 5 \cdot 10 [tex]
[tex] Volume = 250\ cm^{2} [tex]
Agora, encontrar a altura dessa nova embalagem (cilíndrico):
[tex] Volume = Área_{(base)} \cdot h [tex]
[tex] 250 = 50 \cdot h [tex]
[tex] \frac{250}{50} = h [tex]
[tex] h = 5\ cm [tex]
Portanto, alternativa "B".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
(MEC-CAED - ADF).
Sebastião tem em sua fazenda um equipamento utilizado para moer grãos. Para utilizá-lo, ele o enche até o nível da borda superior com os grãos e, em seguida, ele aciona o equipamento. Observe, na figura abaixo, o formato e as medidas internas desse equipamento.
/img28_quiz25_Mat_3serie_EM.png )
Qual é o volume máximo de grãos, em metros cúbicos, que Sebastião pode colocar nesse equipamento de uma só vez? (Considere: [tex]π = 3[tex])
O volume máximo desse equipamento é:
[tex] V = V_{(cone)} + V_{(cilindro)} [tex]
[tex] V = \frac{Área_{(base)}\ \cdot\ h}{3} + Área_{(base)}\ \cdot\ h [tex]
[tex] V = \frac{πR^{2}\ \cdot\ h}{3} + πR^{2} \cdot\ 1 [tex]
[tex] V = \frac{3\ \cdot\ (1,5)^{2}\ \cdot\ 2}{3}\ +\ 3 \cdot\ (1,5)^{2}\ \cdot\ 1 [tex]
[tex] V = \frac{3\ \cdot\ 2,25\ \cdot\ 2}{3} + 3\ \cdot\ 2,25\ \cdot\ 1 [tex]
[tex] V = \frac{13,5}{3} +6,75 [tex]
[tex] V = 4,5 + 6,75 [tex]
[tex] V = 11,25\ cm^{3} [tex]
Portanto, alternativa "A".
(Créditos da resolução: Prof. Warles.)
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